1、按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第
2、四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,第四章 随机变量的数字特征,习题课,4,(下),习题课,4,分为上、下两部分,.,在,上部分,中,我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容,并对关键而又容易出错的地方作了讲评,.,在“例题分类解析”部分,讲解了,:,1.,直接按定
3、义计算随机变量的数学期望,;2.,利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算,.3.,直接按定义计算随机变量的方差,;,4.,利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算,.,习题课,4,(下)内容简介:,在,下部分,中,在“例题分类解析”部分,,讲解,:,6.,一维随机变量函数的数字特征,;,7.,二维随机变量及其函数的数字特征,;,8.,相关性与独立性问题,;,9.,有关数字特征的证明问题,.,介绍了学习与研究方法,.,6.,一维随机变量函数的数字特征,分析,例,4.,11,设,X,表示,10,次独立重复射击命中目,标的次数,每次射中目标的概率为,0.4,则,的,数学期望,_.,解,得到,所
4、以,本题涉及二项分布及函数的数字,特征,.,扩展,本题可扩展到求,X,(,X,+1),的数学期望,或考虑更为一般的形式,讲评,的灵活应用,.,在解题中,我们经常需要先计算,本题考查方差公式,进而算得方差,D,(,X,).,但有时,如本例也,可倒过来,借助常用分布的期望和方差来计,算某些随机变量函数的数字特征,.,例,4.,12,设随机变量,X,服从参数为,1,的指数,分布,求,分析,本题涉及一维随机变量函数的数,学期望的计算,.,解,由题设可知,X,的概率密度,于是,因此,讲评,本题主要考查随机变量函数的期望,公式,再次强调指出,书写时不要出现类似,这样的低级错误,.,扩展,的,随机变量,X,
5、的函数,数学期望为,使我们可以直接,计算,Y,的期望,而不必求其分布,.,7.,二维随机变量及其函数的数字特征,的分布律为,例,4.,13,设,和,是相互独立且服从同一分,布的两个随机变量,已知,又设,(1),写出二维随机变量,(,X,Y,),的分布律,;,(2),求,分析,本题涉及二维离散随机变量的函数,的分布律和期望,.,解,(1),下面实际计算一下,注意到,因此,类似地计算,可得,的分布律如下表,3,3,2,1,2,1,Y,X,0,0,0,所以,讲评,和,是两个,重要的随机变量函数,.,对于离散型而言,由,独立,通过,穷举法,即可得到其分布律,进而可得边缘,分布律及所需数字特征,.,(2
6、),由,的分布律可得关于,X,的,3,2,1,X,边缘分布律,扩展,本题可扩展成求,等,.,和,例,4.,14,设二维随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,求,分析,由于概率密度中含有待定参数,所以应首先根据,求得,A,.,解,由,得,因此,于是有,利用对称性,有,由于,所以,协方差,在二维随机变量的数字特征计算,中,一定要注意二重积分的“有效积分区域”,.,同时,熟悉一些基本的积分结果将有助于提,高我们计算连续型随机变量数学期望的速度,和准确性,.,如本题中的,扩展,讲评,本题比较全面地考查了二维随机,变量的数字特征,.,例,4.,15,设,X,和,Y,是相互独立且服从正态,分布,的两个随
7、机变量,则,_.,分析,注意到相互独立的正态随机变量的,线性函数仍服从正态分布,得,X,Y,的分布是确,解,记,U,=,X,-,Y,则,由此可知,讲评,类似本题这样的问题利用正态,随机变量的良好性质可以简化计算,.,于是,扩展,本题可扩展成考虑更为一般的,期望问题,形如,以及,8.,相关性和独立性问题,例,4.,16,设二维随机变量,(X,Y),服从二维正态,分布,则随机变量,与,不相关的,充分必要条,().,(A),(B),(C),(D),分析,本题涉及协方差的计算,因为,不相关等价于协方差为零,.,解,而,等价于,与,不相关,所以选,(,B).,讲评,相关系数,(,相关性,),是二维随机,
8、变量的一个重要数字特征,.,扩展,本题可扩展为进一步考虑,与,的独立性,.,(A),不相关的充分条件,但不是必要条件,.,(B),独立的充分条件,但不是必要条件,.,例,4.,17,设随机变量,X,和,Y,的方差存在且不,是,X,与,Y,().,等于,0,则,(C),不相关的充分必要条件,.,(D),独立的充分必要条件,.,分析,两个随机变量不相关的充要条件是,它们的相关系数为零,而后者只是两个随机变,量立的必要条件,.,解,因为,故选项,(C),正确,.,所以,X,和,Y,不相关的充分必要条件是,即,讲评,注意随机变量,X,和,Y,的独立性仅是,的充分条件,.,扩展,事实上,分析,本题涉及知
9、识点很多,包括期望、,方差和相关系数及独立性等,.,例,4.,18,已知随机变量,且,X,与,Y,的相关系数,设,(1),求,和,(2),求,X,与,Z,的相关系数,(3),问,X,与,Z,是否相互独立,?,为什么,?,解,(1),由于,所以,而,因此,(2),由于,所以,(3),由,知,X,与,Z,不相关,因,Z,不一定服,从正态分布,(,X,Z,),更不一定服从正态分布,X,与,Z,不一定相互独立,.,讲评,性质,如“相互独立的正态随机变量的线性,函数仍服从正态分布”,“,二维正态随机变,量不相关和独立是等价的”等,.,这些结果可,以简化问题的计算,.,正态随机变量具有一些非常好的,扩展,
10、.,9.,有关数字特征的证明问题,分析,事实上,就是一个以,C,为参,数的,二次函数,.,证,由于,本题可扩展为考虑随机变量,X,和,的独立性如何依赖,X,与,Y,的,相关,系数,在,例,4.,19,设,X,是随机变量,C,是常数,证明,处取得最小值,函数,取得最小值,等号仅当,时成立,所以,在,处,讲评,意义,即方差,是函数,本题从另一个侧面揭示了方差的,在,处取最小值,.,扩展,本问题可扩展为考虑二元函数,的极值问题,.,分析,本题涉及随机变量的方差的性质,.,证,由于,所以,从而有,例,4.,20,证明,:,对于任意两个随机变量,X,和,Y,则有,若,扩展,关系式,即,X,和,Y,不相关
11、,.,例,4.,21,对于任意二事件,A,B,讲评,与数学期望不同,随机变量的方差不,是线性的,.,只有当随机变量,X,和,Y,独立或,不相关时才有,称做,事件,A,和,B,的相关系数,.,(1),证明事件,A,和,B,相互独立的充分,必要条件是其相关系数等于零,;,(2),利用,随机变量相关系数,的基本性质证明,1,.,分析,这里定义了随机事件的相关系数,并讨论了它的某些性质,.,证,(1),由,的定义可知,即二事件,A,和,B,独立,.,因此,是,A,和,B,独立的充分必要条件,.,(2),考虑随机变量,由条件知,X,Y,都服从,0,-,1,分布,本题考查了,0-1,分布的数字特征,的计算
12、,.,考查学生的应变能力,.,随机事件的,指示函数的作用,.,于是,.,这样,可知随机事件,A,和,B,的相关系数就,等于随机变量,X,和,Y,的相关系数,.,因此,1.,讲评,.,借助于形如,这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙,地转化为关于随机变量的讨论,.,这种方法值,得重视,.,可以扩充到两个随机事件的指示函数,讨论问题,.,扩展,例,4.,22,设,A,B,是二随机事件,随机变量,试证明随机变量,X,和,Y,不相关的充要条件是随,机事件,A,和,B,相互独立,.,分析,本问题涉及随机变量的相关性和,随机事件的独性,.,证,记,由数,学期望的定义有,注意到,XY,的可能取值为,-,1,
13、1,又,因此,从而,由此可见,即,故,X,和,Y,不相关的,充要条件是,A,和,B,相关独立,.,讲评,扩展,关系是一个非常重要的问题,在以往研究生,考试中曾多次涉及,参见第三节历年考研真,题详解,.,随机变量的独立性和不相关性的,概念和随机事件独立的概念,.,切记,相互独立,的随机变量一定是不相关的,但反之不然,.,本题考查了随机变量的不相关的,10.,应用题,例,4.,23,假设一部机器在一天内发生,故障的概率为,0.2,机器发生故障时全天停止工作,.,若一周,5,个工作日里机器无故障企业可获利,10,万元,;,机器发生一次故障企业仍可获利润,5,万元,;,机器发生二次故障企业所获利润,0
14、,元,;,机器发生三次或者三次以上故障企业就亏损,2,万元,求一周内企业期望利润是多少,?,分析,本题涉及离散型随机变量函数的,数学期望,.,易知一周内发生故障的次数,服从二项分布,而所获利润是它的函数,.,解,以,X,表示一周,5,天内机器发生故障天,数,则,X,服从参数为,5,0.2,的二项分布,于是,以,Y,表示所获利润,则,因此,=5.216(,万元,).,讲评,扩展,正确建立函数关系的能力,.,题型是,:,X,服从已,知分布,Y,是,X,的分段函数关系,计算,E,(,Y,).,本题主要考查在实际应用问题中,本问题很具有代表性,其方法可扩,展到,X,是其它离散型随机变量,.,例,4.,
15、24,假设由自动生产线加工的某种零件,的,内径,X,(,单位,:mm),服从正态分布,内径,小于,10,或大于,12,为不合格品,其,余为合格品,.,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,.,已知销售利润,T,(,单位,:,元,),与销售零,件的内径,X,有如下关系,:,问平均内径,取何值时,销售一个零件,的平均利润,最大,?,并求出平均利润的最大值,.,分析,本题是一道综合题,既涉及到随机,变量的数学期望的计算,又要用到,导数求最值,.,解,由于,所以,销售一个零件的平均利润为,因为,得,令,解得,容易验证,是,的最大值点,即当,mm,时,销售一个零件的平均利润最大,最大值为,讲评,本题
16、考查的是离散型随机变量的,数学期望的计算,.,由于数学期望的计算结果,是,的函数,因此需要利用导数来确定极,值和最值,.,扩展,本问题可以扩展到,X,服从其它的连,续型分布,如指数分布等,.,12.74(,元,),.,4.3,学习与研究方法,分析事物之间的关联程度,相关系数,.,相关系数,表述了随机变量,X,与,Y,的线性相关程度,.,在,2003,年研究生入学考试题目中,,称为事件,A,和,B,的相关系数,.,事件,A,和,B,独立的,充要条件是,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社,,2015,年,8,月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社,,2015,年,8,月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,光盘:概,率论与,数理 统计教案,作业与试,卷及答案 数学实验视频,.,大 连,理工大学出版社,,2015,年,8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社,,2007,年,7,月,.,联系方式,:,zhengone,