资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程 x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（ ）
A．D 点 B．E 点 C．F点 D．D 点或 F点
3．方程x2+x-12=0的两个根为（ ）
A．x1=-2，x2=6 B．x1=-6，x2=2 C．x1=-3，x2=4 D．x1=-4，x2=3
4．已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
5．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
6．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（ ）
A．2x2+x﹣2＝0 B．x2+2x﹣2＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
7．下列函数的对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
8．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0
10．若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
11．二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（ ）
A．直线y=x上 B．直线y=﹣x上 C．x轴上 D．y轴上
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝_____AB（用含无理数式子表示）．
14．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．
15．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是____________．
16．A、B为⊙O上两点，C为⊙O上一点（与A、B不重合），若∠ACB=100°，则∠AOB的度数为____°．
17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．
18．已知：在⊙O中，直径AB＝4，点P、Q均在⊙O上，且∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，则弦PQ的长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）用配方法解方程：x2﹣8x+1=0
20．（8分）如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长；
（3）如图③，过点作于，当时，求的面积．
21．（8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
22．（10分）如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称．
（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；
（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：
（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（1）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
24．（10分）已知二次函数（k是常数）
(1)求此函数的顶点坐标.
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围.
(3)当时，该函数有最大值，求的值.
25．（12分）已知a＝，b＝，求．
26．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】两边开方得到x=±1．
【详解】解：∵x1=4，
∴x=±1，
∴x1=1，x1=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax1+c=0（a≠0）的方程可变形为，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
2、C
【分析】根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．
【详解】解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，
∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617，
∴点F最接近线段AB的黄金分割点．
故选：C．
【点睛】
本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．
3、D
【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣1），解x+4=0或x﹣1=0即可得出结论．
x2+x﹣12=（x+4）（x﹣1）=0， 则x+4=0，或x﹣1=0， 解得：x1=﹣4，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法
4、C
【详解】试题分析：一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限.
由图象可知，函数的图象经过第二、三、四象限，所以，.
根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为，
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根．故选C.
5、D
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：主视图和左视图都是三角形，
此几何体为椎体，
俯视图是一个圆，
此几何体为圆锥．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
6、D
【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．
【详解】方程1x1+x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1+1x﹣1=0的两个实数根之和为﹣1；
方程1x1﹣x﹣1=0的两个实数根之和为；
方程x1﹣1x﹣1=0的两个实数根之和为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1，x1x1．
7、C
【分析】根据二次函数的性质分别写出各选项中抛物线的对称轴，然后利用排除法求解即可．
【详解】A、对称轴为y轴，故本选项错误；
B、对称轴为直线x=3，故本选项错误；
C、对称轴为直线x=-3，故本选项正确；
D、∵=∴对称轴为直线x=3，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴的确定，是基础题．
8、D
【分析】根据题意可得出第二天的票房为，第三天的票房为，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为，由题意可得出，第二天的票房为，第三天的票房为，因此，．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
9、B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象．
10、A
【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
11、B
【解析】试题分析：根据函数解析式可得：函数的顶点坐标为（-k，k），则顶点在直线y=-x上.
考点：二次函数的顶点
12、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝AB．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则，正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
14、
【解析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为：
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
15、4s
【分析】将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求．
【详解】解：∵h==，
∴当t=4时，h取得最大值，
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s．
故答案为：4s．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是关键．
16、160°
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=100°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=200°，用360°-200°即可得到圆心角∠AOB．
【详解】如图，
∵∠α=2∠ACB，
而∠ACB=100°，
∴∠α=200°，
∴∠AOB=360°-200°=160°．
故答案为：160°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
17、1
【解析】连接BD．根据圆周角定理可得.
【详解】解：如图，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝1°，
∴∠ACD＝∠B＝1°，
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：圆周角定理.理解定义是关键.
18、2或1
【分析】当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，先计算出∠PAQ＝30°，根据圆周角定理得到∠POQ＝60°，则可判断△OPQ为等边三角形，从而得到PQ＝OP＝2；当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，先计算出∠PAQ＝90°，根据圆周角定理得到PQ为直径，从而得到PQ＝1．
【详解】解：当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ＝OP＝2；
当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝90°，
∴PQ为直径，
∴PQ＝1，
综上所述，PQ的长为2或1．
故答案为2或1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三、解答题（共78分）
19、，．
【解析】试题分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
试题解析：∵x2﹣8x+1=0，
∴x2﹣8x=﹣1，
∴x2﹣8x+16=﹣1+16，
∴（x﹣4）2=15，
解得，．
考点：解一元二次方程-配方法．
20、（1）见解析；（2）；；（3）面积为.
【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：过点作于，作于，如图①所示：
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：在中，由（1）知：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
在中，，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
，即： ，
解得：，
；
（3）解：过点作于，如图③所示：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
在等腰直角中，，
，
，
，
，
的面积为．
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
21、该段运河的河宽为．
【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：过作，可得四边形为矩形，
，
设，
在中，，
，
在中，，
，
由，得到，
解得：，即，
则该段运河的河宽为．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
22、（1）A（﹣，0），B（，0）；抛物线解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）
【分析】（1）在y=mx2+3mx﹣m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐标，继而根据已知求出点D的坐标，把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系数法求得m即可得函数解析式；
（2）先求出直线AD解析式，再根据直线BE∥AD，求得直线BE解析式，继而可得点E坐标，如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，从而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值为DE'，根据D、E'坐标即可求得答案；
（3）分情况进行讨论即可得答案.
【详解】（1）∵令y=0，
∴0=m x2+3mx﹣m，
∴x1=，x2=﹣，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴顶点D的横坐标为﹣，
∵直线y=﹣x﹣ 与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称，
∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣，
∴D（﹣，﹣3），
∴﹣3=m﹣m﹣m，
∴m=，
∴抛物线解析式y=x2+x﹣；
（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3），
∴直线AD解析式y=﹣x﹣，
∵直线BE∥AD，
∴直线BE解析式y=﹣x+，
∴﹣x﹣=﹣x+，
∴x=，
∴E（，﹣3），
如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，
根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，
∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，
即DQ+PQ+PE最小值为DE'，
∵D（﹣，﹣3），E'（，3），
∴DE'=12，
∴DQ+PQ+PE最小值为12；
（3）∵抛物线y=（x+）2﹣3图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后解析式y=x2，
当x=3时，y=3，
∴M （3，3），
如图3
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，则∠EAM=45°，
直线AE交y轴于F点，作MG⊥x轴，EH⊥MG，则△EHM≌△AMG，
∵A（﹣，0），M（3，3），
∴E（3﹣3，3+），
∴直线AE解析式：y=x+，
∴F（0，），
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，
同理可得：F（0，﹣）.
【点睛】
本题考查了待定系数法、轴对称的性质、抛物线的平移、线段和的最小值问题、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
23、（1）y＝，y＝1x+1；（1）四边形MBOC的面积是2．
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（1）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【详解】解：（1）∵BM＝OM＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣1＝，得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是2，
∴2＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，2），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，2）、点B（﹣1，﹣1），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝1x+1；
（1）∵y＝1x+1与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点B（﹣1，﹣1），点M（﹣1，0），
∴OC＝MB＝1，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝2．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
24、（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）先求出顶点横坐标，然后代入解析式求出顶点纵坐标即可；
（2）根据二次函数的增减性列式解答即可；
（3）分三种情况求解：①当k＞1时，当k＜0时，当时.
【详解】解：（1）对称轴为：，
代入函数得：，
∴顶点坐标为：；
（2）∵对称轴为：x=k，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当时，y随x增大而减小；
∵当时，y随x增大而减小；
∴
（3）①当k＞1时，在中，y随x增大而增大；
∴当x=1时，y取最大值，最大值为：；
∴ k=3；
②当k＜0时，在中，y随x增大而减小；
∴当x=0时，y取最大值，最大值为：；
∴ ；∴；
③当时，在中，y随x先增大再减小；
∴当x=k时，y取最大值，最大值为：；
∴ ；解得：k=2或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述：k的值为-2或3.
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
25、1．
【分析】先对已知a、b进行分母有理化，进而求得ab、a-b的值，再对进行适当变形即可求出式子的值．
【详解】解：∵a＝，b＝，
∴a＝+2，b＝﹣2，
∴ab＝1，a﹣b＝4，
∴
＝
＝
＝1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法和分母有理化的方法．
26、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.
【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
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