求二面角的八法及其证明.pdf

32中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)求二面角的八法及其证明湖北省石首市第一中学(434499)王金涛柯美俭摘要二面角在高中立体几何中扮演着重要角色,是高考的高频考点,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.本文对求二面角已有的方法进行了系统全面的整理归纳,其中涉及三垂线法、三面角余弦定理法、三正弦定理法等八种方法,部分方法还补充了详细的证明以及对应的例题解析,其中还对向量法进行了变形,并通过公式方法给出.本文所做的工作对于提升学生空间想象能力和思维创新能力具有重要意义.关键词二面角;三垂线定理;三正弦定理;三面角余弦定理二面角是空间图形,而空间图形是通过直观图来展示的,而学生对几何图形的认识仅停留在平面图形,对二面角问题的理解不够清晰、透彻,做题时容易丢分,以及学生对于给定题目条件的解读以及方法的选取存在一定障碍,究其原因是对二面角的本质认识有所缺乏.文献 1 中展示了求二面角的六种方法,作者将求二面角问题根据所求两面是否有公共棱分为两大类:有棱和无棱二面角问题.文献 2 中作者结合例题介绍了三种求解二面角问题的常规方法,为学生提供了解题的思路.文献 3-4 中展示了一种求二面角的新方法三面角余弦定理,并给出了该方法的完整论证.本文在文献 1-4 的基础上,再次对求解二面角问题进行了梳理归纳,并附上了部分方法的证明过程,并对文献中的向量法进行变形,便于学生理解和记忆,学生通过对八种方法的学习,进而融会贯通,从而在理解和解题过程中达到空间问题转化为平面问题,复杂问题转化为简单问题的目的.一、预备知识(一)二面角定义 15从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如 图 1 所 示,在 二 面 角 l 的棱 l 上任取一点图 1O,以点 O 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角,其取值范围为 0,.(二)三垂线定理及逆定理定理 16三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.定理 26三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.(三)余弦定理及推论定理 35在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b,c.三角形中任何一边的平方,等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2 2bccosA,b2=c2+a2 2cacosB,c2=a2+b2 2abcosC.余弦定理推论:cosA=b2+c2 a22bc,cosB=c2+a2 b22ca,cosC=a2+b2 c22ab.二、八法及其证明(一)定义法定义法是根据二面角的平面角定义找出二面角,即在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两条射线所成角即二面角的平面角,简记“一找二证三求”.(二)垂面法如图 2,过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两条交线所成的角即二面角的平面角.图 2图 3(三)三垂线法三垂线法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线,再由垂足(或仍是该点)作棱的垂线,连接该点和棱上的垂足(l 或连两垂足)两点线,可得二面角的平面2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究33角.证明如图 3,在二面角中,在平面 内任取一点 A,过点 A 作 AB 平面,B 为垂足,由 B(或 A)作 BO(或 AO)l,连接 AO(或 BO)即得 AO 是平面 的斜线,BO 是 AO在平面 中的射影,根据三垂线定理(或逆定理)即得 AOl,BOl,即 AOB 是 l 的平面角.例 1如图 4,在三棱锥 A BCD 中,平面 ABD 平面 BCD,AB=AD,O 是 BD 的中点.若 OCD 是边长为 1 的等边三角形,点 E 在棱 AD 上,DE=2EA,且二面角 E BC D 的大小为 45,求三棱锥 A BCD 的体积.图 4图 5解析因为点 O 为 BD 中点,OCD 为等边三角形,故 OB=OC=OD=1,由余弦定理可得 BC=3.又BD2=BC2+CD2,所以 BCCD.如图 5,作 EFBD 于F,FHBC 于H,连接EH.又因为BC EF,BC HF,HF EF=F,EF,HF 平面 EFH,所以 BC 平面EFH,所以 BCEH,故 EHF=45.由 DE=2EA,则有 EF=HF=23,故 AO=32EF=1,综上可得VABCD=13 1 32=36.(四)三正弦定理法如图 6,=l,AP ,CP,BCl,BPl,记线面角 PAC=1,线线角 PAB=2,二面角PBC=3,则 sin1=PCPA,sin2=PBPA,sin3=PCPB,可得 sin1=sin2 sin3.图 6图 7例 2如图 7,在三棱锥 P ABC 中,EFAB,点 E在平面 ABC 上的射影为 H,点 G 为线段 AF 上异于端点的一点.已知直线 GE 与平面 ABC 所成角余弦值为225,sinEGF=25,求锐二面角 P AB C 的大小.解析记二面角 P AB C 为,由直线 GE 与平 面 ABC 所 成 角 余 弦 值 为225,则 有 sinEGH=1 (225)2=35,由三正弦定理可得,sinEGH=sinEGF sin,即 sin=32,故二面角 P AB C 为3.(五)余弦公式法如图 8,=l,且 ABl,CDl,AB ,CD ,设 AB=a,CD=b,BD=c,AC=d,二面角 l 为,则 cos=a2+b2+c2 d22ab.证明 如图 92 将 CD 平移至 NB 处,则四边形 CDBN为矩形,且 CN/l,故 ABN 即为二面角 l 的平面角,又因为 CNBN,CNAB,所以 CN 平面 ABN,所以 CNAN,由余弦定理可得,cosABN=AB2+BN2 AN22AB BN=AB2+BN2(AC2 CN2)2AB BN即 cos=a2+b2+c2 d22ab.图 8图 9例 3 如图 10,在二面角 l 中,A l,B l,AC,BD ,且 ACl,BDl,若 AB=1,AC=BD=2,CD=5,求二面角 l 的余弦值.解析记二面角 l 为,由余弦公式可得,cos=4+4+1 52 2 2=12,故二面角 l 的余弦值为12.图 10图 11(六)射影面积法二面角 l 的大小为,S 是平面 内任意一个平面图形的面积,它在平面 内的射影面积为 S,则有cos=SS.(注意:先通过图形来判断二面角是锐角还是钝角,此处以锐角为例.)证明 以三角形着手进行探究,若在平面内有ABC,34中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)其面积为 S,它在平面 内的射影为 ABC,面积为 S.不妨假设 ABC 的边 BC 在交线 l 上,如图 11,作边 BC上的高 AD,则 AD 在平面 内的射影为 AD,由射影性质可知 AD=ADcos,则有 S=12BC AD=12BC ADcos=S cos,即 cos=SS.由于任一平面多边形都可以切割成若干个三角形,每个三角形都满足 cos=SS,因此原命题得证.例 4 如图 12,在多面体 ABCDE 中,平面 ACD 平面ABC,BE 平面 ABC,ABC 和 ACD 均为正三角形,AC=4,BE=3,求平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值.图 12图 13解析记平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角为,如图 13,设点 D 在底面 ABC 上的射影为点 F,点E 在底面 ABC 上的射影为点 B,则 S射影CBF=23,且 CD=4,CE=19,DE=DH2+HE2=15,故 cosDCE=16+19 15819=5219,则 sinDCE=51219,所以 SDEC=51,故 cos=S射影S原=217,所以tan=132,故平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为132.(七)空间坐标法图 14建立空间直角坐标系.如图 14,若平面,的法向量分别是 n1和 n2,则平面 与平面 的夹角即为向量 n1和 n2的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为,则|cos|=|cosn1,n2|=?n1 n2|n1|n2|?.(八)三面角余弦定理法三面角余弦定理法主要用于三垂线法不易作出二面角的普通三棱锥图形,如图 15,在三棱锥 P ABC中,从 PB 开始,依逆时针方向依次记:BPC=,CPA=,APB=,则二面角 B AP C 的余弦值 cos=cos cos cossin sin,即只要知道了三棱锥的六条棱的长度或比值,就可求出任何两个面的二面角.图 15图 16图 17例5 如图16,三棱锥ABCD 中,AB=AD=BD=2,BC=CD=3.若平面 ABC 平面 BCD,求二面角B AD C 的余弦值.解析如图 17,取 BD 中点 O,连接 AO,CO,因为AB=AD,CB=CD,所以 BDAO,BDCO,又因为AO CO=O,AO,CO 平面 AOC,所以 BD 平面 AOC,故 BDAC.又因为平面 ABC 平面 BCD,所以 AC 平面 BCD,故 ACCD,则有 AC=1.记BAC=,CAD=,DAB=,二面角 B AD C为,则有 cos=5 34=12,cos=12,cos=12,由三面角法可得:cos=cos cos cossin sin=1212123232=13,故二面角 B AD C 的余弦值为13.三、结语通过整理归纳,为学生提供了特殊的解题方法和公式,一方面有助于提升学生空间想象能力,培养学生数学思维,另一方面提高学生解题能力,在考试中能够触类旁通、举一反三.参考文献1 袁明,张欣蕾.六法求“二面角”J.数理天地(高中版),2022(21):15-17.2 丁军.立体几何中二面角问题的解法例析 J.中学数学,2022(21):59-60.3 杨军.求二面角的又一思路 J.数学通讯,2009(22):18-20.4 鲁勤,童益民.基于三面角模型的角度问题 J.中学数学研究(华南师范大学版),2021(07):13-16.5 章建跃,李增沪.数学必修第二册 M.人民教育出版社,2019:155-156.6 齐玲.三垂线定理及其逆定理的应用 J.中学生数理化(高二版),2009(01):20-21.