深化概念理解 拓展素养提升——高三一轮复习课“椭圆及其标准方程”教学实录与反思.pdf

下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）课例评介课例评介数学概念是数学知识体系的基础，是高考考查的重点，也应该是新授课教学与高考复习的重点.在高三复习教学中，大多数教师对概念的复习往往简单罗列知识，不用联系的观点挖掘概念的内涵，不是引导学生应用概念解决问题，而是直接跳过概念的复习开展做题和讲题活动.多年来，在高三数学复习教学中，笔者始终坚持在概念复习上下功夫，努力围绕概念设置问题，让学生深入理解概念，促使学生认识到概念是问题之源，是解决问题的核心.下面以笔者在合肥市高中数学骨干教师教学展示活动中的“椭圆及其标准方程”高三一轮复习展示课为例，谈谈如何深化概念复习，以助力学生完善知识结构，拓展素养提升.一、课堂实录1.概念回顾问题：平面上到两个定点B()-1，0，C()1，0的距离之和为4的点A的轨迹是什么？生众：椭圆.【设计意图】复习课的开始没有直接给出椭圆的概念，而是让学生带着问题进行复习回顾，自然引出椭圆的定义，旨在激发学生主动回忆和思考椭圆的相关概念，根据条件辨识动点的轨迹类型.师：你们是如何判断出来的？生1：根据椭圆的定义.师：椭圆的定义是什么？生1：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫作椭圆.师：有补充吗？生1感到疑惑，显然已经不记得常数的限制条件了.生2：该常数需要大于|F1F2.师：为什么？此时大部分学生都没有回答出来，这反映出学生死记硬背结论，对概念缺乏深入理解.这时，教师展示事先准备好的一段细绳和两颗图钉，简要演示随着细绳长度和两颗图钉之间距离的变化，点的轨迹发生变化的情况.在这种实际操作下，学生很快知道为什么有此限制条件.生众：当常数2a=|F1F2时，点P的轨迹为线段F1F2；当常数2a|BC，根据椭圆的定义徐朴（安徽省合肥市第八中学）摘要：如何提升高三一轮复习课的效益，是广大高三数学教师十分关注的话题.切实把握高三一轮复习课与新授课在目标定位、内容选择、问题设计等方面的区别与联系，是提高复习效率的基本要求.以一节概念课的复习为例，以问题为引领，突出对概念内涵的揭示，深化学生对相关知识与方法的理解与应用，对提高复习效益进行了积极探索.关键词：高三复习课；概念复习；变式拓展中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0039-04引用格式：徐朴.深化概念理解拓展素养提升：高三一轮复习课“椭圆及其标准方程”教学实录与反思 J.中国数学教育（高中版），2024（2）：39-42.作者简介：徐朴（1981），女，高级教师，主要从事高中数学课堂教学和命题研究.深化概念理解拓展素养提升高三一轮复习课“椭圆及其标准方程”教学实录与反思 39下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）课例评介课例评介可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.教师借助课件展示判断过程并板书椭圆的定义及其符号表示.【设计意图】在判断问题中点A的轨迹时，学生可能会因为惯性思维不假思索，将答案脱口而出.因此，教师提问时，需要让学生说出轨迹是椭圆的判断依据，防止学生忽视2a|F1F2这一限制条件.必要时，可以通过信息技术软件进行直观演示，从而帮助学生加深理解.师：能否通过改变问题中的条件让点A的轨迹变成线段BC？生4：把距离之和改成2，或者把点B()-1，0，C()1，0改成点B()-2，0，C()2，0.【设计意图】让学生自己命题，培养学生的逆向思维能力，检查学生能否在具体问题中自觉应用椭圆的定义进行判断.师：若ABC的周长为6，B()-1，0，C()1，0，则顶点A的轨迹是什么？生5：与问题一样，因为|AB+|AC+|BC=6，|BC=2，所以|AB+|AC=4|BC.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.师：仔细观察题目的条件，与问题有何不同？生6：需要构成三角形.师：三角形是怎么定义的？生7：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接.师：三角形是由同一平面上不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形.那么，该题中的椭圆上的点是否都符合构成三角形这一条件呢？生众：点A不能落在直线BC上，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但是要去掉椭圆与直线BC的两个交点.【设计意图】设计这个变式的目的是让学生感受到解题时需要关注由条件变化带来的结果变化，学会与问题进行对照和类比.当“和为常数”这一条件不变，加入点A与点B，C构成ABC时，需要关注三角形的定义的条件限制.通过回顾三角形的定义和椭圆的定义，让学生进一步明晰牢固掌握定义的重要性.2.方程推导师：已知动点M的轨迹为椭圆，根据定义，该点具有什么几何特征？生众：|MF1+|MF2=2a（2a为常数）.师：以点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.能不能把点M满足的关系式|MF1+|MF2=2a（2a为常数）用点的坐标表达出来？生众：设M()x，y，|F1F2=2c，则F1()-c，0，F2()c，0，所以()x+c2+y2+()x-c2+y2=2a.师：怎样化简这个方程？得到的最后结果是什么？生众：先把一个根式移到等式的另一边，两边平方，去掉一个根号后，再把含根号的式子移到一边，不含根号的式子移到另一边，再次平方，合并同类项.学生回答，教师展示学生课前所做的方程化简推导过程.师：在得到()a2-c2x2+a2y2=a2()a2-c2后，还可以怎样化简？生8：等式两边同除以a2()a2-c2，得x2a2+y2a2-c2=1.令a2-c2=b2()ac，得x2a2+y2b2=1()ab0.其中，F1(-c，0)，F2(c，0)，c2=a2-b2.师：为什么需要这样的变形？教师引导学生观察等号两边式子的形式，感受这样的变形过程可以让方程变得更简洁、更对称，且易于书写和记忆.师：如果将椭圆的焦点放在y轴上，即F1()0，-c，F2()0，c，那么椭圆的标准方程是什么？生众：y2a2+x2b2=1()ab0，其 中F1()0，-c，F2()0，c，c2=a2-b2.【设计意图】在复习椭圆的标准方程时，有的教师往往直接给出椭圆的标准方程而不带领学生回顾方程的推导过程，这样既不利于学生数学运算素养的培养，也不利于学生对椭圆的标准方程的理解.笔者认为，在复习时仍然需要教学椭圆的标准方程的推导过程.其与新授课的区别在于：在教学方式上，新授课将精力放在根式的变形和化简，以及学生自己推导标准方程上，而复习课则侧重于让学生梳理、总结椭圆的标准方程推导过程中用到的数学思想方法，让学生感受用坐标法研究椭圆的标准方程的必要性，体会椭圆的标准方程实际上是其定义式的坐标表达.在化简由椭圆的定义得到的无理方程时，让学生通过回忆总结变形过程“移项平方再移项再平方”，得到化简无理方程的基本办法，经历“无理式有理式分式换元标准化”得到椭圆的标准方程的过程，让 40下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）课例评介课例评介学生感受数学的简洁美和对称美.通过椭圆的标准方程的推导，让学生感受新知识的生长点源自其定义.师：如果点A()x，y的坐标满足方程()x+12+y2+()x-12+y2=4，那么点A的轨迹是什么？【设计意图】对问题进一步变式，用坐标表示椭圆的定义，让学生感受判断的依据仍然是椭圆的定义，学会透过现象看本质.3.深入探究师：根据椭圆的定义，可知椭圆上的点P满足|PF1+|PF2=2a.当点P，F1，F2构成三角形时，我们来研究这个三角形里的一些几何问题，如PF1F2的周长是多少？能否给即将研究的椭圆选定一个具体的方程，求它的周长？学生纷纷给出不同的方程，如x24+y23=1，x24+y2=1，x216+y28=1，等等.教师引导学生讨论，发现选定方程x24+y23=1能够使运算变得简单.【设计意图】由椭圆的定义引出椭圆的焦点三角形问题，感悟椭圆的焦点三角形问题需要使用椭圆的定义来解决，让学生自己选定方程，培养学生的主动探究意识和简化求解意识.师：除求PF1F2的周长外，还可以求这个三角形的哪些几何量呢？生9：求PF1F2的面积.师：如果求PF1F2的面积，还需要提供什么几何条件？教师引导学生发现，如果要求PF1F2的面积，需要再增加一个几何条件，即给定这个三角形的一条边或一个内角，然后结合余弦定理和三角形的面积公式求解.师：如果我们给出F1PF2的大小，能否通过给定这个角一个具体的角度求解此时PF1F2的面积？生众：60，90，30，120等.师：我们先选定F1PF2为60来研究.此时，如何求PF1F2的面积？学生思考求解思路，教师给予指导，引导学生运用椭圆的定义及余弦定理整体求解.师：若F1PF2=90，能否求出PF1F2的面积？生10在黑板上书写求解过程如下.解：设|PF1=m，|PF2=n.由题意，得m+n=4，|F1F2=2，m2+n2=4.将m+n=4平方，得()m+n2=16.将该式展开后代入m2+n2=4，得mn=6.所以SF1PF2=12mn=3.师：若F1PF2=90，你能求出|PF1和|PF2的长度吗？学生尝试求解：因为m2+n2=4，m+n=4，所以m2+()4-m2=4.整理，得m2-4m+6=0.由其判别式=16-24=-80发现无解.由此激发学生进一步思考探究.师：F1PF2的大小可以任意取值吗？生众：不可以.师：我们有必要研究F1PF2的取值是否有范围限制.请大家看课件，观察点P的位置变动时F1PF2的大小有什么变化.学生观察后发现：当点P沿逆时针方向在椭圆位于第一象限部分的图象上移动时，F1PF2不断变大，到达短轴顶点时，F1PF2达到最大.当点P移动到椭圆位于第二象限部分的图象上时，F1PF2不断变小.观察点在各个象限内的变化，由此猜想，当点P位于椭圆短轴的顶点时，F1PF2取得最大值.师：通过观察，我们猜想当点P位于椭圆短轴的顶点时，F1PF2取得最大值.如何论证这一猜想呢？师生共同探究、证明这一结论.【设计意图】观察点P的位置变化，利用图形的直观性和对称性发现结论，进行探究，让学生经历“观察猜想论证”这一思维过程，体会数学知识的探究和获得过程，体会数形结合思想的应用.师：根据刚才的研究可以发现，在该题中F1PF2的大小不能超过多少度？生众：不能超过60.【设计意图】抓住学生思维的盲点和难点，设计具有针对性和梯度的问题，激发他们分析错题产生的原因，逐步提升他们的思辨能力，扩展学生思维的广度，增加学生思维的深度.师：除F1PF2外，关于PF1F2的哪些几何量还存在最值？生众：边长、面积等.师：请同学们课后思考、探究PF1F2的边长、面积的最值.【设计意图】通过角度最值问题的解决，引导学生思考其他几何量的最值，培养学生主动发现问题、提 41下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）课例评介课例评介出问题、分析问题、解决问题的习惯和能力.师：我们已经研究了有关PF1F2的几何量，还可以研究与椭圆相关的哪些三角形的周长和面积问题？教师给出人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册习题3.1的第5题：已知点P是椭圆x24+y23=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.如果我们连接PF1并延长，与椭圆交于点Q，连接QF2，则PQF2的周长是多少？师：若F1PF2=60，你能求出PQF2的面积吗？大家可以课后研究.【设计意图】运用椭圆的定义研究相关三角形问题，在高考试题中多有涉及.高考考查的基础知识、基本技能和基本方法大多数源自教材.回归教材，引导学生深刻理解基本概念，培养学生灵活运用概念解决问题的能力，是高考复习的重要任务.教师点题：问渠那得清如许，为有源头活水来.在数学学习中，我们要善于对知识追根溯源，抓住核心概念和思想方法，并运用定义、性质、法则等数学知识的基础和源头，触类旁通，举一反三，拓展探究问题解决的思路和方法.长期坚持这样做，必将开阔我们的数学思维，激活我们的解题思路，提升我们的思维能力！二、教学反思数学家李邦河院士曾说过，数学在根本上是玩概念的，而不是纯粹的技巧.技巧不足道也！章建跃博士指出，现在的数学课机械解题训练成了课堂的主旋律，大量题目不能反映数学内容和学生思维的本质.忽视概念的形成过程，忽视概念的深入分析，缺乏对概念内涵和外延的深度挖掘与明晰，一味地刷题、讲题.长此以往，学生只能死记硬背，难以掌握学习的一般思路和方法，这与培养学生数学核心素养的教学目标背道而驰.在进行“椭圆及其标准方程”高三一轮复习时，笔者始终紧扣椭圆的定义，深入挖掘椭圆的定义的内涵和外延，引领学生探究椭圆的定义的拓展应用.用问题引领椭圆的定义的复习，而不是简单的知识罗列和直接给出椭圆的标准方程，目的是丰富复习教学的思维含量，严格把握高三一轮复习与新授课教学的区别和目标要求的差异.针对学生忽视椭圆的定义中“到两个定点的距离之和大于这两个定点间的距离”的限制条件，通过设置综合性问题及对问题进行变式，让学生深入思考和自主探究符合条件的点的轨迹.在椭圆的标准方程的复习中，突出了数学运算素养的落实，让学生课前自主经历由椭圆的定义的坐标表示推导椭圆的标准方程的过程.同时，让学生自主选择不同的平面直角坐标系（椭圆的两个焦点在x轴或y轴上），以及椭圆的标准方程中x，y的平方项，感知分类讨论思想和数形结合思想在数学探究过程中的重要价值，体验数学的对称美和数形结合的和谐美.根据椭圆的定义和标准方程，解决相关的三角形问题，具有一定的综合性、开放性和探究性，问题逐步递进、深化，蕴含了解三角形、解方程组、整体求解、函数方程思想方法等，是培养学生数学核心素养、提升学生数学思维能力的重要内容.让学生参与问题的拓展与变式，有利于学生从命题者的角度，加深对问题的理解和认识，有利于培养学生的自主分析、自主探究和自主求解能力.本节复习课的内容设计，始终以椭圆的定义为基础，体现椭圆的定义在“判断点的轨迹是否为椭圆”中的应用.通过揭示椭圆上的点所满足的几何特征和代数特征，围绕几何应用、代数应用、代数与几何综合应用，层层递进，揭示知识之间的内在、本质和必然联系，让学生体验到这些知识的生长点均源自椭圆的定义.进而说明，在高考复习时，我们务必要加强对数学概念的理解和把握，努力揭示概念的内涵和外延，通过设置针对性强、逐步递进，并且富有思维含量、知识含量的问题，引导学生自主探究、严谨推理、真正演算，才能将学生数学核心素养的培养落到实处，真正体现数学概念的基础性、发展性和统摄性作用，才能切实提高复习教学的效益.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2章建跃.“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”第六次课题研讨会成果综述 J.中国数学教育（高中版），2008（10）：2-4.3曹时武.数学概念课的教学模式探讨（续）J.中学数学，2008（1）：5-7.42