资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，反比例函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知小明、小颖之间的距离为3.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.6m，已知小明、小颖的身高分别为1.8m，1.6m，则路灯的高为（ ）
A．3.4m B．3.5m C．3.6m D．3.7m
3．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）
A．当1<a<5时，点B在⊙A内 B．当a<5时，点B在⊙A内
C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外
4．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11 或1 D．12或1
5．在中，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
6．一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，两条直线被三条平行线所截，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．
A． B． C． D．
9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9
10．过反比例函数图象上一点作两坐标轴的垂线段，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为（ ）
A．－6 B．－3 C．3 D．6
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则它的中心点所经过的路径长为______．
12．某一时刻，一棵树高15m，影长为18m．此时，高为50m的旗杆的影长为_____m．
13．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
15．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为_____．
16．在二次根式中的取值范围是__________.
17．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种
18．投掷一枚材质均匀的正方体骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率等于_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.
（1）求证：；
（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）
20．（6分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．
⑴求证：BE是⊙O的切线；
⑵若BC=，AC=5，求圆的直径AD的长．
21．（6分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
22．（8分）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是 ．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23．（8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
24．（8分）如图，是圆的直径，平分，交圆于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，，求的长．
25．（10分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.
26．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
(1)画出△A1B1C，；
(2)求在旋转过程中，CA所扫过的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】比例系数k=1＞0，根据反比例函数图像的特点可判断出函数图像．
【详解】∵比例系数k=1＞0
∴反比例函数经过一、三象限
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图像的分布，当k>0时，函数位于一、三象限．当k＜0时，函数位于二、四象限．
2、B
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知， ，即可得到结论．
【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴，
即，，
解得：AB＝3.5m，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3、B
【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项A、C、D正确，选项B错误．
故选B．
点睛：若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
4、A
【分析】首先从方程x2﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-6x+8=0，
解得：x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为：4+3+6=1．
故选：A．
【点睛】
考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
5、C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.
6、C
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
7、D
【解析】先根据平行线分线段成比例定理求出DF的长，然后可求出BF的长.
【详解】，
，即，
解得，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.
8、A
【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．
9、C
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
∴（x﹣3）2＝11，
故选：C．
【点睛】
考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10、D
【分析】根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，即可得出答案．
【详解】设B点坐标为（x，y），
由函数解析式可知，xy＝k＝－6，
则可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是理解图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先求得从B到B´时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长,又由正六边形的内角为120°，求得所对 的圆心角为60°，根据弧长公式计算即可.
【详解】解：∵正六边形的内角为120°，
∴∠BAF=120°,
∴∠FAF´=60°,
∴
∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长，找到其运动轨迹是解决本题的关键．
12、1
【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．
【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴，
由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，，
解得x＝1，
经检验，x=1是原方程的解，
即高为50m的旗杆的影长为1m．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.
13、（1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
14、115°
【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
15、π
【分析】根据图示知 ，所以根据弧长公式求得 的长．
【详解】根据图示知， ，
∴的长为：．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，掌握弧长的计算方法是解题的关键．
16、x<1
【解析】试题解析：若二次根式有意义，
则<2，
解得x<1．
故答案为：x<1．
【点睛】
本题考查二次根式及分式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为2．
17、1.
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解：由题意：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有1种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故答案是1．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
18、
【解析】分析：利用概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=，即要求解.
详解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
点数为2的倍数的有3个，分别为2、4、6；
∴掷得朝上一面的点数为2的倍数的概率为：．
故答案为：．
点睛：本题考查了概率公式的知识，解题的关键是利用概率＝所求情况数与总数之比进行求解.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）详见解析；
【分析】（1）根据菱形的性质可得：，再根据相似三角形的判定即可证出，从而得出结论；
（2）根据菱形的性质，可得DA=DC，从而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∴.
∴.
（2）∵四边形是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
或
∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、相似三角形的判定及性质和尺规作图，掌握菱形的性质、相似三角形的判定定理及性质定理和用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键.
20、（1）详见解析；（2）1
【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．
【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M
∵BC=BD，
∴∠CAB=∠BAD.
∵OA=OB,
∴∠BAD=∠OBA.
∴∠CAB=∠OBA.
∴OB∥AC.
又AD是直径,
∴∠ABD=∠ACD =90°，
又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.
∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.
又OB是半径,
∴BE是⊙O的切线．
⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.
∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD
设⊙O的半径为r，则
在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;
在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=.
∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).
∴圆的直径AD的长是1．
【点睛】
此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．
21、 (1)证明见解析(2)2
【解析】试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出
由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径．
试题解析：(1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分
∴半径为
22、 (1);(2) .
【解析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
【详解】解答：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，
故答案为．
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
所以选择不同通道通过的概率为＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）BP＝1.
【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵∠CBP＝∠ADB，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝2，
∴AD＝2OA＝4，
∵OP⊥AD，
∴∠POA＝90°，
∴∠P+∠A＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠A＝∠A，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得：BP＝1．
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）AE=．
【分析】（1）由题意连接OE，由角平分线的性质并结合平行线的性质进行分析故可得CD是⊙O的切线；
（2）根据题意设r是⊙O的半径，在Rt△CEO中，，进而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例关系式，代入进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连结，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是圆的切线.
（2）设是圆的半径，在中，
即.解得.
∵，
∴∽
∴
即，解得，
∴=.
【点睛】
本题考查圆相关，熟练掌握并利用圆的切线定理以及相似三角形的性质进行分析是解题的关键.
25、 (1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：
(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【点睛】
本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
26、 (1)见解析;(2).
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可.
（2）利用勾股定理求出AC的长，CA所扫过的面积等于扇形CAA1的面积,然后列式进行计算即可．
【详解】解：
(1)△A1B1C为所求作的图形：
(2)∵AC=，∠ACA1=90°,
∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：
．
【点睛】
本题考查的知识点是作图-旋转变换, 扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握作图-旋转变换, 扇形面积的计算.
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