初三数学圆的经典讲义.doc

圆目 录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线 , 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCOE求CD的长例6.已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且ABDCONM求证：AB=CD例2已知，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF 【考点速练】1.已知O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A1cm B.2cm C. D.cm3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:46.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.ABDCO8008.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。 考点34. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 例2：如图，A是O的圆周角，且A35,则OBC=_.BOCAOABC例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=EFCDGO例例：如图，是O的直径，点都在O上，若，则 （例）例如图2，O的直径过弦的中点，则 例6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_._D_C_B_A_O 例7：已知O中，则O的半径为四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如图所示，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE OCAEBD例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求证：是等边三角形OADEBC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D的度数ABCDO（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD内接于O，点P在CD的延长线上，且APBD求证：ADCBOP例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DAABCDO六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，ABC内接于O， AB是 O的直径，CAD ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O的半径为5cm，AB与O相切吗？为什么?例3.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40。，求C的度数。ABCEOD例4如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线中考链接1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，若PO=13，的周长为24，AEPDBCO求：O的半径；若，的度数例2 如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若EFDCOAB（1）求AD、BE、CF的长；（2）当，求内切圆半径rEFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？AOCDBBBEF考点速练1：1如图，O是的内切圆，D、E、F为切点，则 2直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆半径为 ，内切圆半径为 AOCDBBBEFGB3如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，且ABCD，若OB=6，OC=8，则 ，O的半径= ，BE+CG= 八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r. （海伦公式S ， 其中s=)经典例题：例1阅读材料：如图（1），ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积 SABC =SOAB +SOBC +SOCA 又SOAB =ABr，SOBC =BCr，SOCA =ACr SABC =ABr+BCr+CAr =Lr（可作为三角形内切圆半径公式） （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）例2如图，ABC中，A=m （1）如图（1），当O是ABC的内心时，求BOC的度数； （2）如图（2），当O是ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数例3如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离考点速练1：1如图1，O内切于ABC，切点为D，E，F已知B=50，C=60，连结OE，OF，DE，DF，那么EDF等于（ ）A40 B55 C65 D70 图1 图2 图32如图2，O是ABC的内切圆，D，E，F是切点，A=50，C=60，则DOE=（ ） A70 B110 C120 D1303如图3，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（ ） A112.5 B112 C125 D554下列命题正确的是（ ） A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.56如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F （1）求证：BF=CE；（2）若C=30，CE=2，求AC的长7如图，I切ABC的边分别为D，E，F，B=70，C=60，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），DMF的大小一定吗？若一定，求出DMF的大小；若不一定，请说明理由 九了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】考点11. 弦切角的概念： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。 2. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 3. 弦切角定理的推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点2圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论（或称割线定理）： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。典型例题：例1. 如图，经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。 求证：ATCTBC 例2. 已知：如图，AB是O的弦，P是AB上的一点，AB10cm，PA4cm，OP5cm，求O的半径。 例3. AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，连结AD，若AD15，求BC的长。十圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例1、如图，已知与相交于A、B两点，P是上一点，PB的延长线交于点C，PA交于点D，CD的延长线交于为N.（1）过点A作AE/CN交于点E.求证：PA=PE.PABCEND（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长.例2 如图，在中，圆A的半径为1，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设的面积为y.（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求的面积.OBCA经典得不能再经典的练习一选择1.已知O1与O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）ABC或D或3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A外离 B外切相交 D内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A相交 B外离 C内切 D内含5.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）A内切 B相交 C外切 D外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是A11B7C4D37.已知O1和O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是B310245D310245A310245C310245 8.若两圆的半径分别是2cm和3cm,圆心距为5cm，则这两个圆的位置关系是（ ）A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离9.若与相切，且，的半径，则的半径是（ ）A 3 B 5 C 7 D 3 或7 10.已知与外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距的长是（ ）A=1B5CD11.已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是A外离 B外切 C相交 D内切12.如图，把O1向右平移8个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且O1AO2A，则图中阴影部分的面积是 A.4-8 B. 8-16 C.16-16 D. 16-3213若两圆的直径分别是2cm和10cm，圆心距为8cm，则这两个圆的位置关系是 （ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离ABOC14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm POBA15.如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ）ABCD16若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）A1B2C3D417.图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A2种B3种C4种D5种18已知的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为7cm，则与的位置关系是 二填空19.已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 .20.已知相交两圆的半径分别为和，公共弦长为，则这两个圆的圆心距是_21.已知的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为7cm，则与的位置关系是 22.已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 23.如图，的半径分别为1cm，2cm，圆心距为5cm如果由图示位置沿直线向右平移3cm，则此时该圆与的位置关系是_24.已知相切两圆的半径分别为和，这两个圆的圆心距是 25.已知O1和O2的半径分别为和且则O1和O2的位置关系为 26已知的三边分别是，两圆的半径，圆心距，则这两个圆的位置关系是27如图，正方形中，是边上一点，以为圆心.为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为 DCEBA（27） OyxCDBAO1O260（第28题）l十一.圆的有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例1 如图，RtABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度有关阴影部分面积的求法COABDE例2 如图所示，等腰直角三角形的斜边，是的中点，以为圆心的半圆分别与两腰相切于、求圆中阴影部分的面积求曲面上最短距离例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（ ） A2 B4 C4 D5求圆锥的侧面积例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）【考点速练】一、基础训练1已知扇形的圆心角为120，半径为2cm，则扇形的弧长是_cm，扇形的面积是_cm22如图1，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm2 （1） （2） （3） （4）3如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm24如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120，则r与R之间的关系是（ ） AR=2r BR=r CR=3r DR=4r5如图4，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（ ） A60cm2 B45cm2 C30cm2 D15cm26已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：17用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ） A10cm B30cm C45cm D300cm8将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm9如图5，圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（ ）A B C2 D4 （5） （6） （7）26