立体几何期末复习(含详细答案).doc

立体几何 单元复习卷（一）
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱　　　　　　　　 　B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
2．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
3． 已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．

4． 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.

5. (2018·苏州零模)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________。(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)

6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.

7．已知正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．

8.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.

9． 正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为________．

10．已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 =12，则球O的半径为( )
A.　　　　　　　B．2 C. D．3
11.(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为(　　)
A. B.－1
C. D.－1

13． 已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

14． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛

16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_______．
17．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

18．在三棱锥A ­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．2π B．6π
C．4π D．24π

19．如图，在三棱锥P­ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.

(1)求证：PC⊥AB；
(2)求点C到平面APB的距离．

20.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

立体几何 单元复习卷（二）
21．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
22．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

23．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
24．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
25．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β D．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m∥n
26．如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为(　　)
A．2 B．2π C．2 D．4
27．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
28．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．
29.如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　)
A. B．1
C. D．2
30.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ­ABC中直角三角形的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
31．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
32.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
33．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.

34.(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.

35.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

36.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．

37.如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝.
(1)求证：DE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积．

立体几何 单元复习卷（一）
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱　　　　　　　　 　B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：选C　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
2．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．
答案：②③④
3．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
解析：如图，图①、图②分别表示△ABC的实际图形和直观图．
从图②可知，A′B′＝AB＝2，

O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
答案：
4.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2 cm.
6. (2018·苏州零模)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________。(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)

解析：球形容器的直径为两根等长的正四棱柱体组合体的体对角线，即为＝，所以球形容器的半径R＝，由球的表面积公式可知：S表＝4πR2＝4π·＝30π.

6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5 (cm)．
∴AB＝＝13(cm)．
答案：13
7．已知正四棱锥V­ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．
解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V­ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2.
因为一条侧棱长为2.所以VO＝＝＝6.
所以正四棱锥V­ABCD的高为6.
答案：6
8.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝4，
则cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝.
设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝.
答案：
9．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为________．
解析：如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，
∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1.
∴VA­B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
答案：1
10．已知直三棱柱ABC-A1 B1 C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 =12，则球O的半径为( )
A.　　　　　　　B．2 C. D．3
解析：选C　如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
11.(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
答案：
12．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为(　　)
A. B.－1
C. D.－1

解析：选D　如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝＝－1.

13．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，
∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS ­ABC＝VA­SBC＝×S△SBC×AO
＝××AO，即9＝××R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
14．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为πR3＝×＝.
答案：
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：选B　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．
16．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_______．
解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
答案：7
17．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得×6××22×h＝2，∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，
∴S侧＝6××2×2＝12.
答案：12
18．在三棱锥A ­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．2π B．6π
C．4π D．24π
解析：选B　设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则ab＝，bc＝，ac＝，解得a＝，b＝1，c＝.所以三棱锥A ­BCD的外接球的直径2R＝＝，则其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
19．如图，在三棱锥P­ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.

(1)求证：PC⊥AB；
(2)求点C到平面APB的距离．
(1)证明：取AB中点D，连接PD，CD.因为AP＝BP，所以PD⊥AB，因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.

(2)解析：设C到平面APB的距离为h，则由题意，得AP＝PB＝AB＝＝2，所以
PC＝＝2.因为CD＝AB＝，PD＝PB＝，所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.由(1)得AB⊥平面PCD，于是由VC－APB＝VA－PDC＋VB－PDC，得·h·S△APB＝AB·S△PDC，所以h＝＝＝.故点C到平面APB的距离为.

20.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
立体几何 单元复习卷（二）
21．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)
A．1 B．4
C．7 D．8
解析：选C　当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.
22．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝，∴AB＝＝＝.
答案：
23．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
解析：过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
24．(2018·湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：选D　A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.
25．(2018·陕西西安中学月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β
D．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m∥n
解析：选A　借助于长方体模型解决．过直线m，n作平面γ，可以得到平面α，β所成的二面角为直二面角，如图(1)，故α⊥β，A正确；B的反例如图(2)；C的反例如图(3)；D中由m⊥α，α∥β可得m⊥β，过n作平面γ可得n与γ与β的交线g平行，则m⊥g，故m⊥n，D错误，故选A.
26．(2018·郑州质检)如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为(　　)
A．2 B．2π
C．2 D．4
解析：选D　连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥AC，FH∥AA′，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，因为MF∩FH＝F，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.
27．(2018·广州一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
解析：选B　
28．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．
解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．
答案：①③
29.如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选A　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝.
由面积相等得× ＝x，解得x＝.
30.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ­ABC中直角三角形的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P­ABC中共有4个直角三角形．
31．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
解析：选B　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
得AH⊥平面EFH，B正确；
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.
32.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
答案：①②④
33．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
34.(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
35.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.
又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，
∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.
36.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E­BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
37.如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝.

(1)求证：DE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积．
解：(1)证明：在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，
所以＝，所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝，BC＝，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.
(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知，AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.
在折叠前的图形中，AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝，知＝，又DG∥BF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，所以FG＝AF－AG＝.
故三棱锥F­DEG的体积V＝S△DEG·FG＝××2×＝.

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