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数学建模数学建模数学建模数学建模（Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院黑龙江科技学院理学院工程数学教研室工程数学教研室第四章第四章 概率统计模型概率统计模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院线性回归模型线性回归模型概率统计模型概率统计模型第四章经济轧钢模型经济轧钢模型重点重点:概率统计模型的建立和求解概率统计模型的建立和求解难点难点:概率统计模型的基本原理及数值计算概率统计模型的基本原理及数值计算决策模型决策模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建模举例建模举例排队论模型排队论模型 报纸零售商最优购报问题报纸零售商最优购报问题 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 决策问题是人们在政治、经济、技术和决策问题是人们在政治、经济、技术和日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理的始终。本节将首先简要说明决策的概念和的始终。本节将首先简要说明决策的概念和分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型及其应用。及其应用。4.14.1 决策模型决策模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.1.1 4.1.1 决策的概念和类型决策的概念和类型 所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个最优的或满意的方案付诸实施。最优的或满意的方案付诸实施。例例4.1.1（展销会选址问题）（展销会选址问题）某公司为扩大市场，要举办一个产品展销某公司为扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计三种天气情况可能发生概率为三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3其收益情况见表其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定，现要通过分析，确定会址，使收益最大。会址，使收益最大。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院1.决策者决策者2.决策的决策的备选方案或策略方案或策略A1，A2，Am3.决策准决策准则，即衡量所，即衡量所选方案正确性的方案正确性的标准。准。对 同一个决策同一个决策问题，不同的决策准，不同的决策准则将将导致不同致不同 的方案的方案选择。4.事件或自然状事件或自然状态N1，N2，Nn5.结果，即某事件果，即某事件(状状态)发生生带来的收益或来的收益或损失失值 决策决策问题通常包含以下要素：通常包含以下要素：黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院决策的分类：决策的分类：1.确定型决策确定型决策自然状自然状态只有一种，即只有一种，即n=1；2.风险型决策型决策n1且各种自然状且各种自然状态出出现的概率的概率Pj（j=1，2，n）可通）可通过某种途径某种途径获得；得；3.不确定型决策不确定型决策各种自然状各种自然状态下下发生的概率生的概率既不知道，也无法既不知道，也无法预先估先估计。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.1.2 4.1.2 风险型决策问题风险型决策问题 由概率论知识，一个事件的概率就是该事由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。的一种决策方法。1 1最大可能准则最大可能准则 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例如例如4.4.14.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得投资决策问题若采用最大可能准则可得因此方案因此方案A A1 1最优。最优。应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较接近，此决策方法不宜采用。接近，此决策方法不宜采用。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自 然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。的情况选择最优行动方案。2 2期望值准则期望值准则 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例如，对例例如，对例4.1.14.1.1按期望值准则进行决策，则需要按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益值，事实上计算各行动方案的期望收益值，事实上 显然，显然，E(AE(A1 1)最大，所以采取行动方案最大，所以采取行动方案A A1 1最佳，即最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。选择甲地举办展销会效益最大。有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准则进行决策的一种方法。则进行决策的一种方法。3.3.决策树法决策树法 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院1.画一个方框画一个方框作作为出出发点，称点，称为决策点决策点。从决策点画出若干条直从决策点画出若干条直线或折或折线，每一条，每一条代表一个行代表一个行动方案，方案，这样的直的直(折折)线，称，称为方案分枝方案分枝。分枝数表示可能的行。分枝数表示可能的行动方案数。方案数。步骤如下步骤如下:2.在各方案分枝的末端画一个在各方案分枝的末端画一个圆圈圈，称，称为状状态节点点或方案或方案节点。从状点。从状态节点引出点引出若干条直若干条直线或折或折线，此分枝称，此分枝称为概率分枝概率分枝。每条每条线表示一种自然状表示一种自然状态，在，在线旁旁边标出出相相应状状态发生的概率。生的概率。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院3.在各概率分枝的末端画一个三角在各概率分枝的末端画一个三角，称，称为末稍末稍节点点。把各方案在各种状。把各方案在各种状态下的益下的益损值标记在末在末稍稍节点右点右边4.在决策在决策树上上由右向左由右向左计算各状算各状态点出的数学期点出的数学期望望值，并将，并将结果果标在状在状态节点上。遇到决策点点上。遇到决策点则比比较各方案分枝的效益期望各方案分枝的效益期望值以决定方案的以决定方案的优劣，劣，并且双并且双线“”划去淘汰掉的方案分枝，划去淘汰掉的方案分枝，选出收出收益期望益期望值最大最大(或或损失失值最小最小)的方案作的方案作为最最优方方案，将最案，将最优方案的期望方案的期望值标在决策点的上方。在决策点的上方。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院下面采用决策树法求解展销会选址问题下面采用决策树法求解展销会选址问题 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例4.4.14.4.1只包括一个决策点，称为只包括一个决策点，称为单级决策单级决策问题问题。在有些实际问题中将包括两个或两个。在有些实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为以上的决策点，称为多级决策问题多级决策问题，可利用，可利用同样的思路进行决策。同样的思路进行决策。例例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的某工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预天内按期完成工程，但据天气预报，报，15天后天气肯定变坏，有天后天气肯定变坏，有40%的可能出现的可能出现阴雨阴雨天气天气，但这不会影响工程进度，有，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到的可能遇到小风暴小风暴，而使工期推迟，而使工期推迟15天；另有天；另有10%的可能遇到的可能遇到大风暴大风暴而使工期推迟而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：况，考虑两种方案：黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院1 1）提前加班，确保工程在）提前加班，确保工程在1515天内完成，实施此方案需增加额外支付天内完成，实施此方案需增加额外支付18 18 000000元。元。2 2）先维持原定的施工进度，等到）先维持原定的施工进度，等到1515天后根据实际出现的天气状况再天后根据实际出现的天气状况再作对策：作对策：a a）若若遇阴雨天遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。，则维持正常进度，不必支付额外费用。b b）若）若遇小风暴遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费工，支付工程延期损失费20 00020 000元，二是采用应急措施，实施此措施元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有可能有三种结果：有50%50%的可能减少误工期的可能减少误工期1 1天，支付延期损失费和应天，支付延期损失费和应急费用急费用24 00024 000元；元；30%30%的可能减少误工期的可能减少误工期2 2天，支付延期损失费和应急天，支付延期损失费和应急费用费用18 00018 000元元;有有20%20%的可能减少误工期的可能减少误工期3 3天，支付延期损失费和应急天，支付延期损失费和应急费用费用12 00012 000元。元。c c）若）若遇大风暴遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费支付工程的延期损失费50 00050 000元元;二是采取应急措施，实施此措施可二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有能有三种结果：有70%70%的可能减少误工期的可能减少误工期 2 2天，支付延期损失费及应天，支付延期损失费及应急费用急费用54 00054 000元；有元；有20%20%可能减小误工期可能减小误工期3 3天，支付延期损失费及应急天，支付延期损失费及应急费用费用46 00046 000元；有元；有10%10%的可能减少误工期的可能减少误工期4 4天，支付延期损失费及应急天，支付延期损失费及应急费用费用38 00038 000元。元。试进行决策，选择最佳行动方案。试进行决策，选择最佳行动方案。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解（1 1）据）据题意画出决策意画出决策树 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（2）计算第一算第一级节点点E,F的的损失失费用期望用期望值将将19 800和和50 800标在相在相应的机会点上，然后在第一的机会点上，然后在第一级决策点决策点C,D外分外分别进行方案比行方案比较：首先考察：首先考察C点，其点，其应急措施支付急措施支付额外外费用的期望用的期望值较少，故它少，故它为最佳方案，同最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在划去抽空施工的方案分枝，再在C上方上方标明明最佳方案期望最佳方案期望损失失费用用19 800元；再考元；再考虑D外的情况，外的情况，应急措施比抽空急措施比抽空施工支付的施工支付的额外外费用的期望用的期望值少，故划去少，故划去应急措施分急措施分标，在，在D上方上方标上上50 000元。元。（3）计算第二算第二级节点点B的的损失失费用期望用期望值将其将其标在在B的上方，在第二的上方，在第二级决策点决策点A处进行比行比较，发现正常正常进度方案度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14 900标在在A点上方。点上方。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.1.3 4.1.3 不确定型决策不确定型决策1.1.乐观准则乐观准则 乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策，也称为所对应的行动方案作为决策，也称为好中求好法好中求好法。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2 2悲观准则悲观准则 悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值中选最大值 所对应的行动方案作为所对应的行动方案作为决策，也称为决策，也称为小中取大小中取大法法。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院3 3等可能准则（等可能准则（LaplaceLaplace准则）准则）等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同可能性相同，即，即 。然后按风险决。然后按风险决策的方法进行决策。策的方法进行决策。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例4.1.3 4.1.3 某厂有一种新产品，其推销策略有某厂有一种新产品，其推销策略有A A1 1，A A2 2，A A3 3 三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种：同，而市场情况有三种：N N1 1需求量大需求量大，N N2 2需求量一需求量一般般，N N3 3需求量低需求量低。市场情况的概率并不知道，其效。市场情况的概率并不知道，其效益值见表益值见表4.1.24.1.2。（1 1）用）用乐观法乐观法进行决策。进行决策。（2 2）用）用悲观法悲观法进行决策。进行决策。（3 3）用）用等可能等可能法进行决策。法进行决策。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 市场情况销售策略 A1 A2 A3 N1 N2 N3 50 10 -5 30 25 0 10 10 10 N aA表表4.1.2 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 乐观法：乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的最因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为大效益值为 所以最大效益的最大值为所以最大效益的最大值为 其最大值其最大值50对应的行动方案为对应的行动方案为A1，因此用乐观，因此用乐观法的决策结果是执行策略法的决策结果是执行策略A1。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 悲观法：悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的最因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为大效益值为 所以最大效益的最大值为所以最大效益的最大值为 其最大值其最大值1010对应的行动方案对应的行动方案A A3 3为。因此用悲观为。因此用悲观法决策的结果是应执行策法决策的结果是应执行策略略A A3 3 。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 等可能法：等可能法：取取 计算出各行计算出各行动方案的期望值为动方案的期望值为 显然显然 都达到最大值，这时究竟选都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选可选A A1 1，否则选，否则选A A2 2 。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。然后进行决策。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院问问题题报纸零售商售零售商售报：a(零售价零售价)b(购进价价)c(退回价退回价)售出一份售出一份赚 a-ba-b；退回一份退回一份赔 b-cb-c 每天每天购进多少份可使收入最大？多少份可使收入最大？分分析析购进太多太多卖不完退回不完退回赔钱购进太少太少不不够销售售赚钱少少应根据需求确定根据需求确定购进量量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化化问题的目的目标函数函数应是是长期的日平均收入期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的适的购进量量等于每天收入的期望等于每天收入的期望4.24.2 报纸零售商最优购报问题报纸零售商最优购报问题 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建建模模 设每天每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机需求量的随机规律律每天每天需求量需求量为 r 的概率的概率 p(r),r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份已知售出一份赚 a-b；退回一份退回一份赔 b-c 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院求解求解将将r视为连续变量量 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院结果解释结果解释取取n使使 a-b 售出一份售出一份赚的的钱 b-c 退回一份退回一份赔的的钱0rfnf1f2 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论结论实例：例：如如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量，需求量r服从正服从正态分分布布N（100,102），），则不不难计算算查表得到表得到n=102时长期平均收益最大。期平均收益最大。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例4.2.14.2.1 某商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为某商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价为元，售价为70元，如果售不出去，每单位商品将元，如果售不出去，每单位商品将损失损失10元。已知甲商品销售量元。已知甲商品销售量r 服从参服从参 （即平均（即平均销售量为销售量为6单位）的泊松分布，单位）的泊松分布，问该商店订购量应为多少单位时，才能问该商店订购量应为多少单位时，才能使平均收益使平均收益最大最大？黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解 该商店每单位盈利为该商店每单位盈利为70-5070-5020;20;每单位损失为每单位损失为50-4050-401010，即，即a=70a=70，b=50b=50，c=40,c=40,故故今今记 ，而，而 ，查泊松分布表得泊松分布表得而而F F（6 6）的数）的数值更接近于更接近于0.6670.667，所以，所以订货量量应为6 6个个单位。位。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院轧制制钢材材两道工序两道工序 粗粗轧(热轧)形成形成钢材的材的雏形形 精精轧(冷冷轧)得到得到钢材材规定的定的长度度粗粗轧钢材材长度正度正态分布分布均均值可以可以调整整方差由方差由设备精度确定精度确定粗粗轧钢材材长度大于度大于规定定切掉多余切掉多余 部分部分粗粗轧钢材材长度小于度小于规定定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精精轧问题：如何：如何调整粗整粗轧的均的均值，使精，使精轧的浪的浪费最小最小背背景景4.34.3 经济轧钢模型经济轧钢模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院分析分析设已知精已知精轧后后钢材的材的规定定长度度为 l，粗粗轧后后钢材材长度的均方差度的均方差为 切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率整根报废整根报废的概率的概率记粗粗轧时可以可以调整的均整的均值为 ，则粗粗轧得到的得到的钢材材长度度为正正态随机随机变量，量，记作作 xN(,2)存在最佳的存在最佳的 使使总的浪的浪费最小最小0f(概率密度概率密度)xPPPP 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建模建模选择合适的目合适的目标函数函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费=+每次轧制钢材的平均浪费量每次轧制钢材的平均浪费量每次每次轧制制获得成品得成品钢的平均的平均长度度 其中其中 表示表示的的 概率，概率，黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院每次每次轧制（包括粗制（包括粗轧、精、精轧）的平均浪）的平均浪费量与每次量与每次轧制制获得成品得成品钢的平均的平均长度之比最小度之比最小为标准。准。目目标函数函数优化模型：求化模型：求 使使J1最小（已知最小（已知l,）黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院求解求解由于由于l是常数，故等价的目是常数，故等价的目标函数函数为记 其中其中 求求 z 使使J(z)最小（已知最小（已知 ）目目标函数函数 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院求解求解 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院计算实例：计算实例：=l/=25z*=-2.19*=（-z*）=5.438即将即将钢材的均材的均值调整到整到5.438m5.438m时浪浪费最少最少 设要要轧制制长为l=5.0m的成品的成品钢材，由粗材，由粗轧设备等因素等因素组成的方差精度成的方差精度=0.2m ，问需要将需要将钢材材长度的均度的均值调整到多少才使浪整到多少才使浪费最少？最少？首先做出及的首先做出及的图形形某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来发展生产，他了解了三个发展方向：发展生产，他了解了三个发展方向：（1 1）将这一万元存入投资银行，由投资银行安排资金的利）将这一万元存入投资银行，由投资银行安排资金的利用，他可以获得利息，年利率为用，他可以获得利息，年利率为10%10%；（2 2）办养鸡场。如果顺利，他可以赢得）办养鸡场。如果顺利，他可以赢得50005000元，如果不顺元，如果不顺利，他将损失利，他将损失10001000元，他有元，他有80%80%的把握办好养鸡场；的把握办好养鸡场；（3 3）养貂。如果顺利，他可以赢得）养貂。如果顺利，他可以赢得1000010000元，如果不顺利，元，如果不顺利，他将损失他将损失30003000元。养貂顺利的机会为元。养貂顺利的机会为60%60%。他犹豫不决，希。他犹豫不决，希望用决策分析的方法帮助他分析各种可能的结果。望用决策分析的方法帮助他分析各种可能的结果。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院习题：习题：黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院习题：习题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案一是建大厂，二是建小厂，为了生产某种产品，设计了两个基建方案一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资大厂需要投资300300万元，小厂需要投资万元，小厂需要投资160160万元，两者使用期都是万元，两者使用期都是1010年。年。估计在此期间，产品销路好的可能性是估计在此期间，产品销路好的可能性是0.70.7，销路差的可能性是，销路差的可能性是0.30.3。若。若销路好，建大厂每年收益销路好，建大厂每年收益100100万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益4040万元；若销路差，万元；若销路差，建大厂每年损失建大厂每年损失2020万元，建小厂每年收益万元，建小厂每年收益1010万元，试问应建大厂还是建万元，试问应建大厂还是建小厂？小厂？进一步，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前进一步，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为三年销路好的概率为0.70.7，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的概率为概率为0.90.9，如果前三年的销路差则后七年的销路肯定差，在这种情况，如果前三年的销路差则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？下，建大厂和建小厂哪个方案好？若先建设小厂，如销路好，则三年以后考虑扩建，扩建投资需要若先建设小厂，如销路好，则三年以后考虑扩建，扩建投资需要140140万元，扩建后可使用七年，每年的益损值与大厂相同，这个方案与万元，扩建后可使用七年，每年的益损值与大厂相同，这个方案与建大厂方案比较，优劣如何？建大厂方案比较，优劣如何？黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，可分为两大类，一类是一般来说，可分为两大类，一类是确定性确定性的关系，这种关系的关系，这种关系通常用函数来表示。另一类是通常用函数来表示。另一类是非确定性非确定性关系，变量之间的这关系，变量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。种非确定性关系通常称为相关关系。回归分析回归分析就是数理统计中研究相关关系的一种数学方就是数理统计中研究相关关系的一种数学方法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的统统计规律计规律。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应用。回归分析一般分为用。回归分析一般分为线性回归分析线性回归分析与与非线性回归分析非线性回归分析。本。本节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的一类，也是应用得较多的一类。一类，也是应用得较多的一类。4.44.4 线性回归模型线性回归模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.4.14.4.1数学模型数学模型例例4.4.14.4.1（水泥凝固（水泥凝固时放出放出热量量问题）某种水泥在凝固时放出的热量某种水泥在凝固时放出的热量y（卡卡/克）与水泥中下克）与水泥中下列列4种化学成份有关。种化学成份有关。x1：3CaOAl2O3的成份（的成份（%）x2：3CaOSiO2的成份（的成份（%）x3：4CaOAl2O3Fe3O3的成份（的成份（%）x4：2CaOSiO2的成份（的成份（%）现记录了现记录了13组数据，列在表组数据，列在表4.4.1中，根据表中的数据，中，根据表中的数据，试研究试研究y与与x1，x2，x3，x4四种成份的关系。四种成份的关系。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院表表4.4.14.4.1 编 号号x1(%)x2(%)x3(%)x4(%)y(卡卡/克克)172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，仍把这变量称为因变量，记为仍把这变量称为因变量，记为Y Y，其它变量称为自变量，其它变量称为自变量，记为记为X X，这时相关关系可记作这时相关关系可记作 Y=fY=f（x x）+其中其中f f（x x）为当为当X=X=x x时，因变量时，因变量Y Y的均值，即的均值，即 f f（x x）=E=E（Y Y|X=xX=x）称称f f（x x）为）为Y Y对对X X的的回归函数回归函数，为为Y Y与与f f（x x）的的偏差偏差，它是一个随机变量，并假定它是一个随机变量，并假定E E（）=0=0。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即 Y=Y=f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）+其中其中f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）=E=E（Y|XY|X1 1=x x1 1，X X2 2=x x2 2，X Xm m=x xm m）为为m m元回归函数，统称为元回归函数，统称为多元回归函数多元回归函数。若回归函数若回归函数f f（x x1 1，x x2 2，x xm m）中的）中的m m=1,=1,且是一元线性函数，则称为是且是一元线性函数，则称为是一一元线性回归元线性回归；m m11且是多元线性函数，则称为是且是多元线性函数，则称为是多元多元线性回归线性回归；若回归函数；若回归函数f f（x x1 1,x x2 2，x xm m）是非线性函数，则称为是）是非线性函数，则称为是非线性回非线性回归归。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例如，在水泥凝固例如，在水泥凝固时放出放出热量量问题中，可建立中，可建立线性回性回归模型模型其中其中E（）=0，D（）=2，b0，b1，b2，b3，b4和和2是未知参数，是未知参数，为了估了估计这些参数，将表些参数，将表4.4.14.4.1的的值代入模型代入模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院其中，其中，x1，x2，xm是自变量，是自变量，b0为常数，为常数，b1，b2，bm为回归系数，为回归系数，b0，b1，b2，bm皆为未知，统称皆为未知，统称b0，b1，b2，bm为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线性回归模型就完全确定，一般假定随机误差性回归模型就完全确定，一般假定随机误差N（0,2）得得线性模型性模型一般地，多元一般地，多元线性回性回归模型可表示模型可表示为 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，假设对变量的假设对变量的n（nm）次独立观测数据为次独立观测数据为 （yi，xi1，xi2，xim）,i=1n,则这些观测数据应满足上式，即有则这些观测数据应满足上式，即有 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式 若若记 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 为了获得参数为了获得参数的估计，我们采用最小二乘法，即选的估计，我们采用最小二乘法，即选择择，使使 达到最小。达到最小。将将Q（）对求求导数并令其数并令其为零，得零，得 1 1回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计4.4.2 4.4.2 模型参数估计模型参数估计 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 此方程称为此方程称为正规方程正规方程，其中其中 X X 为为n n（m+1m+1）阶矩阶矩阵，一般假定阵，一般假定rankrank（X X）=m+1=m+1，由线性代数理论可知，由线性代数理论可知，L=XL=XT TX X为满秩矩阵，它的秩为满秩矩阵，它的秩rankrank（L L）=m+1=m+1，则正规方程有则正规方程有唯一解，记作唯一解，记作 即即 我我们可以可以证明上式中的明上式中的 为参数向量参数向量的最小二乘法估的最小二乘法估计量。量。记 ，则 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院在在实际工作中，常称工作中，常称为经验线性回性回归方程方程。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2 2最小二乘法估计量的性质最小二乘法估计量的性质 首先假定首先假定 （1 1）是是的的线性无偏估性无偏估计量量（2 2）的的协方差矩方差矩阵为（3 3）是是的最小方差的最小方差线性无偏估性无偏估计其中其中 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院4.4.34.4.3多元线性回归模型的检验与预测多元线性回归模型的检验与预测从上面的参数估从上面的参数估计过程可以看出，程可以看出，对于一批于一批观察数据察数据不不论它它们是否具有是否具有线性关系，性关系，总可以利用最小二乘法可以利用最小二乘法建立起多元建立起多元线性回性回归方程方程但是但是Y与与x1，x2，xm 是否确是否确实存在相关关系呢？回存在相关关系呢？回归方程的效果方程的效果如何呢？如何呢？这就要就要进行行“整个回整个回归效果是否效果是否显著著”的的检验。当当 时，时，没有关系，没有关系，回归模型没有意义，于是我们要检验回归模型没有意义，于是我们要检验 是否成立。是否成立。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 若若H0成立，成立，则x1，x2，xm对y没有影响；反之，没有影响；反之，若若H0不成立，不成立，则x1，x2，xm对y有影响，此有影响，此时y与与x1，x2，xm的的线性关系性关系显著，也称著，也称为整个回整个回归效果效果显著。著。但要注意，即使整个回归效果是显著的，但要注意，即使整个回归效果是显著的，y y也可能只也可能只与某几个与某几个x xi i关系密切（相应的关系密切（相应的b bi i显著不为零），而与另几显著不为零），而与另几个个x xi i关系不密切（相应的关系不密切（相应的b bi i为零）。这就是说，多元线性为零）。这就是说，多元线性回归除了首先要检验回归除了首先要检验“整个回归是否显著整个回归是否显著”外，还要逐个外，还要逐个检验每一个检验每一个b bi i是否为零，以便分辨出哪些是否为零，以便分辨出哪些x xi i对对y y并无显著影并无显著影响，最后，还要对各个响，最后，还要对各个b bi i作出区间估计。作出区间估计。黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院1 1回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验（1 1）回）回归显著性著性检验（F检验）若若H H0 0为真真 （回（回归平方和）平方和）（残差平方和）（残差平方和）其中其中（离差平方和）（离差平方和）（复相关系数）（复相关系数）故故拒拒绝H H0 0，否，否则就接受就接受H H0 0 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（2 2）单个回个回归系数系数为零的零的检验（t检验）若若H0i为真真 其中其中（剩余（剩余标准差或估准差或估计的的标准差）准差）为 中第中第i i个个对角角线元素。元素。故故拒拒绝H H0i0i，否，否则就接受就接受H H0i0i 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2 2回归系数的置信区间回归系数的置信区间对bi的区的区间估估计 由于由于 因而因而b bi i的的 置信区间为置信区间为 其中其中 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院3 3预测预测a a）点）点预测