概率与数理统计第四章.ppt

第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 上传 snr5aliu(刘景波)仅用于学习交流.4.1 数学期望数学期望引例引例1 分赌本问题(产生背景)甲、乙甲、乙 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金50元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜,取得全部取得全部 100 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?.甲甲 胜胜 2 局局 乙乙 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果相结合,即 甲和乙 赌完五局,A AA B B AB B甲甲胜胜乙乙 胜胜 分析：分析：假设继续赌两局,用A和B分别表示甲和乙获胜，则结果有以下四种情况:A AA B B AB B.因此,甲 能“期望期望”得到的数目应为 而乙 能“期望期望”得到的数目,则为 故有,在赌技相同的情况下,甲、乙 最终获胜的可能性大小之比为3:1.即甲 应获得赌金的3/4，而 乙 只能获得赌金的1/4.因而甲期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于即,X 的可能值与其概率之积的累加.若设随机变量 X 为:在甲胜2局乙胜1局的前提下,继续赌下去甲最终所得的赌金.则X 的分布列为:.2.2.2 数学期望的定义数学期望的定义.例例4.1.14.1.1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏.解解 甲乙两个人得分的数学期望分别为由于故甲的成绩强于乙的成绩.例例4.1.24.1.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布，试求X 的数学期望.解解 由题意知X的分布律为故.例例4.1.3 4.1.3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方法,记使用寿命为X(以年计),规定 一台付款1500元;一台付款2000元;一台付款2500元;一台付款3000元;设寿命X服从参数为0.1的指数分布,试求该商店一台收费Y的数学期望.解解 由题意,X的分布函数为Y的可能的取值为1500,2000,2500,3000，且所以即平均一台收费2732.15元.例例4.1.44.1.4 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学期望.解解 由于X的分布律为故.定义定义2.2.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为f(x),若积分绝对收敛,则称 的值为 X 的数学期望数学期望,记为E(X),即有数学期望数学期望简称为期望期望,又称为均值均值.例例4.1.54.1.5 设求解解 由于 X 的概率密度为故.例例4.1.64.1.6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,求解解.例例4.1.74.1.7 设随机变量 ,求E(X).解解令则.例例4.1.9 柯西分布的数学期望不存在柯西分布的数学期望不存在 设随机变量 X 服从柯西分布柯西分布，则其概率密度为由于故 E(X)不存在.4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 在很多实际问题中，经常遇到求在很多实际问题中，经常遇到求随机变量函数的数学期望问题下随机变量函数的数学期望问题下面两个定理给出了求随机变量函数面两个定理给出了求随机变量函数的数学期望的简便方法利用这二的数学期望的简便方法利用这二个定理可以省略求随机变量函数的个定理可以省略求随机变量函数的分布分布.解解 由定理4.1.1，得.解解 由定理2.2.1，得.例例4.1.114.1.11 设某种商品每周的需求量X服从区间10,30上的均匀分布,而经销商进货数为区间10,30中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280,试确定最小的进货量.解解 设进货数为a,则利润为.故期望利润为而由题意知,X的概率密度为.故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位依题意,有.解解.类似的还有.例例4.1.154.1.15 一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其它商店调剂供应,这时每单位商品获利润为200元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解解 设Z表示每周的利润，则.因此(元).解解 已知Y的概率密度为.4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质(1)设C为常数,则有(2)设X是随机变量,k是常数,则(3)设X,Y是随机变量,则.性质(2)(3)称为数学期望的线性性质,可写成证明证明.(4)若X,Y相互独立,则有证明证明.性质(3)和(4)可推广到n维随机变量的情形.(5)若 相互独立,则有(6).例例4.1.174.1.17 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)解解 引入随机变量则有又由题意，有.所以由数学期望的性质，得.重要结论重要结论:设随机变量 相互独立且均服从参数为p的0-1分布：则 证明证明 设有一个n重伯努利试验,每次试验中成功的概率为p,引进随机变量则Xi服从参数为p的0-1分布，令 则它表示在这个伯努利试验中成功的次数,故有.4.2 方差方差 数学期望数学期望是随机变量取值的平均值，是一种位置特征数位置特征数，但数学期望毕竟只反映了中心位置，它无法反映出随机变量围绕中心位置取值的“波动”的幅度大小.(1)若X是离散型随机变量,分布律为则(2)若X是连续型随机变量,概率密度为f(x)，则.由于所以有下列公式.例例4.2.14.2.1 设X服从参数为p的0-1分布,则E(X)=p又故有因此若X服从参数为p的0-1分布,则0-1分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差.例例4.2.24.2.2 若 ,则又所以泊松分布的数学期望和方差泊松分布的数学期望和方差.例例4.2.3 三角分布、均匀分布三角分布、均匀分布和倒三角分布倒三角分布的数学期望、方差和标准差.-111.1.三角分布三角分布设则由对称性，有于是.2.2.均匀分布均匀分布-11设，则则由对称性，有故.3.3.倒三角分布倒三角分布设则由对称性，有于是-11.三个分布方差之间的比较三个分布方差之间的比较-11-11-11 三角分布三角分布在中间较为集中，故方差最小方差最小；倒三角分倒三角分布布集中于两侧，故方差最大方差最大；均匀分布均匀分布介于其中，故方差也介于其中方差也介于其中.即三角分布均匀分布倒三角分布.参数为参数为 指数分布的数学期望和方差指数分布的数学期望和方差故设.4.2.2 方差的性质方差的性质性质性质1 常数的方差为0，即其中c为常数证明证明 若c为常数，则性质性质2 若a,b为常数，则证明证明.因此，由性质2，有另外，由知，若E(X 2)=0,则E(X)=0,且D(X)=0.性质性质4 若X与Y相互独立,则有证明证明(最后的一个等式由X与Y的独立性推得).并且还有.于是，若X与Y独立，则注意注意：以下两个式子是等价的,即.二项分布数字特征的简便求法二项分布数字特征的简便求法 设 相互独立且均服从参数为p的0-1分布,则由前面的讨论知则由数学期望与方差的性质,有.正态分布的数学期望和方差正态分布的数学期望和方差由于.故 因此，正态分布的两个参数恰好就是相应随机变正态分布的两个参数恰好就是相应随机变量的数学期望和方差量的数学期望和方差 结论结论:若则.4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 为了刻划两个随机变量之间的关系,本节讨论两个重要的数字特征:协方差与相关系数.4.3.1协方差协方差由前面的讨论知,若X与Y相互独立,则有 因此,若上式不成立,则X与Y 必不相互独立,也就是说,当上式的左端不等于零时,两个随机变量之间就存在着某种关系.因此量E(XY)E(X)E(Y)在某种程度上刻划了两个随机变量之间的关系.我们将其称之为协方差协方差.定义定义3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量，若 存在，则称此数学期望为X与Y的协方差协方差,并记作特别地，有.性质性质1证明证明.性质性质2 若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0,反之不然.证明证明 这是因为若X与Y独立，则X与Y不相关X与Y相互独立见下面的反例.反之不然，即.例例4.3.14.3.1 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布,则它们的联合密度为-11-11.由对称性可知因为所以X与Y不相互独立.由对称性所以即X与Y不相关.解解 X的概率密度为故 即Y与Z不相关，但是显然有.性质性质3 对于任意的二维随机变量(X,Y)，有证明证明因此，若X与Y不相关，则.以下四个命题是等价的：以下四个命题是等价的：（1）（2）（3）推广：推广：（4）X与Y不相关.协方差的基本性质协方差的基本性质(1)对称性对称性(2)任意随机变量X与常数a的协方差为零,即(3)对任意常数a,b，有(4)设X,Y,Z是任意三个随机变量，则.由前面所述性质，有由于 因此,协方差的大小依赖于度量单位,这是它的一个明显缺陷.为了克服这个缺陷,我们引入相关系数的概念.4.3.2 相关系数相关系数定义定义4.3.2 假设 X,Y 的方差均存在，则称为X与Y的相关系数相关系数 注：注：相关系数是一个无量纲的数.它与协方差具有相同的符号.相关系数的性质相关系数的性质性质性质1.因此，有即.取.几点说明：几点说明：.解解因为 从而XY的分布律为.X的边缘分布律为所以.例例4.3.54.3.5 设A,B是二随机事件,试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立.证明证明 记则XY的可能取值为-1,1,并且.所以因此即X与Y不相关的充分必要条件为A与B独立.这样我们就知道了二维正态分布的五个参数的含义.解解.解解（1）由题意有 于是有.因此.（2）由题设所以X与Y不独立。.注：注：如果随机变量X和Y都服从正态分布，只有当只有当X和和Y的联合分布是二维正的联合分布是二维正态分布时两个随机变量相关系数等于零态分布时两个随机变量相关系数等于零才是它们独立的充分必要条件才是它们独立的充分必要条件。否则，即使两个随机变量都服从正态分布，它们的联合分布也不一定是二维正态分布，此时相关系数等于零就仅仅是它们独立的必要条件。.4.4 其他数字特征其他数字特征*4.4.1 矩矩.中心矩与原点矩之间有如下关系：.当k为奇数时，上述被积函数是奇函数，故.4.4.2 4.4.2 分位数与中位数分位数与中位数.从定义易知，下侧分位数和上侧分位数之间的关系是 由于标准正态分布的概率密度是偶函数，故其分位数还有下列性质：.中位数和数学期望一样也是随机变量位置的特征数，但在某些场合使用中位数可能比使用数学期望更合理，例如在一个贫富差距很大的国家，平均收入可能掩盖贫富差距很大现实，而中位数一般不会发生这种情况.感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！