第三章矩阵的初等变换与线性方程组.doc

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第三章　矩阵的初等变换与线性方程组
1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：
解　(1)　

（2)　

（3）　

（4）　

2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式？有没有等于0的阶
子式？
解　　在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等
于0的阶子式.
例如，
同时存在等于0的3阶子式和2阶子式。
3．从矩阵中划去一行得到矩阵，问的秩的关系怎样?
解
设,且的某个阶子式。矩阵是由矩阵划去一行得
到的，所以在中能找到与相同的阶子式,由于，
故而。
4．求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是,
解　　设为五维向量,且，
，则所求方阵可为秩为4，不妨设
取
故满足条件的一个方阵为

5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
解　（1)　

二阶子式．
(2)
.
二阶子式．
(3)
秩为3
三阶子式．

6．求解下列齐次线性方程组:
(1）　 (2)　
(3） （4)
解　(1）　对系数矩阵实施行变换：
即得
故方程组的解为
(2）　对系数矩阵实施行变换：
　即得
故方程组的解为
（3）　对系数矩阵实施行变换：
即得
故方程组的解为
(4）　对系数矩阵实施行变换：
即得
故方程组的解为
7．求解下列非齐次线性方程组:
（1) （2)
(3) （4）

解　（1)　对系数的增广矩阵施行行变换,有

而，故方程组无解．

（2）　对系数的增广矩阵施行行变换：

即得亦即
（3)　对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即
(4） 对系数的增广矩阵施行行变换:

即得　即
8．取何值时,非齐次线性方程组

（1）有唯一解;(2）无解；（3)有无穷多个解？
解　(1）　,即时方程组有唯一解。
（2)　

由
得时,方程组无解.
（3)　，由，
得时,方程组有无穷多个解.
9．非齐次线性方程组

当取何值时有解？并求出它的解．
解　
方程组有解，须得
当时，方程组解为
当时,方程组解为
10．设
问为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解
时求解．
解　　

当,即　且时，有唯一解.
当且,即时,无解.
当且,即时，有无穷多解。
此时，增广矩阵为
原方程组的解为 (）
11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:
（1)　； (2）　。
解　（1）

故逆矩阵为
（2）　

故逆矩阵为
12．（1)　设,求使;
（2） 设，求使。
解(1）

(2）
．

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