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习题四
1.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P
故
3.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1
P
p1 p2 p3
且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.
【解】因……①,
又……②,
……③
由①②③联立解得
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
5.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】
故
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1；
（2） V=YZ -4X.
【解】(1)
(2)
7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.
【解】(1)
(2)
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求E（XY）.
【解】因故k=2
.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值
由X与Y的独立性，得
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
于是
10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=
求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.
【解】
从而(1)
(2)
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.
【解】(1) 由得.
(2)
(3)
故
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
于是，得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元
故 (元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记
，S2=.
（1） 验证=μ， =；
（2） 验证S2=；
（3） 验证E（S2）=σ2.
【证】(1)
(2) 因
故.
(3) 因,故
同理因,故.
从而
15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,
计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.
【解】
(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设.
同理E(Y)=0.
而
,
由此得,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1时，
当|y|≤1时，.
显然
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y
-1 0 1
-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表
18
X
-1
0
1
P
Y
-1
0
1
P
XY
-1
0
1
P
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为
题18图
从而
同理
而
所以
.
从而
19.设（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
【解】
从而
同理
又
故
20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而
故
21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.
【证】令
显然
可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，
即
故
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)==5.
依题意Y=min(X,2).
对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.
对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为
P{X≤x}=1 -e -λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 -e -y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
,
Z=k
0
1
2
3
Pk
因此，
(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
T=
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】
故
得
两边取对数有
解得 (毫米)
由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量X的概率密度为
f(x)=
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
（2002研考）
【解】令
则.因为
及,
所以
,
从而
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.
【解】由题意知：
因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).
当t<0时，fT(t)=0;
当t≥0时，利用卷积公式得
故得
由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)
因此，有E(T)=E(T1+T2)=.
又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.
27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差.
【解】设Z=X -Y，由于
且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.
因
而
，
所以 .
28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.
【解】记q=1 -p,X的概率分布为P{X=i}=qi -1p,i=1,2,…，
故
又
所以
题29图
29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.
【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)·E(Y)].
由条件知X和Y的联合密度为
从而
因此
同理可得
于是
30.设随机变量U在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量
X= Y=
试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.
【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.
P{x= -1,Y= -1}=P{U≤ -1,U≤1}
P{X= -1,Y=1}=P{U≤ -1,U>1}=P{}=0,
P{X=1,Y= -1}=P{U> -1,U≤1}
.
故得X与Y的联合概率分布为
.
(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为
, .
从而
所以
31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（ -∞<x<+∞）
(1) 求E（X）及D（X）；
（2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？
（3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？
【解】(1)
(2)
所以X与|X|互不相关.
(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有
所以
故由
得出X与|X|不相互独立.
32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXY= -1/2，设Z=.
（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2） 求X与Z的相关系数ρXZ；
（3） 问X与Z是否相互独立，为什么？
【解】(1)
而
所以
(2) 因
所以
(3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数.
【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.
再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=,
从而有
所以
故= -1.
34.设随机变量X和Y的联合概率分布为
Y
X
-1 0 1
0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
试求X和Y的相关系数ρ.
【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为
YX
-1
0
1
P
0.08
0.72
0.2
所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)·E(Y)=0.12 -0.6×0.2=0
从而 =0
35.对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称
ρ=为事件A和B的相关系数.试证：
（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；
（2） |ρ|≤1.
【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB) -P(A)·P(B)=0.
而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件.
(2) 引入随机变量X与Y为
由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即
从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),
D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),
Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)
所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.
36. 设随机变量X的概率密度为
fX(x)=
令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：
(1) Y的概率密度fY(y)；
(2) Cov(X,Y);
(3).
解： (1) Y的分布函数为
.
当y≤0时， ，；
当0＜y＜1时，
，
；
当1≤y<4时，
；
当y≥4时，，.
故Y的概率密度为
(2) ,
,
,
故 Cov(X,Y) =.
(3)
.
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