资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
2．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（ ）.
A． B．2 C． D．1或2
3．将0.000102用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
6．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣1
8．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（ ）
A． B．6 C． D．9
10．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝1．则△PEF的周长为（ ）
A．1 B．15 C．20 D．25
12．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是_____．
14．如图所示是二次函数的图象，下列结论：
①二次三项式的最大值为；
使成立的的取值范围是；
一元二次方程，当时，方程总有两个不相等的实数根；
该抛物线的对称轴是直线；
其中正确的结论有______________ (把所有正确结论的序号都填在横线上)
15．函数中，自变量的取值范围是________.
16．如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，，，，…在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为，则______.
17．若，则的值为__________．
18．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．己知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）先化简再求值：其中.
20．（8分）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.
求甲、乙两种智能设备单价；
垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
22．（10分）（1）计算：4sin260°+tan45°-8cos230°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，b=5，求a、c．
23．（10分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
24．（10分）如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边CD，CB上，点F在AC上，AB＝3，BC＝4
（1）求的值；
（2）把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断CP与AF的位置关系，并说明理由．
25．（12分）如图，在中，，点为边的中点，请按下列要求作图，并解决问题：
（1）作点关于的对称点；
（2）在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，
①面出旋转后的（其中、、三点旋转后的对应点分别是点、、）；
②若，则________．（用含的式子表示）
26．如图，在坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点.直线.
抛物线的解析式为 .直线的解析式为 ；
若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的解析式；
设抛物线的顶点关于轴的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象，直接写出点的纵坐标的取值范围.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
【点睛】
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
2、B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.
【详解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.
3、A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000102=1.02×10−4，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4、D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
5、B
【分析】连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点，先证△COD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD计算可得．
【详解】如图所示，连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点，
∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠ABD=∠ACD=40°，
∴∠DBC=30°，
则∠COD=2∠DBC=60°，
又OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
∴OD=CD=2，DE=
∴
则图中阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD
故选：B．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．
6、C
【解析】试题分析：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；故选C．
考点：几何概率．
7、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
8、D
【分析】先利用平方差公式得到=（a+b）（a-b），再把，整体代入即可．
【详解】解：=（a+b）（a-b）==．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了平方差公式，把a+b和a-b看成一个整体是解题的关键．
9、A
【分析】由点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，可得到m、n之间的关系，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形，可求出直角三角形的直角边的长，由平移可得直角三角形的直角顶点在直线l上，进而将问题转化为求△ADB的面积．
【详解】解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，
∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），
即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，
∵m+n＞0，
∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，
∴BD＝xB﹣xA＝n﹣m＝3，AD＝yA﹣yB＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，
又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，
∴平移后点A与点D重合，
因此，点D在直线l上，
∴S△ACB＝S△ADB＝AD•BD＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握计算法则.
10、D
【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
11、C
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝1，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长＝PA＋PB．
12、B
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x1+1x﹣1＝0，
∴x1+1x+1＝1，
∴（x+1）1＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、a＜1
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣＜，
解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
14、①③④
【分析】根据图象求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质结合图象可以判断各个小题中的结论是否正确．
【详解】由函数图象可知：抛物线过(-3，0)，(1，0)，(0，3)，
∴设抛物线解析式为，把(0，3)代入得：3=，解得：a=－1，
∴抛物线为，即，
∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确，
由=3，解得：x=0或x=-2，由图像可知：使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故②错误．
∵二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，
∴当k＜4时，直线y=k与抛物线有两个交点，
∴当k＜4时，方程一元二次方程总有两个不相等的实数根，故③正确，
该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，故④正确，
当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故⑤错误．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15、
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣1≠0，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
16、
【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线BB1．易求得△ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；
由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1, B2，B3，…Bn在一条直线上．
∴S△ABC1=×1×=
∵B B1∥AC1，
∴△ BD1B1∽ △ AC1D1，△BB1C1为等边三角形
则C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1边上的高也为；
∴S1=××=；
同理可得；
则=,
∴S2=××=；
同理可得：；
∴=，
Sn=××=．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17、
【分析】直接利用已知得出，代入进而得出答案．
【详解】∵
∴
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
18、1
【分析】袋中黑球的个数为，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：设袋中黑球的个数为，
根据题意得，解得，
即袋中黑球的个数为个．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用．
三、解答题（共78分）
19、
【解析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.
20、（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元.
【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；
（2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可.
【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则:
解得
经检验，是所列方程的根.
答：甲设备万元每台，乙设备万元每台.
设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则:
，解得
设每吨燃料棒在元基础上降价元，则
解得
.
每吨燃料棒售价应为元.
【点睛】
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程.
21、（2）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（2）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=2，从而求出BE=2．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（2）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有2个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=2．
∴ BE=2．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
22、（1）2 ；（2）a=5，c=1
【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；
（2）由直角三角形的性质可得c=2a，由勾股定理可求解．
【详解】（1）原式=4×()2+1﹣8×()2
=3+1﹣6
=﹣2；
（2）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴c=2a．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴3a2=75，
∴a=5(负数舍去)，
∴c=1．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答本题的关键．
23、（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
24、（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）CP⊥AF，理由：见解析.
【解析】(1)根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到AC＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(2)(Ⅰ)连接CF，根据旋转的性质得到∠BCG＝∠ACF，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论；
(Ⅱ)根据相似三角形的性质得到∠BGC＝∠AFC，推出点C，F，G，P四点共圆，根据圆周角定理得到∠CPF＝∠CGF＝90°，于是得到结论．
【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴，
∵四边形CEFG是矩形，
∴∠FGC＝90°，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CBA，
∴，
∵FG∥AB，
∴；
(2)(Ⅰ)连接CF，
∵把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，
∴∠BCG＝∠ACF，
∵，
∴△BCG∽△ACF，
∴；
(Ⅱ)CP⊥AF，
理由：∵△BCG∽△ACF，
∴∠BGC＝∠AFC，
∴点C，F，G，P四点共圆，
∴∠CPF＝∠CGF＝90°，
∴CP⊥AF．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）①见解析，②90°−α
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出O点；
（2）①利用网格特点和旋转的性质分别画出A、B、C三点对应点点E、F、G即可；
②先确定∠OCB＝∠DCB＝α，再利用OB＝OC和三角形内角和得到∠BOC＝180°−2α，根据旋转的性质得到∠COG＝90°，则∠BOG＝270°−2α，于是可计算出∠OGB＝α−45°，然后计算∠OGC−∠OGB即可．
【详解】（1）如图，点O为所作；
（2）①如图，△EFG为所作；
②∵点O与点D关于BC对称，
∴∠OCB＝∠DCB＝α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝α，
∴∠BOC＝180°−2α，
∵∠COG＝90°，
∴∠BOG＝180°−2α＋90°＝270°−2α，
∵OB＝OG，
∴∠OGB＝ [180°−（270°−2α）]＝α−45°，
∴∠BGC＝∠OGC−∠OGB＝45°−（α−45°）＝90°−α．
故答案为90°−α．
【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
26、（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)将两点坐标直接代入可求出b，c的值，进而求出抛物线解析式为，得出C的坐标，从而求出直线AC的解析式为y=x+3.
(2)设直线的解析式为，直线与抛物线只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式即可求出b的值.
(3)抛物线的顶点坐标为（-1，4），关于y轴的对称点为M（1，4），可确定M在直线AC上，分直线不在直线下方和直线在直线下方两种情况分析即可得解.
【详解】解：将A，B坐标代入解析式得出b=-2，c=3,
∴抛物线的解析式为：
当x=0 时，y=3，C的坐标为（0，3），
根据A，C坐标可求出直线AC的解析式为y=x+3.
直线，
设直线的解析式为.
直线与抛物线只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
解得.
直线的解析式为.
.
解析：如图所示，，
抛物线的顶点坐标为.
抛物线的顶点关于轴的对称点为.
当时，，
点在直线上.
①当直线不在直线下方时，直线能与抛物线在第二象限的部分形成封闭图形.
当时，.
当直线与直线重合，即动点落在直线上时，点的坐标为.
随着点沿抛物线对称轴向上运动，图形逐渐变小，直至直线与轴平行时，图形消失，此时点与抛物线的顶点重合，动点的坐标是，
②当直线在直线下方时，直线不能与抛物线的任何部分形成封闭图形.
综上，点的纵坐标的取值范围是.
【点睛】
本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合性题目，根据点坐标求出抛物线与直线的解析式是解题的关键.考查了学生对数据的综合分析能力，数形结合的能力，是一道很好的题目.
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