基于核心素养的微单元教学--对高考试题的课堂探究.pdf

2024 年第 1 期(下)中学数学研究15基于核心素养的微单元教学 对高考试题的课堂探究安徽省萧县中学(235200)殷雪剑路召飞摘要以 2022 年全国甲卷 21 题为课堂的切入点,探究函数的极值点偏移的微单元教学,探索出其变与不变的核心要素.在教学中立足新课程标准,着力提升学生课堂效率,进而培养学生的逻辑推理等核心素养.关键词 极值点偏移;构造函数;同构;微单元教学近些年来,函数的导数大题中的极值点偏移问题多次作为压轴题呈现,试题中把函数的零点,函数的最值,函数的极值,不等式的证明,函数的同构构造等知识点交叉融合,再改变试题的结构层次.这对教学与研究提出了更高的要求,在实际的数学课堂上,弄清知识的基础内涵以及更深层次的本质,才能培养学生的数学核心素养.下面以 2021,2022 年全国卷中的两道极值点偏移问题进行深入的课堂教学探究,挖掘其核心本质要素:极值点单侧的单调性、多变量化归单变量、不等式放缩、同构构造等,这将有利于高考前的一轮复习、培优学习,通过单元专题的设计,极大的提升学生学习此类问题的效率.1 提出问题,再思考问题 1(2022 年高考数学理科全国甲卷第 21 题)f(x)=exx lnx+x a.(1)若 f(x)0,求 a 的取值范围;(2)证明:若 f(x)有两个零点 x1,x2,则 x1x2 1.试题分析试题以指数函数、对数函数、幂函数为背景,以函数的最值,参数范围为出发点,由非对称函数的零点引入不等式的证明.既可以通过常规的方法解决问题又可以构造同构函数另辟途径,试题的设计既基础常规又满足综合能力考查的要求,在新课标的理念下,体现了价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的新理念.完成由一个事物转化到与其相关联的另一个事物的思维过程,产生思维的“质变”.数学教学就是思维活动的传递,数学能力具有独特的特性,因此,学生思维能力培养是数学教学的重要任务,我们在培养学生思维能力的过程中,不仅要考虑到能力的常规要求,而且还要深入研究生活数学、数学活动和数学思维的特点,探寻数学活动的规律,培养学生的思维能力.4 大数据课堂与发散思维的培养课堂是变化思维的集合点.因为学生是思维完全不同的个体,我们从传统课堂的向信息化教学转变是学生思维成长而引起的课堂的改革.课堂是服务和培养学生的主阵地,我们应该充分理解学生,读懂学生,再利用各种高科技资源,精心教研,从课堂的准备、讲授、反思、从学案、课件、评价等都可以系统化,让大数据与学生思维发展形成一种“和谐绿色生态”.5 总结大数据时代的课堂具有鲜明的特点,学生的培养是多方面的,培养方式也具有独特性:一堂班会课可以“育人”,一个案例可以引起反思,数学课堂一样可以育人.当我们数学教书不是为了考试而教,当我们钻研教材,让学生充分体会数学知识,学生的能力提升同时自信心也有极大的改变,这就是用数学的力量去影响人,因为数学而让人“改变”,数学育人是潜移默化的,是“无形”的.因此,让学生的思维保持“温度”,保持思维拓展的延续性,是亘古不变的追求.参考文献1 徐利治.数学方法论选讲 M.上海:人文出版社.1986.2 张 雅 君.在 数 学 教 学 中 培 养 学 生 发 散 思 维 能 力 J.教 育 探索,1999(6):38-39.3 刘汉顶.试论结合课本培养思维的深刻性 J.数学通报,2001(2):8-10.4 袁泉润.变式教学的心理学浅析 J.数学通讯.2006(3):4-5.5 晓蹊.浅谈小学生思维独创性的培养 J.云南教育.2001(2):28-30。6 刘阳甫.数学课堂教学中学生发散性思维的培养 J.新课程(教师版),2007,(06):106-107.7 斯腾伯格著.赵海燕等译.思维教学(Teaching for Thinking)M.北京：中国轻工业出版社.2001.8 戴翰林.引发猜想培养创造性思维习惯的基本途径 J.中学数学.2000(1):14-15.9 李为民.在教学中重视培养学生归纳思维的能力 J.保定师专学报.2000(2):64-66.16中学数学研究2024 年第 1 期(下)解析(1)f(x)=(x 1)(ex+x)x2,x (0,1),f(x)0,则 f(x)min=f(1)=e+1a 0,即 a 6 e+1.对于(2)采用如下的思路探究:思路探究1 由(1)知,a e+1,且x=1是y=f(x)的极小值点.设 0 x1 1 x2,要证 x1x2 1 x1 f(1x2)f(x2)f(1x2).构 造 函 数h(x)=f(x)f(1x),x (1,+).h(x)=f(x)+1x2f(1x)=(x 1)(ex+x xex 1)x20.所以 y=h(x)在(1,+)单调递增,h(x)h(1)=0,故f(x2)f(1x2),即 x1x2 x2 0,f(x1)=f(x2)等价于 x1 lnx1=x2 lnx2 x1 x2=lnx1 lnx2.要证x1x2 1 x1x2x1 x2lnx1 lnx2 lnx1x2 1,构造函数 g(t)=lnt t 1t,t 1,g(t)=1 12(t+1t)t 0 即 g(t)在(1,+)上单调递减,所以 g(t)g(1)=0,故lnt t 1t.1即 x1x2 1,x1=tx2,代入得 x2=lntt 1,x1=tlntt 1,所以要证x1x2 1 等价于tln2t(t 1)2 1,又等价于 lnt t 1t,由1知证毕.思路点评 对于双变量证明,要化归为单变量问题,即通过比值代换,构造单变量的函数,再利用函数的单调性证明,比值换元可以避开极值点,因而也是不等式证明问题中常用的思路,所以教学中,既要夯实双基,又要掌握必要的技巧和多法的归一.2 问题结构的变式探究导数作为压轴题,既要考查综合能力,又要承担具备很好的选拔功能,因而试题的结构形式呈现多元化.深化命题情景,搭建函数模型,挖掘题目深意,化归问题本质.(2021 年新高考 I 卷第 22 题)已知函数 f(x)=x(1 lnx).(I)讨论 f(x)单调性;(II)设 a,b 为两个不相等的正数,且 blnaalnb=ab,证明:2 1a+1b 0,解得 0 x 1,令 f(x)1,所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.(II)因为 blna alnb=a b,所以1a(1+lna)=1b(1+lnb)即1a(1 ln1a)=1b(1 ln1b).令 x1=1a,x2=1b,则 x1,x2为 f(x)=k 的两个实根,且设 x1(0,1),x2(1,e),则 2 x1 1,e x1 1,即 x1+x2 2 为极值点偏移问题,采用对称构造即可(证明省略).再证右边不等式 x1+x2 1,x2=tx1,由 f(x1)=f(x2),可 以 得 到 x1(1 lnx1)=tx11 ln(tx1),化 简 可 得lnx1=1tlntt 1.要证明 x1+x2 e,即证(1+t)x1 e,亦即证ln(1+t)+lnx1 1成立,即证 ln(1+t)+1tlntt 1 1,即 证ln(t+1)t 1),则g(t)=1 1t lnt(t 1)2,令(t)=11tlnt(t 1),则(t)=1 tt2 0,(t)在(1,+)单调递减,(t)(1)=0,所以g(t)0,g(t)在(1,+)单调递减,则 g(t+1)g(t),即ln(t+1)tlntt 1,故 x1+x2 e.思路探究 2 发散思维,拓展深化,构建不等式模型,另辟路径,即有“柳暗花明又一村”的感觉.因为 0 x1 1,因为 x1(1 lnx1)=x2(1 lnx2)x1,所以2024 年第 1 期(下)中学数学研究17x1+x2 0,G(x)在(1,e)单调递增,所以G(x)G(e)=e,即 2x2 x2lnx2 e,故 x1+x2 e.综上,2 1a+1b 0,证明:当 0 x f(1a x);(3)若函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段AB 的中点的横坐标为 x0,证明 f(x0)0.2.已知函数 f(x)=1x x+alnx.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:f(x1)f(x2)x1 x2 a 2.简要解析(1)省略,(2)设 0 x1 x2,f(x)=x2+ax 1x2,x1+x2=a,x1x2=1,f(x1)f(x2)x1 x2=2+a(lnx1 lnx2)x1 x2,f(x1)f(x2)x1 x2a 2lnx1 lnx2x1 x2 1,令x1x2=t,0 t 1,lnx1 lnx2x1 x2t1t,构造函数 h(t)=lntt+1t,0 t 1,求导得 h(t)=(t 1)22t32 h(1)=0 证毕.3.已知 a R,函数 f(x)=x aex+1 有两个零点x1,x2,(x1 2简要解析(1)问题等价于 a=x+1ex,令 g(x)=x+1ex,g(x)=xex,x (,0),g(x)0;x (0,+),g(x)0 易得 0 a 1.(2)易知 x1 0 x2,构造函数 h(x)=g(x)g(x),x 0,h(x)h(0)=0,所 以 g(x2)0,进而可得ex1+ex2 2ex1+x2 2.3 高考新题型预测(2023 长郡中学高三月考)已知 a b,c d,eaa+1=ebb+1=1.01,(1 c)ec=(1 d)ed=0.99,则A.a+b 0B.c+d 0C.a+d 0D.b+c 0解:令 f(x)=exx+1,(x 1),则 f(x)=xex(x+1)2,f(x)在(1,0)单调递减,(0,+)单调递增,且 f(0)=1.故 a 0,1 b 0.令 h(x)=lnf(x)lnf(x),x(1,1),则 h(x)=221 x2 f(b)f(a)f(b),即 得 a b a+b 0 故 A 正 确.令 g(x)=(1 x)ex,x 1,易求 g(x)在(,0)单调递增,在(0,1)上单调递减,且 g(0)=1,故 0 c 1,d 0.令m(x)=lng(x)lng(x)=2x ln(x+1)+ln(x+1)=h(x).x (1,1),所以m(x)在(1,1)单调递减,且m(0)=0,因为c (0,1),所以g(c)g(c),即得c+d 0.99,a(1,0),即得 g(a)g(d),又因为 g(x)在(,0)上单调递增,所以 a+d 0,故 C 错误.同理可得 D 正确.故选择AD.方法点睛本题是以选择题的结构来命制的,考点依然是极值点偏移问题,题型新颖难度极大,融合函数构造,大小比较等高考热点,因此平时教学中务必夯实学生的基础知识,才能较好的处理此类问题.4 教学反思与总结在教学中,数学问题是不断变化的,既要注重基本知识技能培养,还要拓展知识的深度和广度,掌握问题中变化的不变量,慢慢培养学生的高阶数学思维,才能帮助其提高解决导数压轴题的硬实力,进而才能挖掘出内在的数学本质,在课堂教学上立足单元高度,彰显数学思想,才能将新课标的核心理念落到实处.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 版)M.北京:人民教育出版社,2020.2 路召飞,殷雪剑.双减下的数学精简单元教学探究以排列组合教学为例 J.中学数学研究(华南师大版),2022(20):24-26.