量子力学必考题.doc

量子力学必考题

第二章 微扰理论
3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1) 转子绕一固定轴转动：
(2) 转子绕一固定点转动：（考一问）
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有

哈米顿算符
其本征方程为 (无关，属定态问题)

令 ，则

取其解为 (可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有

即
∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为

A为归一化常数，由归一化条件

∴ 转子的归一化波函数为

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

无关，属定态问题，其本征方程为

(式中设为的本征函数，为其本征值)

令 ，则有

此即为角动量的本征方程，其本征值为

其波函数为球谐函数
∴ 转子的定态能量为

可见，能量是分立的，且是重简并的。
第七章 自旋与全同粒子
7.3.求的本征值和所属的本征函数。（考的本征值和本证函数）
解：的久期方程为

∴ 的本征值为。
设对应于本征值的本征函数为
由本征方程 ，得

由归一化条件 ，得

即 ∴
对应于本征值的本征函数为
同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为

7.5设氢的状态是
①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；
②求总磁矩
的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）（必考）

解：ψ可改写成

从ψ的表达式中可看出的可能值为 0
相应的几率为

的可能值为
相应的几率为

（以下的可能会考，最后一节课讲得）

第三章 量子力学中的力学量
1、动量算符的本征值方程：

2、两个表示力学量的算符之间的关系：
（1） 对易：有组成完全系的共同本征态
（2） 不对易：若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称Ô 与 Û 不对易。
3、量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算
如动量算符
能量算符
动能算符 动能平均值
角动量算符 角动量平均值
薛定谔方程

算符 ，被称为哈密顿算符，（求算符的对易）
第五章 微扰理论
1、定态微扰理论
适用范围：求分立能级及所属波函数的修正，适用条件
（2分填空）
（1） 非简并情况：
（大题不会写公式4分）
第七章 自旋与全同粒子
施特恩-格拉赫实验——证明电子具有自旋
2、光谱线精细结构：钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。（填空or选择）
1、 自旋角动量平方算符的本征值:

4、（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂 现象。
（2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-自旋相互作 用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。（填空or选择）
5、泡利不相容原理：如果N个单粒子态中有两个单粒子态相同，则（7.7.13）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这结果成为泡利不相容原理。（填空or选择）
6、（1）玻色子：凡自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，称为 Bose 子。
（2）费米子：凡自旋为 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，称为Fermi 子。（填空or选择）
于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：（大题，填空or选择不确定）

从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：