1、复变函数模拟考试试题复变函数考试试题(一)一、判断题(4x10=40分):1、若函数/(Z)在Z0解析,则/(Z)在Z0的某个邻域内可导。()2、有界整函数必在整个复平面为常数。()3、若函数/(z)=(%,),)+/(%,y)在。内连续,则”(x,y)与v(x,y)都在。内连续。()4、c os z与sin z在复平面内有界。()5、若zo是z)的机阶零点,则zo是l/(z)的小阶极点。()6、若Az)在zo处满足柯西-黎曼条件,则/Q)在zo解析。()7、若lim/(z)存在且有限,则zo是函数的可去奇点。()ZT Zo8、若/在单连通区域D内解析,贝IJ对D内任一简单闭曲线C都有/(z)
2、d z=0。()9、若函数穴z)是单连通区域。内的解析函数,则它在。内有任意阶导数。()10、若函数人力在区域。内的解析,且在。内某个圆内恒为常数,则在区域。内恒等于常数。()二、填空题(4x5=20分)1、若C是单位圆周,是自然数,贝I dz=o2、设/(z)=(/+2%y)+z(l-sin(x2+y2),Vz=x+iy eC,贝Ulim/(z)=oz-l+i3、设/(z)=二,则人力的定义域为 oz+14、2改的收敛半径为。n=05、R esJ,0)=_ozn三、计算题(8 x5=40分):f(z)=_1、设(z-l)(z-2),求 z)在 0=z:O lzll内的罗朗展式。fe+l si
3、n zdz+-f-2、求必=1 2%.必=3 屹-l)(z-4)。3、求函数sin(2z)的幕级数展开式。4、求/(z)=7一J一天在2 viz 1+8内的罗朗展式。(z l)(z 2)5、求zJ5z+l=0,在Izlvl内根的个数。复变函数考试试题(二)一、判断题(4x10=40分):1、若函数Az)在zo解析,则/U)在zo连续。()2、有界整函数必为常数。()3、若z收敛,贝iJR ez与Imz都收敛。()4、若了在区域。内解析,且尸(z)三。,则/(z)三。(常数)。()5、若函数人力在zo处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幕级数。()6、若大z)在zo解析,则/(z)在zo处满
4、足柯西-黎曼条件。()7、若函数/(z)在zo可导,则/(z)在zo解析。()8、若八z)在区域。内解析,则(z)l也在。内解析。()9、若幕级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。()10 c os z与sin z的周期均为24万。()二、填空题(4x5=20分)1 -二、Wi(z-z0)w-2、设/(Z)=/7,则_/(z)的孤立奇点有_oz+13、若函数/在复平面上处处解析,则称它是。2 24、sin z+c os z=o5、若函数人力在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_O三、计算题(8 x5=40分):1、f,c os z、eiz2、求R es(-,i).l
5、+z4、求/(z)=-在2lzl+oo内的罗朗展式。(2)5、求z92z6+z28 z 2=0在E 公式e=c os%+jsin%称为.三、计算题(8 x5=40分):1、设/=13左+7归”,其中。二:上|=3,试求/(1+)2、求上+】Jji=i.,1 r dzsin zdz+-2疝以=3(1-1)Q-4)3、设/()=4:,求 R es(/(z),8).4、求函数在0 lzk+8内的罗朗展式。5、求复数卬=二的实部与虚部。z+1四、证明题(6+7+7=20分):1、设8是函数/(z)的可去奇点且limf(z)=A w C,试证:R es(/(z),oo)=T imz(/(z)A)。Zf
6、82、若整函数Az)将复平面映照为单位圆内部且/(0)=0,则/(z)三0(Vz e C)。3、证明6 z+3=0方程在llzl2内仅有3个根。复变函数考试试题(四)一、判断题(3x10=30分):1、若函数人力在zo解析,则/(z)在zo的某个邻域内可导。()2、如果zo是/(z)的本性奇点,则1山/(力一定不存在。()3、若lim/(z)存在且有限,则zo是八z)的可去奇点。()Zf Zo4、若函数;(z)在zo可导,则它在该点解析。()5、若数列z,J收敛,则R ezj与Imzj都收敛。()6、若/(z)在区域。内解析,则!/(z)l也在。内解析。()7、若基级数的收敛半径大于0,则其和
7、函数必在收敛圆内解析。()8、存在整函数八z)将复平面映照为单位圆内部。()9、若函数Az)是区域。内的解析函数,且在。内的某个圆内恒等于常数,则八z)在区域。内恒等于常数。()10、lsinzloo/?c o 8、R es(=,0)=,其中为自然数。z9、方程2z5-?+3z+8=0在单位圆内的零点个数为 o10、函数/(z)=方的幕级数展开式为_1+z2三、计算题(5x6=30分):-;-dz.心(9-?)(z+z)2、求R es(-y,i).1+z23、lim-.6)4、求函数能在0 00|1+z2四、证明题(6+7+7=20分)1、设函数/(z)在区域。内解析,试证:/(z)在。内为常
8、数的充要条件是/(z)在。内解析。2、如果函数z)在。=z:lz&l上解析,且(z)l(lzl=l),则 1 1(1 z 1 1)o 3、设方程z-4z5+z2-1=0证明:在开单位圆内根的个数为5。复变函数考试试题(五)一、判断题(3x10=30分):1、若函数Az)在zo解析,则大z)在zo连续。()2、若函数加)在zo处满足Cauc hy-R iemann条件,则危)在zo解析。()3、若函数/(z)在zo解析,则/(z)在z()处满足Cauc hy-R iemann条件。()4、若函数8 z)在是区域。内的单叶函数,则/(z)wO(Vze。)。()5、若Az)在单连通区域。内解析,则对
9、D内任一简单闭曲线C都有/(z)d z=0 o()6、若Az)在区域。内解析,则对。内任一简单闭曲线。都有1/(z)d z=O。()7、若r(z)wO(Vze。),则函数加)在是。内的单叶函数。()8、若zo是Az)的小阶零点,则zo是l/Az)的加阶极点。()9、如果函数/)在。=z:lzKl上解析,且(z)Kl(lzl=l),贝iJ(z)Kl(lzKl)。()10、lsinzl 1(VzgC)o()二、填空题(2x10=20分)1、若 z”=+/(I+-)n,贝lJ lim zn=_o1-H n z-+公式*=c os%+jsinx称为 o三、计算题(5x6=30分):1r(2-,丫1、l
10、im-.6)2、设f(z)=+74+1、2,其中。二仁:七|=3,试求/(1+i).3、设/=一;,求 R es(/(z),i).z+1 34、求函数理工在0 lzl8内的罗朗展式。Z5、求复数卬=的实部与虚部。z+16、求e%的值。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程z+9z6+6 z3-1=0在单位圆内的根的个数为6o2、若函数/(z)=M(x,y)+,Wx,y)在区域d内解析,v(x,y)等于常数,则,%)在D内恒等于常数。3、若z()是/(z)的加阶零点,则zo是l/(z)的加阶极点。复变函数考试试题(六)一、判断题(3x8=24分)1、若函数/(Z)在Z0解析,则/(Z)在Z0的
11、某个邻域内可导。()2、若函数/(z)在zo处解析,则/(z)在zo满足Cauc hy-R iemann条件。()3、如果zo是/U)的可去奇点,则lim z)一定存在且等于零。()4、若函数Az)是区域。内的单叶函数,则/(z)wO(Vzg。)。()5、若函数式z)是区域。内的解析函数,则它在。内有任意阶导数。()6、若函数/(z)在区域。内的解析,且在。内某个圆内恒为常数,则在区域。内 恒等于常数。()7、若zo是Az)的小阶零点,则zo是l/(z)的小阶极点。()8、I sin z l2z/的收敛半径为。n=06、若zo是人力的加阶零点且加1,则z()是广的 零点。7、若函数Az)在整个
12、复平面处处解析,则称它是 o8、函数Az)=lzl的不解析点之集为 o9、方程3z8-z3+3z+8=0在单位圆内的零点个数为 o10、R es(,0)o三、计算题(5x6=30分)22+1、求2、设/(z)=I322+72+1以,其中 C=z:lzl=3,试求/(1+i).4 一 z入设3求 R es(/(z),O).4、求函数-在llzl2内的罗朗展式。(z-D(z-2)5、求复数w 的实部与虚部。z+16、利用留数定理计算积分:上J,(al).力 Q+CO S%四、证明题(6+7+7=20分)1、方程24z7+9z6+6z3+z3+1=0在单位圆内的根的个数为7。2、若函数f(z)=(x
13、,y)+A(%,y)在区域。内解析,(z)l等于常数,则/(z)在D内恒等于常数。3、若zo是/(z)的机阶零点,则zo是l/(z)的机阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数,去将z平面上的上半单位圆盘z:l z l0保形映射为w平面的单位圆盘w:lwll。复变函数考试试题(七)一、判断题(2x10二20分)1、若函数/(z)在Z0可导,则/(z)在Z0解析。()2、若函数危)在zo处满足Cauc hy-R iemann条件,则危)在zo解析。()3、如果zo是Az)的极点,则lim/(z)一定存在且等于无穷大。()ZT Zo4、若/(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有
14、j/(z)d z=0。()5、若函数Az)在zo处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为塞级数。()6、若Az)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有/(z)d z=0 o()7、若函数Hz)在区域。内的解析,且在。内某一条曲线上恒为常数,则/U)在 区域。内恒等于常数。()8、若zo是大z)的机阶零点,则zo是l/Hz)的机阶极点。()9、如果函数加)在9=z:l z隆1上解析,且1 1(1 z 1=1),则1 1(1 z 100二、填空题(2x10:20分)1、若 z=sin+,贝lim Z=_。1+h n zf+oo2、设/(z)=,,则z)的定义域为 osinz3、函数si
15、n z的周期为 oA.2 24、sin z+c os z=o/85、幕级数的收敛半径为 o二06、若Zo是/(z)的机阶零点且%1,则Z0是r(z)的 零点。7、若函数人z)在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是 o8、函数/(z)=z的不解析点之集为 o9、方程20z8-11?+3z+5=0在单位圆内的零点个数为。10 R es(,1)=z-1三、计算题(5x6=30分)1、lim72002、设/)=竺卫里成,其中C=z:lzl=3,试求/(1+i).4 4-z3、设/(z)=-,求R es(/(z),i).z+14、求函数4在llzl2内的罗朗展式。(z-D(z-2)5、求复数卬
16、=三口的实部与虚部。z+16、利用留数定理计算积分匚 J:盛;9小。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程z7+9/+6 z3-1=0在单位圆内的根的个数为6o 2、若函数/(z)=(%,y)+M%,y)在区域。内解析,M(%,y)等于常数,则/(z)在D内恒等于常数。3、若zo是/(z)的机阶零点,则zo是1/。)的机阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数,去将z平面上的带形区域z:-Imz0)的不同的根为 o5.(1+0,o006.级数2+(-1)z的收敛半径为。n=07.c os版在Izk”(n为正整数)内零点的个数为8.函数/=6 sinz3+z3(/6)的零点z=0的阶数为。9
17、.设。为函数/1(z)=例的一阶极点,且。(。)。0,(。)=0,(。)。0,则、7C V 7T2.设 z=%+iywO,且一;T argz,-arc tan ,当了 4.叙述儒歇定理并讨论方程5z4+J 2=0在lzll内根的个数。(10分)四.证明题。(20分)1.设f(z)=(尤,y)+iv(x,y)是上半复平面内的解析函数,证明/(z)是下半复平面内的解析函数。(10分)2.设函数 z)在 IzkR 内解析,令M(r)=max l,(0 4rR)。证明:M(r)lzl=r在区间0,R)上是一个上升函数,且若存在乙及G(0 T r2 a5、设/(z)=zsinz,贝llz=0 是/(z)
18、的 阶零点。6、设/“)=3,则/(z)在z=0的邻域内的泰勒展式为 1+z_ O7、设I z-。I+1 z+。1=人,其中。力为正常数,则点z的轨迹曲线是8、设z=-sin工-ic os工,则z的三角表示式为。6 6719、p z c os zdz=o10、设/(z)=q,则/(z)在z=o处的留数为 oz二、计算题。1、计算下列各题。(9分)(1)c osz;(2)ln(-2+3/);(3)33T2、求解方程z,+8=0。(7分)3、设y+犯,验证是调和函数,并求解析函数z)=M+h,使之/)=1+1。(8 分)4、计算积分。(10分)(1)j(/+a)d z,其中C是沿y=%2由原点到点
19、z=i+j的曲线。(2)(%-/)+比2mZ。积分路径为自原点沿虚轴到i,再由i沿水平方向向右到1+久5、试将函数/(z)=-分别在圆环域0 1 z 1 1和1 1 z 1 设函数/(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=w0+ivQ,=x0+iyQ,则lim于=A的充要条件是 oZf Zo3、设函数/(z)在单连通区域。内解析,则/(z)在。内沿任意一条简单闭曲线C 的积分 j/(z)d z=o4、设z=a为/(z)的可去奇点,贝ll lim/(z)为。Zf a5、设/=/,一1),则z=0是Q的 阶零点。6、设/口)=亏,则f(z)在z=0的邻域内的泰勒展式为 1-z_ O7、设lz-a
20、l+lz+al=b,其中a力为正常数,则点z的轨迹曲线是。8、设z=sina+ic osa,贝Liz的三角表示式为。9|ze:dz=o10、设/(z)=z2sin,,则/Q)在z=0处的留数为 oz二、计算题。1、计算下列各题。(9分)_+生(1)%(-3+旬;(2)二;(3)(l-z)1+/2求解方程户+2=0。(7分)3设=2(x-l)y,验证是调和函数,并求解析函数/(z)=+iv,使之/(2)=-i o(8 分)4、计算积分/(%-y)+比2反。积分路径为(1)自原点到1+,的直线段;(2)自原点沿虚轴到i,再由,沿水平方向向右到1+,。(10分)5、试求/(z)=一在z=T的邻域内的泰勒展开式。(8分)z-26、计算下列积分。(8分)7、乃 dO,)5+3c os。计算积分0(6 分)2。8、求下列幕级数的收敛半径。(6分)oo(l+i)zn=0V 3)2 9、设/(z)=殁3+仆2y+年/+时2)为复平面上的解析函数,试确定/,丸的值。(8分)三、证明题。1设函数“Z)在区域。内解析,面在区域。内也解析,证明“Z)必为常数。(5分)2试证明分+及+。=0的轨迹是一直线,其中。为复常数,。为实常数。(5分)