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2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究19权方和不等式的妙用湖北省通山县第一中学(437600)刘昌领摘要 本文结合实例介绍了权方和不等式在解决不等式中的应用.关键词 权方和不等式;柯西不等式,最值问题不等式是高考数学重要内容之一,也是高考的热点问题之一,这类试题蕴含极为丰富的重要数学思想方法,本文通过对我校 10 月联考填空压轴题进行多解法探究与思考,侧重于利用权方和不等式解决分式不等式的最值问题,它比常数代换法更简单快捷,介绍如下.一、原题呈现题目(2022 年 10 月湖北百校大联考)已知正数 x,y 满足 3x+4y=4,则 y(1xy+3+12xy+1)的最小值为.分析 1通过对所要求解的式子进行分子分母同时除以y 变形处理,再与条件式子进行比对,配凑便可使用常数代换法.解法 1(常数代换法)注意到 y(1xy+3+12xy+1)=1x+3y+12x+1y.因为3x+4y=(x+3y)+(2x+1y)=4,所以14(x+3y)+(2x+1y)=1.则y(1xy+3+12xy+1)=14(x+3y)+(2x+1y)(1x+3y+12x+1y)=14(2+x+3y2x+1y+2x+1yx+3y)14(2+2vuuuuutx+3y2x+1y2x+1yx+3y)=1,当且仅当x+3y2x+1y=2x+1yx+3y,即 x=45,y=52时,等号成立.所以 y(1xy+3+12xy+1)的最小值为 1.评注 显然利用常数代换法计算过程较长.分析 2通过观察,可以把 y 换成关于 xy 的式子,再双换元,应用基本不等式即可.3.加强阅读理解能力的培养高考在统计方面的命题常以应用题为载体,重视统计的理论知识与实际生活相结合,题材内容丰富,注重考查考生的应用意识、阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力,往往考题的文字描述多,对考生的阅读理解能力要求高.所以要加强阅读理解能力的培养,重视审题教学,教会学生准确理解题意,能从大量的信息中提取对研究问题有效的信息,并做出判断,这是数据处理能力的基本要求.4.注重数学核心素养的培养及数学思想方法的渗透高考命题的趋势是以知识为载体,能力立意,思想方法为灵魂,核心素养为统领.统计的命题兼顾基础性、综合性、应用性和创新性,以此展现数学的科学价值和人文价值,在全面考查综合数学素养的基础上区分考生的数学能力的差异.因此教师在统计复习时,要结合相应的教学内容,落实“四基”,培养“四能”,适当渗透数学思想方法(如数学建模、转化与化归、分类讨论等思想)促进学生数学核心素养(如数据分析与处理、数学运算等)的形成与发展.5.认真研究考题,把握高考命题方向把脉高考命题方向是每位教师备考时的一项重要工作,近几年高考对统计方面的考查内容和方向变化不大,保持较高的稳定性.主要考查统计中的基本概念,抽样方法,样本的数字特征,频率分布直方图,茎叶图,独立性检验与回归方程等知识的应用、决策问题.复习时要做好近年高考题的归类整理,备考选题以全国卷为主,分类分组训练,避免知识类型的“盲区”,并领会题目所蕴含的数学思想与方法.参考文献1 赵萍,林国红.2019 年高考全国 卷概率与统计试题分析及备考建议 J.中学数学研究(华南师范大学版),2019(17):33-37.2 林国红.巧处理,活变形,突破高考统计大题的运算瓶颈 J.教学考试,2019(02):8-11.20中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)解法 2(变形+双换元+基本不等式)因为 x 0,y 0,3x+4y=4,所以 y=14(3xy+4),y(1xy+3+12xy+1)=14(3xy+4)(1xy+3+12xy+1).设 a=xy+3,b=2xy+1,则 a+b=3xy+4,原式=14(a+b)(1a+1b)14 2ab 21a1b=1,当且仅当 a=b,1a=1b,即 x=45,y=52时,等号成立.分析 3通过观察条件式子,把 xy 整体替换,双变量化为单变量,通过对式子进行变形处理,再令 t=5y整体换元,从而转化为二次函数求最值.解法 3(双变量化单变量+换元+二次函数求最值)因为x 0,y 0,3x+4y=4,所以xy=4(y 1)3 0.则 y 1,y(1xy+3+12xy+1)=y(14(y 1)3+3+12 4(y 1)3+1)=3y(14y+5+18y 5)=36y2(4y+5)(8y 5)=361(4+5y)(8 5y).令 t=5y,t (0,5),设 g(t)=(4+t)(8t)=(t2)2+36,t (0,5),当 t=2 时,g(t)max=36,36g(t)max=1,所以y(1xy+3+12xy+1)的最小值为 1.解法 4(变形 1+权方和不等式)因为x 0,y 0,3x+4y=4,所以xy=4(y 1)3 0.于是 y 1,y(1xy+3+12xy+1)=y(14(y 1)3+3+12 4(y 1)3+1)=3y(14y+5+18y 5)3y(1+1)2(4y+5)+(8y 5)=1,当且仅当14y+5=18y 5,即 x=45,y=52时,等号成立.解法 5(变形 2+权方和不等式)因为 x 0,y 0,3x+4y=4,所以y(1xy+3+12xy+1)=1x+3y+12x+1y(1+1)2(x+3y)+(2x+1y)=1,当且仅当1x+3y=12x+1y,即 x=45,y=52时,等号成立.评注通过比较以上五种解法,发现对于两个分式之和的最值问题,当分子都是常数,且分母之和也为常数时,利用权方和不等式能快速计算出正确答案.二、权方和不等式权方和不等式 已知 a,b,x,y 0,则a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时,等号成立.证法 1(基本不等式)因为 a,b,x,y 0,所以(a2x+b2y)(x+y)=a2+a2yx+b2xy+b2(a2+b2)+2a2yx b2xy=(a+b)2,所以a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当a2yx=b2xy,即ax=by时,等号成立.证法 2(二维形式的柯西不等式)由柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(当且仅当ac=bd时,等号成立)得(ax)2+(by)2(x)2+(y)2 (a+b)2,即a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时,等号成立.权方和不等式还可以拓展为以下形式:若 ai 0,bi 0,m 0,(i=1,2,n),则am+11bm1+am+12b2m+am+1nbmn(a1+a2+an)m+1(b1+b2+bn)m,当且仅当a1b1=a2b2=anbn时,等号成立.其中 m 称为该不等式的权;权方和不等式的特征:分子幂指数比分母幂指数高 1 次.在高中阶段,我们只需要掌握二元和三元的权方和不等式即可.二元权方和不等式用于“知和求和型”求最值,本质是“1”的常数代换.三、典例分析例 1 已知 a 5b 0,a+b=1,则1a 5b+2b的最小值为.2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究21解 因为 a 5b 0,所以 a 5b 0,a 0,b 0,1a 5b+2b=1a 5b+126b(1+23)2(a 5b)+6b=13+43,当且仅当1a 5b=236b,即 a=27+333,b=6 333时,等号成立.点评 配凑系数,使之能用权方和不等式.例 2 对任意 x 1,y 12,x2a2(2y 1)+4y2a2(x 1)1恒成立,则实数 a 的最大值为.解因为x2a2(2y 1)+4y2a2(x 1)1 恒成立,所以a26x22y 1+4y2x 1,对任意 x 1,y 12恒成立.所以a26(x22y 1+4y2x 1)min,x22y 1+4y2x 1(x+2y)2(2y 1)+(x 1).设 x+2y 2=t,(t 0),则x22y 1+4y2x 1(x+2y)2(2y 1)+(x 1)=(t+2)2t=t+4t+4 8.当且仅当x+2y 2=2,x2y 1=2yx 1,即x=2,y=1时,两个等号同时成立.例 3如图 1,在 ABC中,AB=1,AC=2,若 M为线段 BC 上靠近点 B 的一个三等分点,则1|AM|2+2|BC|2的最小值为.图 1解设 BAC=,由 余 弦 定 理 可 得:|BC|2=5 4cos.因为 AM=23 AB+13 AC,所以|AM|2=(23 AB+13 AC)2=89+89cos,从而1|AM|2+2|BC|2=189+89cos+25 4cos=981+cos+1254 cos(322+22)2(1+cos)+(54 cos)=2518,当且仅当3221+cos=225/4 cos,即 cos=720时,等号成立.例 4 若 (0,2),则27sin+64cos的最小值为.解 因为 (0,2),所以 sin 0,cos 0,27sin+64cos=932(sin2)12+1632(cos2)12(9+16)32(sin2+cos2)12=125,当且仅当9sin2=16cos2,即 sin=35,cos=45时,等号成立.例 5 已知 x,y 0,且1x+4y+4=x+y,求 x+y 最小值.解因为 x+y=1x+4y+4(1+2)2x+y+4,当且仅当1x=2y时,等号成立.所以 x+y 9x+y+4,(x+y)2 4(x+y)9 0,从而 x+y 2+213 或x+y 6 2 213(舍),故 x+y 最小值为 2+213.点评本题所给条件式子较为复杂,但是可以通过权方和不等式,建立起关于 x+y 的不等式,以便求最小值.例 6 已知 x,y 0,且 x+3y=2,则1x3+3y3的最小值为.解 由基本不等式1x3+3y314x3+14y3+14y3+14y3=(1+1+1+1)4(x+y+y+y)3=256(x+3y)3=32,当且仅当x+3y=21x=1y即 x=y=12时,等号成立.例 7已知 x,y 0,4x+9y=1,则42x2+x+9y2+y的最小值为.解法一(三角换元+权方和不等式)设4x=cos2,9y=sin2,则42x2+x+9y2+y=42 16cos4+4cos2+981sin4+9sin2=cos48+cos2+sin49+sin2(cos2+sin2)2(8+cos2)+(9+sin2)=118,当且仅当cos28+cos2=sin29+sin2,即 cos2=817,sin2=917时,等号成立.解法二(消元+权方和不等式)因为 x,y 0,4x+9y=1,所以 x=4yy 9(y 9),42x2+x+9y2+y=42(4yy 9)2+4yy 9+9y2+y=(y9)28y2+y(y9)+819y2+9y(y9+9)2(9y29y)+(9y2+9y)=118,22中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)当且仅当y 99y2 9y=99y2+9y,即 x=172,y=17 时,等号成立.解法三(双换元+权方和不等式)设4x=m,9y=n,则 x=4m,y=9n,m+n=1.42x2+x+9y2+y=42(4m)2+4m+9(9n)2+9n=m28+m+n29+n(m+n)2(8+m)+(9+n)=118,当且仅当m8+m=n9+n,即 m=817,n=917,也即x=172,y=17 时,等号成立.解法四(双换元+拆分+权方和不等式)设4x=m,9y=n,则 x=4m,y=9n,m+n=1.42x2+x+9y2+y=42(4m)2+4m+9(9n)2+9n=m28+m+n29+n=m(m+8 8)8+m+n(n+9 9)9+n=m 8mm+8+n 9n9+n=1 8(m+8 8)m+89(n+9 9)9+n=16+64m+8+81n+9 16+(8+9)2(m+8)+(n+9)=16+28918=118,当且仅当88+m=99+n,即 m=817,n=917,也即x=172,y=17 时,等号成立.解法五(巧变形+拆分+权方和不等式)42x2+x+9y2+y=4x2x+1+9yy+1=(4x)24x(2x+1)+(9y)29y(y+1)=(4x)28+4x+(9y)29+9y(4x+9y)2(8+4x)+(9+9y)=118,当且仅当4x8+4x=9y9+9y,即 x=172,y=17 时,等号成立.解法六(拆分+逆用权方和不等式)42x2+x+9y2+y=4x(2x+1)+9y(y+1)=4x82x+1+9y9y+1=1 (4x+12+9y+1)=1 (179+19)2x+12+(176+16)2y+11 (179)2x+(19)212+(176)2y+(16)21=1 (28981x+281+28936y+136)=1 289324(4x+9y)(281+136)=118,当且仅当179:x=19:12,176:y=16:1,即 x=172,y=17时,等号成立.点评 本题六种解法,从三角换元,双换元,拆分,巧妙变形等不同角度对式子进行变形,再用权方和不等式,第六种解法逆用权方和不等式很巧妙.通过一题多解,培养和锻炼学生发散思维的能力.四、感悟从上述例题的计算过程可知,应用权方和不等式解题,蕴含了丰富的数学思想,如“配凑”思想、转化与化归思想、构造思想、整体代换思想、“消元”思想等.而且,多元权方和不等式为我们解决多元不等式提供了新思路、新方法.权方和不等式可以很快地计算分式表达式的最值,对于应用基本不等式较难的题目,应用权方和不等式能比较快捷地得出正确结果,对于选择填空题中的不等式来说具有较大的优势,可以直接应用.灵活选用权方和不等式能起到意想不到的化简效果.对于解答题,权方和不等式也能给人启发,转化为基本不等式的问题进行求解即可.在高中数学教材中没有权方和不等式的相关知识,权方和不等式实质是 Holder 不等式的特例.在讲解不等式的过程中,可以将权方和不等式的内容渗透进去,既能为求不等式的最值、证明不等式提供更加广阔的思路,又能提高学生的解题效率和准确性.