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(一)数学系一年级数学分析期末测验题 作者： 日期：个人收集整理，勿做商业用途（一）数学系一年级数学分析期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、和是三个数列，且存在N, nN时有，则（ ）A 和都收敛时，收敛； B. 和都发散时，发散；C 和都有界时，有界； D. 有界时，和都有界；2、 函数 在 点 必 （ ）A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续3、（）在点必 （ ）A. ； B. ;C. ; D. ；4、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内可微，但。则（ ）A. （），使 ； B. （），使 ;C. （），使 ；D.当时，对（），有0 ；5、设在区间上有， 。则在上有（ ）A. ； B. ；C. ； D. ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：1 ；2。在区间上的全部间断点为 ；3 , ；4 函数在R内可导，且在（）内递增，在（）内递减,，的单调递减区间为 ；5 ；三、（满分36分，每小题6分）计算题：1、 ;2、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ;3、 ；4、,计算积分 ；5、 ；6、斜边为定长的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;四、（满分7分）验证题：由有“”定义验证数列极限 ；五、（满分32分，每小题8分）证明题：1 设函数和都在区间上一致连续，证明函数在区间上一致连续；2 设函数在点可导且，试证明：，其中 ；3 设函数在点具有连续的二阶导数，试证明： ；4 试证明： .（二）一年级数学分析考试题 一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）2、若对0，函数在上连续，则在开区间（）内连续； （ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点必不可导 ； （ ）5、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内可导，但，则对，有 ； （ ）二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：1、 ；2、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是 ；3、 ， ；4、函数二阶可导， ， 则 ；5、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ， ；三、（满分30分，每小题6分）计算题:1、 ；2、 ；3、， 求 ；4、， 求 ；5、 ；四、（满分40分，每小题8分）证明题：1、设函数在区间上满足Lipschitz条件：0，有 ，证明在区间上一致连续；2、证明函数在点不可导 ；3、设函数在R内连续且，试证明在R有最小值；4、设，在上可导，在（）内可导，证明，使得 ；5、设函数和可导且，又，证明，其中为常数.（三）一年级数学分析考试题 一 对错判断题：1、设为两个数列，若 （）则 ；（ ）2、若函数以为极限，则可表为 ； （ ）3、设定义于上，若取遍与之间的任意值，则比在上连续； （ ）4、若在连续，且存在，则在有界;（ ）5、若的导数在上连续，则必存在常数L,使 ， ； （ ）6、 当时， ； （ ） ； （ ）7、若和在点都不可导，则在点也不可导; （ ）8、为上凸函数的充要条件为，对上任意三点有： （ ）9、若在二阶可导，则（）为曲线的拐点的充要条件为 ； （ ）10、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列,使得 ； （ ）二 单项选择题：1、设 在处连续， 则（ ） A. 1 B. C. D. 12、设 当是不连续是因为 （ ） A.在无定义 B.不存在 C. D.左，右极限不相等3、设 ，其中在处连续但不可导，则 （ ） A. 不存在 B. C. D. 4、当很小时，下列近似公式正确的是 （ ） A. B. C. D. 5、若和对于区间（）内每一点都有，在（） 内有 （ ） A. B. D.（c为任意常数） D. （c为任意常数）三 证明题：1 证明 ;2 证明不等式： ；3 对任意实数有 ；4 证明：方程 （为常数）在内不可能有两个不同的实根；5 设函数在点存在左，右导数，试证在连续；6 证明：若极限存在，则它只有一个极限；四 计算题：1 写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2 求下列极限： ； ； ；3 求 的微分；4 设函数的参量方程 （）所确定，求 .（四）一年级数学分析考试题 一 叙述题：1 用语言叙述 （为定数）2 叙述Rolle中值定理，并举出下列例子：1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限 ；2 求极限 ；3 求的带Peano型余项的Maclaurin公式；4 求；三、研究函数 在处的左，右极限和极限；四、研究函数求数集的上、下确界，并依定义加以验证；五、证明题：1 用定义证明： ；2 证明： ()3 设定义在区间上，若存在常数L，,有 证明：在上一致连续；4 设函数在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 .（五）一年级数学分析考试题 一 判断题：（满分10分，每小题2分）1、若，则 ； （ ）2、有限开区间（）内一致连续的函数必在开区间内有界； （ ）3、设函数在点的某领域内有定义，若存在数，使，（），则在点可导且 ； （ ）4、，若函数在点可导，则函数和都在点可导； （ ）5、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内可导，若对， ，则必有； （ ）二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）1、函数在点连续的充要条件是A. 和中至少有一个存在；B. 和存在且相等；C. =; D. 在点可导2、设函数定义在区间上，且满足Lipschitz条件，使对，有，则在区间上 （ ）A. 连续但未必一致连续； B. 一致连续但未必连续；C. 必一致连续； D. 必不一致连续；3、定义为：A. ； B. ；C. ； D. ；4、设函数和在区间内可导，则在该区间内有 （ ）A. ，其中为常数； B. , 其中为常数;C. ; D. ;5、 为使在点可导，应取（ ）A. ， ； B. ， ;C. ， ; D. ， ;三 计算题：（满分30分，每小题6分）1、，求 ；2、，求 ；3、，求 ；4、 ；5、，其中且，写出的含项且具Peano型余项的Maclaurin公式；四 验证题：（满分16分，每小题8分）1、用定义验证函数在（）内一致连续；2 证明函数在点不可导；五 证明题：（满分24分，每小题8分）1、设函数和在内连续，若对任何有理数，有，则在内；2、设函数定义在（）内，且（）和，有，其中M为正实数，证明是（）内的常数函数；3、设函数在闭区间上连续，在开区间（）内二级可导，且，试证明：（），使.