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复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）一、判断题（4x10=40分）：1、若函数/（Z）在Z0解析，则/（Z）在Z0的某个邻域内可导。（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。（）3、若函数/（z）=（%,），）+/（%,y）在。内连续，则”（x,y）与v（x,y）都在。内连续。（）4、c os z与sin z在复平面内有界。（）5、若zo是z）的机阶零点，则zo是l/（z）的小阶极点。（）6、若Az）在zo处满足柯西-黎曼条件，则/Q）在zo解析。（）7、若lim/（z）存在且有限，则zo是函数的可去奇点。（）ZT Zo8、若/在单连通区域D内解析，贝IJ对D内任一简单闭曲线C都有/（z）d z=0。（）9、若函数穴z）是单连通区域。内的解析函数，则它在。内有任意阶导数。（）10、若函数人力在区域。内的解析，且在。内某个圆内恒为常数，则在区域。内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20分）1、若C是单位圆周，是自然数，贝I dz=o2、设/（z）=（/+2%y）+z（l-sin（x2+y2）,Vz=x+iy eC,贝Ulim/（z）=oz-l+i3、设/（z）=二，则人力的定义域为 oz+14、2改的收敛半径为。n=05、R esJ,0）=_ozn三、计算题（8 x5=40分）：f(z)=_1、设(z-l)(z-2),求 z)在 0=z：O lzll内的罗朗展式。fe+l sin zdz+-f-2、求必=1 2%.必=3 屹-l)(z-4)。3、求函数sin(2z)的幕级数展开式。4、求/(z)=7一J一天在2 viz 1+8内的罗朗展式。(z l)(z 2)5、求zJ5z+l=0,在Izlvl内根的个数。复变函数考试试题（二）一、判断题（4x10=40分）：1、若函数Az）在zo解析，则/U）在zo连续。（）2、有界整函数必为常数。（）3、若z收敛，贝iJR ez与Imz都收敛。（）4、若了在区域。内解析，且尸（z）三。，则/（z）三。（常数）。（）5、若函数人力在zo处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幕级数。（）6、若大z）在zo解析，则/（z）在zo处满足柯西-黎曼条件。（）7、若函数/（z）在zo可导，则/（z）在zo解析。（）8、若八z）在区域。内解析，则（z）l也在。内解析。（）9、若幕级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）10 c os z与sin z的周期均为24万。（）二、填空题（4x5=20分）1 -二、Wi（z-z0）w-2、设/（Z）=/7,则_/（z）的孤立奇点有_oz+13、若函数/在复平面上处处解析，则称它是。2 24、sin z+c os z=o5、若函数人力在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_O三、计算题（8 x5=40分）：1、f,c os z、eiz2、求R es（-,i）.l+z4、求/(z)=-在2lzl+oo内的罗朗展式。(2)5、求z92z6+z28 z 2=0在E 公式e=c os%+jsin%称为.三、计算题(8 x5=40分)：1、设/=13左+7归”,其中。二：上|=3,试求/(1+)2、求上+】Jji=i.,1 r dzsin zdz+-2疝以=3（1-1）Q-4）3、设/()=4：,求 R es(/(z),8).4、求函数在0 lzk+8内的罗朗展式。5、求复数卬=二的实部与虚部。z+1四、证明题(6+7+7=20分):1、设8是函数/(z)的可去奇点且limf(z)=A w C,试证:R es(/(z),oo)=T imz(/(z)A)。Zf 82、若整函数Az)将复平面映照为单位圆内部且/(0)=0，则/(z)三0(Vz e C)。3、证明6 z+3=0方程在llzl2内仅有3个根。复变函数考试试题（四）一、判断题（3x10=30分）：1、若函数人力在zo解析，则/（z）在zo的某个邻域内可导。（）2、如果zo是/（z）的本性奇点，则1山/（力一定不存在。（）3、若lim/（z）存在且有限，则zo是八z）的可去奇点。（）Zf Zo4、若函数;（z）在zo可导，则它在该点解析。（）5、若数列z,J收敛，则R ezj与Imzj都收敛。（）6、若/（z）在区域。内解析，则!/（z）l也在。内解析。（）7、若基级数的收敛半径大于0,则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数八z）将复平面映照为单位圆内部。（）9、若函数Az）是区域。内的解析函数，且在。内的某个圆内恒等于常数，则八z）在区域。内恒等于常数。（）10、lsinzloo/?c o 8、R es（=,0）=，其中为自然数。z9、方程2z5-?+3z+8=0在单位圆内的零点个数为 o10、函数/(z)=方的幕级数展开式为_1+z2三、计算题(5x6=30分)：-；-dz.心(9-?)(z+z)2、求R es(-y,i).1+z23、lim-.6)4、求函数能在0 00|1+z2四、证明题(6+7+7=20分)1、设函数/(z)在区域。内解析，试证：/(z)在。内为常数的充要条件是/(z)在。内解析。2、如果函数z)在。=z：lz&l上解析，且(z)l(lzl=l),则 1 1(1 z 1 1)o 3、设方程z-4z5+z2-1=0证明：在开单位圆内根的个数为5。复变函数考试试题（五）一、判断题（3x10=30分）:1、若函数Az）在zo解析，则大z）在zo连续。（）2、若函数加）在zo处满足Cauc hy-R iemann条件，则危）在zo解析。（）3、若函数/（z）在zo解析，则/（z）在z（）处满足Cauc hy-R iemann条件。（）4、若函数8 z）在是区域。内的单叶函数，则/（z）wO（Vze。）。（）5、若Az）在单连通区域。内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有/（z）d z=0 o（）6、若Az）在区域。内解析，则对。内任一简单闭曲线。都有1/（z）d z=O。（）7、若r（z）wO（Vze。），则函数加）在是。内的单叶函数。（）8、若zo是Az）的小阶零点，则zo是l/Az）的加阶极点。（）9、如果函数/）在。=z：lzKl上解析,且（z）Kl（lzl=l）,贝iJ（z）Kl（lzKl）。（）10、lsinzl 1（VzgC）o（）二、填空题（2x10=20分）1、若 z”=+/（I+-）n，贝lJ lim zn=_o1-H n z-+公式*=c os%+jsinx称为 o三、计算题(5x6=30分)：1r(2-，丫1、lim-.6)2、设f(z)=+74+1、2,其中。二仁：七|=3,试求/(1+i).3、设/=一；,求 R es(/(z),i).z+1 34、求函数理工在0 lzl8内的罗朗展式。Z5、求复数卬=的实部与虚部。z+16、求e%的值。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程z+9z6+6 z3-1=0在单位圆内的根的个数为6o2、若函数/(z)=M(x,y)+，Wx,y)在区域d内解析，v(x,y)等于常数，则，%)在D内恒等于常数。3、若z()是/(z)的加阶零点，则zo是l/(z)的加阶极点。复变函数考试试题（六）一、判断题（3x8=24分）1、若函数/（Z）在Z0解析，则/（Z）在Z0的某个邻域内可导。（）2、若函数/（z）在zo处解析，则/（z）在zo满足Cauc hy-R iemann条件。（）3、如果zo是/U）的可去奇点，则lim z）一定存在且等于零。（）4、若函数Az）是区域。内的单叶函数，则/（z）wO（Vzg。）。（）5、若函数式z）是区域。内的解析函数，则它在。内有任意阶导数。（）6、若函数/（z）在区域。内的解析，且在。内某个圆内恒为常数，则在区域。内 恒等于常数。（）7、若zo是Az）的小阶零点，则zo是l/（z）的小阶极点。（）8、I sin z l2z/的收敛半径为。n=06、若zo是人力的加阶零点且加1,则z（）是广的 零点。7、若函数Az）在整个复平面处处解析，则称它是 o8、函数Az）=lzl的不解析点之集为 o9、方程3z8-z3+3z+8=0在单位圆内的零点个数为 o10、R es（,0）o三、计算题（5x6=30分）22+1、求2、设/(z)=I322+72+1以,其中 C=z：lzl=3,试求/(1+i).4 一 z入设3求 R es(/(z),O).4、求函数-在llzl2内的罗朗展式。(z-D(z-2)5、求复数w 的实部与虚部。z+16、利用留数定理计算积分：上J,(al).力 Q+CO S%四、证明题(6+7+7=20分)1、方程24z7+9z6+6z3+z3+1=0在单位圆内的根的个数为7。2、若函数f(z)=(x,y)+A(%,y)在区域。内解析,(z)l等于常数,则/(z)在D内恒等于常数。3、若zo是/(z)的机阶零点，则zo是l/(z)的机阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z：l z l0保形映射为w平面的单位圆盘w：lwll。复变函数考试试题（七）一、判断题（2x10二20分）1、若函数/（z）在Z0可导，则/（z）在Z0解析。（）2、若函数危）在zo处满足Cauc hy-R iemann条件，则危）在zo解析。（）3、如果zo是Az）的极点，则lim/（z）一定存在且等于无穷大。（）ZT Zo4、若/（z）在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有j/（z）d z=0。（）5、若函数Az）在zo处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为塞级数。（）6、若Az）在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有/（z）d z=0 o（）7、若函数Hz）在区域。内的解析，且在。内某一条曲线上恒为常数，则/U）在 区域。内恒等于常数。（）8、若zo是大z）的机阶零点，则zo是l/Hz）的机阶极点。（）9、如果函数加）在9=z:l z隆1上解析,且1 1（1 z 1=1）,则1 1（1 z 100二、填空题（2x10:20分）1、若 z=sin+,贝lim Z=_。1+h n zf+oo2、设/（z）=,，则z）的定义域为 osinz3、函数sin z的周期为 oA.2 24、sin z+c os z=o/85、幕级数的收敛半径为 o二06、若Zo是/（z）的机阶零点且%1，则Z0是r（z）的 零点。7、若函数人z）在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是 o8、函数/（z）=z的不解析点之集为 o9、方程20z8-11?+3z+5=0在单位圆内的零点个数为。10 R es(,1)=z-1三、计算题(5x6=30分)1、lim72002、设/)=竺卫里成，其中C=z：lzl=3,试求/(1+i).4 4-z3、设/(z)=-，求R es(/(z),i).z+14、求函数4在llzl2内的罗朗展式。(z-D(z-2)5、求复数卬=三口的实部与虚部。z+16、利用留数定理计算积分匚 J：盛;9小。四、证明题(6+7+7=20分)1、方程z7+9/+6 z3-1=0在单位圆内的根的个数为6o 2、若函数/(z)=(%,y)+M%,y)在区域。内解析，M(%,y)等于常数，则/(z)在D内恒等于常数。3、若zo是/(z)的机阶零点，则zo是1/。)的机阶极点。五、计算题(10分)求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域z：-Imz0）的不同的根为 o5.（1+0,o006.级数2+（-1）z的收敛半径为。n=07.c os版在Izk”（n为正整数）内零点的个数为8.函数/=6 sinz3+z3（/6）的零点z=0的阶数为。9.设。为函数/1（z）=例的一阶极点，且。（。）。0,（。）=0,（。）。0,则、7C V 7T2.设 z=%+iywO,且一；T argz，-arc tan ,当了 4.叙述儒歇定理并讨论方程5z4+J 2=0在lzll内根的个数。（10分）四.证明题。（20分）1.设f（z）=（尤,y）+iv（x,y）是上半复平面内的解析函数,证明/（z）是下半复平面内的解析函数。（10分）2.设函数 z）在 IzkR 内解析，令M（r）=max l,（0 4rR）。证明：M（r）lzl=r在区间0,R）上是一个上升函数，且若存在乙及G（0 T r2 a5、设/(z)=zsinz,贝llz=0 是/(z)的 阶零点。6、设/“)=3,则/(z)在z=0的邻域内的泰勒展式为 1+z_ O7、设I z-。I+1 z+。1=人，其中。力为正常数，则点z的轨迹曲线是8、设z=-sin工-ic os工，则z的三角表示式为。6 6719、p z c os zdz=o10、设/(z)=q,则/(z)在z=o处的留数为 oz二、计算题。1、计算下列各题。(9分)(1)c osz;(2)ln(-2+3/);(3)33T2、求解方程z，+8=0。(7分)3、设y+犯，验证是调和函数，并求解析函数z)=M+h,使之/)=1+1。(8 分)4、计算积分。(10分)(1)j(/+a)d z，其中C是沿y=%2由原点到点z=i+j的曲线。(2)(%-/)+比2mZ。积分路径为自原点沿虚轴到i,再由i沿水平方向向右到1+久5、试将函数/(z)=-分别在圆环域0 1 z 1 1和1 1 z 1 设函数/(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=w0+ivQ,=x0+iyQ,则lim于=A的充要条件是 oZf Zo3、设函数/(z)在单连通区域。内解析，则/(z)在。内沿任意一条简单闭曲线C 的积分 j/(z)d z=o4、设z=a为/(z)的可去奇点，贝ll lim/(z)为。Zf a5、设/=/，一1),则z=0是Q的 阶零点。6、设/口)=亏，则f(z)在z=0的邻域内的泰勒展式为 1-z_ O7、设lz-al+lz+al=b,其中a力为正常数，则点z的轨迹曲线是。8、设z=sina+ic osa,贝Liz的三角表示式为。9|ze:dz=o10、设/(z)=z2sin,，则/Q)在z=0处的留数为 oz二、计算题。1、计算下列各题。(9分)_+生(1)%(-3+旬；(2)二；(3)(l-z)1+/2求解方程户+2=0。(7分)3设=2(x-l)y,验证是调和函数，并求解析函数/(z)=+iv，使之/(2)=-i o(8 分)4、计算积分/(%-y)+比2反。积分路径为(1)自原点到1+，的直线段；(2)自原点沿虚轴到i,再由，沿水平方向向右到1+，。(10分)5、试求/（z）=一在z=T的邻域内的泰勒展开式。（8分）z-26、计算下列积分。（8分）7、乃 dO,)5+3c os。计算积分0(6 分)2。8、求下列幕级数的收敛半径。（6分）oo(l+i)zn=0V 3)2 9、设/（z）=殁3+仆2y+年/+时2）为复平面上的解析函数，试确定/，丸的值。（8分）三、证明题。1设函数“Z）在区域。内解析，面在区域。内也解析，证明“Z）必为常数。（5分）2试证明分+及+。=0的轨迹是一直线，其中。为复常数，。为实常数。（5分）