量子力学34.doc

(完整word)量子力学34
第七章习题课
1．证明:.
解:利用泡利矩阵的性质,得

设的本征方程为

则

又

所以

2．对于自旋为1/2的粒子体系，定义自旋交换算符.证明：。
解：利用例1结果，有

3．对上题中的，证明：,。
解：利用泡利算符性质，得

或利用矩阵表示证明

同理

4．在的本征态下，求和。
解：

或

同理,。
5．在表象中，写出的矩阵形式，并证明：，。
解：在表象中，有

所以

也可以采用下面办法

6．设体系由两个自旋为的粒子构成，其哈密顿算符为。求能量本征值，其中、为实常数.
解：哈密顿算符变形为

因为,所以。
当时，，有

当时，，有

7．两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系.设两个粒子之间无相互作用。若一个粒子处于状态，另一个粒子处于状态，求体系处于单态的概率。
解:在表象中，两粒子的状态分别为

体系的状态

体系总的自旋量子数.处于单态时，,对应的波函数为

体系处于单态的概率为

或者，采用下面办法

因为

所以

因此

处于单态概率

8．设体系由两个自旋为的粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为、的状态中,分别求出体系处于单态和三重态的概率。其中

解:

体系处于单态和三重态的概率分别为

9．两个自旋为1/2的粒子的角动量分别为、，它们之间相互作用算符为（为常数），总角动量.证明、、可同时测量，并求的矩阵元。
解:（1）证明、、可同时测量，即证它们互相对易。

因为,所以

因为

所以

因此，、、互相对易，可同时测量。
(2）的矩阵元

因为，所以。
当时,,有；
当时，,有.
10．已知氢原子处在态中,求、、的可能取值和平均值。
解：状态为

显然已归一化。
主量子数，能量可能取值及相应概率为

能量平均值

轨道角量子数，的可能取值及概率为

的平均值为

角动量

由题意得
当时，,，所以；
当时,，，所以。
的可能取值及概率
，；，;,
平均值

11．自旋为的粒子处于阱宽为的无限深方势阱中，若状态为

求能量的可能测量值及相应的取值概率.其中为该无限深势阱的第个本征态.
解：一维无限深方势阱中粒子能量的本征解为
（）
因为

归一化

所以

能量取值及概率

能量平均值

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