量子力学29.doc

(完整word)量子力学29第七章 自旋与全同粒子71 电子自旋一、电子自旋的实验依据玻尔的量子论的提出，使人们对光谱规律的认识深入了一大步。后来人们又发现了光谱的精细结构和反常塞曼效应，这些新的实验结果又给理论提出了新问题.例如，在碱金属钠原子光谱中，起初看到一条波长为的黄光，后来由于光谱仪分辨率的提高,人们发现它是由两条谱线组成,波长分别为和，这就是碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中,一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常塞曼效应。原有量子理论无法解释这些新现象。1925年，为解释上面现象，乌伦贝克和古德斯密特提出了电子自旋的假设。最初,他们认为自旋是电子的机械转动。实际上这种理论没有摆脱经典物理的束缚。后来人们发现,电子的自旋是电子的一个固有性质,就像电子具有质量和电荷一样.自旋具有角动量量纲,它的存在，标志着电子又有了一个新的自由度。1921年的斯特恩盖拉赫实验直接证实了电子自旋的存在。该实验的目的是测原子磁矩.实验现象是单价原子(如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束.我们以氢原子为例介绍实验现象。电炉H射出的处于态的氢原子束流通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相底片P上,实验结果是照片上出现两条分立线。带有磁矩的中性原子进入磁场后,其势能为其中为与（沿轴方向）之间的夹角；是原子磁矩的分量。因为(），所以原子所受的力为力的大小和指向要视的数值和正负而定。磁矩相对于磁场有不同取向的原子受到不同大小和指向的力的作用。当它们在磁场中飞行时，将发生不同程度和方向的偏转，通过磁场后,磁矩有不同取向的原子将落到照相底板上不同位置。设炉子的温度为，它蒸发出的原子的平均速率为原子通过磁场时的平均时间为其中，为原子质量,为磁极长度。偏转距离是值可由实验测得（测量方法：加上磁场，再撤消磁场,比较原子束打在屏上的痕迹），从而可以推算出磁矩的分量，得到的结果是 （为玻尔磁子）转动装置，不变.产生磁矩的原因:不是轨道磁矩，因为体系处于基态(态）,所以轨道磁矩为零；也不是核磁矩，因为核磁矩远远小于。所以一定有新的物理因素没有被考虑到，实验事实迫使我们承认电子有一个固有（内禀）磁矩(因而原子有磁矩），即自旋磁矩，它在任何方向上的分量可取两个数值,即二、电子自旋的特点1电子自旋角动量在空间任意方向(比如方向)的投影只能取两个数值，即。2电子自旋磁矩与自旋角动量的关系是 （即朗德因子） （SI）电子轨道磁矩与轨道角动量的关系是注意:（1）自旋角动量也具有其它角动量的共性,即满足同样的对易关系（1927年Pauli把自旋引入量子力学)（2）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性,它不可能用经典力学来解释.即，而所以自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无关.它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志了电子还有一个新自由度。(3）电子自旋值是，而不是的整数倍。（4)电子自旋的回转磁比率的定义:乌伦贝克和哥德斯密脱最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似,电子一方面绕原子核运动,一方面又有自转.但把电子的自旋看成机械的自转是错误的。解释：假定电子自转半径为米（经典半径），由不确定关系知，若取，则可得:于是转动线速度（大大超过光速）。这当然是不可能的，Lorentz抓住这一要害问题，否定了乌伦贝克和哥德斯密脱假设。乌伦贝克和哥德斯密脱当时年轻，投了论文就害怕了，想退稿，他们的导师说：“别害怕,允许青年人犯错误，有错改错，不要把研究成果一起抛掉.后来的事实却证明，电子的自旋概念是微观物理学最重要的概念，电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。72 电子的自旋算符和自旋函数一、自旋算符及其性质我们对比电子的轨道角动量和自旋角动量，会更容易掌握自旋的性质.轨道角动量自旋角动量共个共个由于在空间任何方向的投影只能取两个数值，所以、三个算符的可能值（本征值)都是，它们的平方都是,即 所以,都是常数算符(Constant Operators）与任何算符都对易(这导致了下面的反对易关系）。显然，自旋量子数,自旋磁量子数。为简单起见，引入Pauli算符，它与的关系为即 性质：1、三个算符的可能值（本征值）都是，它们的平方都是，即 或者（单位算符）2满足对易关系或统一写成3满足反对易关系证明第一个式子:因为，所以4满足。因为 所以二、自旋算符的矩阵表示在、表象中，有 设.因为它是厄米算符，所以于是。因此因为所以。于是又因为所以，取。因此利用对易关系式，可以解得矩阵表示为 相应的自旋角动量矩阵表示为 小 结一、电子自旋电子自旋角动量在空间任意方向的投影只能取两个数值，即。 和 二、泡利算符及其性质 三、自旋算符的矩阵表示矩阵表示为 相应的自旋角动量矩阵表示为 6