资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在中，，则AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．13
2．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点(﹣1，﹣4)
B．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．点(，﹣8)在该函数的图象上
3．由3x=2y(x≠0)，可得比例式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中表示是的反比例函数的是( )
A． B． C． D．
5．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③△EDG∽△CBG；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．点在二次函数y＝x2+3x﹣5的图像上，x与y对应值如下表：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
9．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．在圆内接四边形中，与的比为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝_____（用向量、表示）．
12．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是_____．
13．从一副扑克牌中取出两张红桃和两张黑桃，将这四张扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸出两张牌，那么摸到两张都是红牌的概率是__________．
14．如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为______．
15．在平面直角坐标系xoy中，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两点，且A点在轴右侧，P点的坐标为（0,4）连接PA,PB．(1)△PAB的面积的最小值为____；（2）当时，=_______
16．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为_______．
17．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为_____．
18．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知反比例函数和一次函数．
（1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式；
（2）当时，两个函数的图象只有一个交点，求的值．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点．经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为，．且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线上有一点，的面积等于．求满足条件的点的坐标；
（3）请观察图象直接写出不等式的解集．
21．（6分）用适当的方法解方程
（1）4（x-1）2=9
（2）
22．（8分）如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；
（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．
23．（8分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为.后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为.
（1）求新坡面的坡角及的长；
（2）原坡面底部的正前方米处是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米。请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：）
24．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
25．（10分）计算：—．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，sinB＝，求DE的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】利用余弦的定义可知，代入数据即可求出AC.
【详解】∵
∴
故选A.
【点睛】
本题考查根据余弦值求线段长度，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.
2、D
【分析】反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
【详解】∵当时，
∴点（ ，﹣8）在该函数的图象上正确，故A、B、C错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键．
3、C
【分析】由3x=2y(x≠0)，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
C、由得，3x=2y，故本选项符合题意；
D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查比例的性质相关，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟练掌握其性质是解题的关键．
4、D
【解析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.
【详解】A. 是一次函数，故不符合题意；
B. 二次函数，故不符合题意；
C. 不是反比例函数，故不符合题意；
D. 是反比例函数，符合题意；
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.
5、C
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【详解】原来这组数据的中位数为＝2，
无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，
故选：C．
【点睛】
此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.
6、D
【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．
【详解】解：∵点G是△ABC的重心，
∴AE，CD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴ ＝，①正确；
，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确；
,④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键．
7、C
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【详解】解：观察表格得：方程x2＋3x−5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点睛】
此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
8、A
【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，
由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，
解得k≤，
由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，
所以k的取值范围为k≤且k≠0，
即k的非负整数值为1，
故选A．
9、C
【解析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
至少有一次正面朝上的概率是．
故选C．
【点睛】
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
10、C
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．
【详解】∵在圆内接四边形ABCD中，：＝3：2，
∴∠B：∠D＝3：2，
∵∠B＋∠D＝180°，
∴∠B＝180°×＝．
故选C.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2﹣
【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．
【详解】
故答案是．
【点睛】
本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．
12、19.2m
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．
【详解】设教学楼高度为xm，
列方程得：
解得x＝19.2，
故教学楼的高度为19.2m．
故答案为：19.2m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13、
【分析】根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】所有情况数：红桃1，红桃2
红桃1，黑桃1
红桃1，黑桃2
红桃2，黑桃1
红桃2，黑桃2
黑桃1，黑桃2
共有6种等可能的情况，其中符合的有1种，所以概率为
【点睛】
本题主要考查概率的求法.
14、1．
【详解】解：∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=1．
故答案为：1
15、 16
【分析】（1）设A（m，km），B（n，kn），联立解析式，利用根与系数的关系建立之间的关系，列出面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最小值即可；
（2）先证明平分 得到，把转化为，利用两点间的距离公式再次转化，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．
得： 即，
∴
∴当k=1时，△PAB面积有最小值，最小值为
故答案为．
（2）设设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．
得： 即，
∴
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（1，4），A（m，km）代入得：
，解得：，
∴
令y=1，得
∴直线PA与x轴的交点坐标为．
同理可得，直线PB的解析式为
直线PB与x轴交点坐标为．
∵
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
平分，
到的距离相等，
而
∴，
过作轴于，过作轴于，
则
∴
∴
∵∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题是代数几何综合题，难度很大．考查了二次函数与一次函数的基本性质，一元二次方程的根与系数的关系．相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解答中首先得到基本结论，即PA、PB的对称性，正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
16、
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5×1，
故答案为：5.5×1．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
17、π
【分析】木板转动两次的轨迹如图（见解析）：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度；第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，根据弧长公式即可求得.
【详解】由题意，木板转动两次的轨迹如图：
（1）第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角为60度，即
所以弧的长
（2）第二次转动是以点N为圆心，为半径，圆心角为90度，即
所以弧的长（其中半径）
所以总长为
故答案为.
【点睛】
本题考查了图形的翻转、弧长公式（弧长，其中是圆心角弧度数，为半径），理解图形翻转的轨迹是解题关键.
18、30°
【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD减去∠AOB即可.
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，
又∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°.
故答案为30°.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）
【分析】（1）根据两个函数图象的交点的横坐标是-2和3先求出两个交点坐标，然后把两点代入一次函数解析式求出k，b值，即可得到一次函数解析式；
（2）两个函数解析式联立组成方程组消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式=0求出b的值.
【详解】解：（1）把-2和3分别代入中，得：和.
把，代入中，
.
∴一次函数表达式为：；
（2）当，则，联立得：，
整理得：，
只有一个交点，即，
则，得．
故b的值为4或-4.
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出两交点坐标是解本题的关键．
20、（1）y1=；（2）P(2，4)或(﹣14，﹣4)；（3）x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
【分析】（1）把D（-4，1）代入(x＜1)，利用待定系数法即可求得；
（2）根据题意求得C点的坐标，进而根据待定系数法求得直线CD的解析式，根据三角形的面积求得P点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标；
（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．
【详解】(1)把(﹣4，1)代入(x＜1)，
解得：k1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为：y1=；
(2)由点D的坐标为(﹣4，1)，且AD=3，
∴点A的坐标为(﹣4，4)，
∵点C为OA的中点，
∴点C的坐标为(﹣2，2)，
将点D(﹣4，1)和点C(﹣2，2)代入y2=k2x+b，
得k2=，b=3，即y2=，
设点P的坐标为(m，n)
∵△POB的面积等于8，OB=4，
∴=8，
∴即，
代入y2=，
得到点P的坐标为(2，4)或(﹣14，﹣4)；
(3) 观察函数图象可知：
当x＜﹣4或﹣2＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得C点的坐标．
21、（1），；（2），
【分析】（1）先在方程的两边同时除以4，再直接开方即可；
（2）将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．
【详解】（1）解：
∴，，
（2）解：
∴，．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
22、（1）y＝-x2+3x；（2）(4，2)；（3）
【分析】（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入y＝ax2+bx即可；
（2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可；
（3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最后分情况讨论，可求出△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+m点A（6，0），
∴﹣6+m＝0，
∴m＝6，
∴yAB＝﹣x+6，
∵OA＝3OH，
∴OH＝2，
在yAB＝﹣x+6中，当x＝2时，y＝4，
∴B（2，4），
将A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，
得，，
解得，a＝﹣，b＝3，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+3x；
（2）∵直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是，
∴＝﹣x2+3x，
解得，x1＝1（舍去），x2＝5，
∴C（5，），
设yOC＝kx，
将C（5，）代入，
得，k＝，
∴yOC＝x，
联立，
解得，x＝4，y＝2，
∴点D的坐标为（4，2）；
（3）设直线OB的解析式为yOB＝mx，点P坐标为（a，﹣a+6），
将点B（2，4）代入，
得，m＝2，
∴yOB＝2x，
由平移知，PM∥OB，
∴设直线PM的解析式为yPM＝2x+n，
将P（a，﹣a+6）代入，
得，﹣a+6＝2a+n，
∴n＝6﹣3a，
∴yPM＝2x+6﹣3a，
设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，
联立，
解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，
∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2，
在yPM＝2x+6﹣3a中，
当y＝0时，x＝，
∴E（，0），OE＝，
∵点P的横坐标为a，
∴K（a，a），F（a，0），
∴OF＝a，KF＝a，
设△MPN与△OAC公共部分面积为S，
①当0≤a＜4时，
S＝S△OFK﹣S△OEG，
＝×a×a﹣（）（a﹣2），
＝﹣a2+3a﹣3
＝﹣（a﹣3）2+，
∵﹣＜0，根据二次函数的图象及性质可知，
∴当a＝3时S有最大值；
②当4≤a≤6时，
S＝S△PEF
＝EF•PF
＝（a﹣a+3）（﹣a+6）
＝
＝，
∵，根据二次函数的图象及性质知，当a＝4时，S有最大值1；
∵
∴△MPN与△OAC公共部分面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数交点问题，图形平移，二次函数综合最值，解决本题的关键是正确理解题意，熟练运用待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数交点问题的解法步骤，要与方程相结合，对于求图形面积最值问题转化为二次函数最值问题，万熟练掌握二次函数的性质.
23、（1）新坡面的坡角为，米；（2）新的设计方案不能通过，理由详见解析．
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，根据坡度的概念、正确的定义求出新坡面AC的坡角；（2）根据坡度的定义分别求出AH、BH，求出EA，根据题意进行比较，得到答案．
【详解】解：如图，过点作垂足为
（1）新坡面的坡度为 ，
即新坡面的坡角为
米；
（2）新的设计方案不能通过.
理由如下：
坡面的坡度为，
，
新的设计方案不能通过．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）110°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．
25、-3
【分析】按顺序化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，进行0次幂运算，负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】解： -
=-
=-3
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算等，正确把握各运算的运算法则是解题的关键.
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据线段垂直平分线的性质证明；
（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，得到DE⊥OD，证明结论；
（3）解直角三角形求得AD，进而根据勾股定理求得BD、CD，据正弦的定义计算即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又DC＝BD，
∴AB＝AC；
（2）证明：如图，连接OD，
∵AO＝BO，CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝AC＝10，
∵sinB＝ ＝ ，
∴AD＝8，
∴CD＝BD＝ ＝6，
∴sinB＝sinC＝＝，
∴DE＝．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、切线的判定定理以及三角形中位线定理，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
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