1、(一)数学系一年级数学分析期末测验题 作者: 日期:个人收集整理,勿做商业用途(一)数学系一年级数学分析期末考试题 学号 姓名 一、(满分10分,每小题2分)单项选择题:1、和是三个数列,且存在N, nN时有,则( )A 和都收敛时,收敛; B. 和都发散时,发散;C 和都有界时,有界; D. 有界时,和都有界;2、 函数 在 点 必 ( )A.左连续; B. 右连续 C. 连续 D. 不连续3、()在点必 ( )A. ; B. ;C. ; D. ;4、设函数在闭区间上连续,在开区间()内可微,但。则( )A. (),使 ; B. (),使 ;C. (),使 ;D.当时,对(),有0 ;5、设
2、在区间上有, 。则在上有( )A. ; B. ;C. ; D. ;二、(满分15分,每小题3分)填空题 :1 ;2。在区间上的全部间断点为 ;3 , ;4 函数在R内可导,且在()内递增,在()内递减,,的单调递减区间为 ;5 ;三、(满分36分,每小题6分)计算题:1、 ;2、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ;3、 ;4、,计算积分 ;5、 ;6、斜边为定长的直角三角形绕其直角边旋转,求所得旋转体的最大体积 ;四、(满分7分)验证题:由有“”定义验证数列极限 ;五、(满分32分,每小题8分)证明题:1 设函数和都在区间上一致连续,证明函数在区间上一致连续;2 设函数在
3、点可导且,试证明:,其中 ;3 设函数在点具有连续的二阶导数,试证明: ;4 试证明: .(二)一年级数学分析考试题 一、(满分10分,每小题2分)判断题:1、无界数列必发散; ( )2、若对0,函数在上连续,则在开区间()内连续; ( )3、初等函数在有定义的点是可导的; ( )4、,若函数在点可导,在点不可导,则函数在点必不可导 ; ( )5、设函数在闭区间上连续,在开区间()内可导,但,则对,有 ; ( )二、(满分20分,每小题4分)填空题 :1、 ;2、曲线的所有切线中,与直线垂直的切线是 ;3、 , ;4、函数二阶可导, , 则 ;5、把函数展开成具Peano型余项的Maclaur
4、in公式 , ;三、(满分30分,每小题6分)计算题:1、 ;2、 ;3、, 求 ;4、, 求 ;5、 ;四、(满分40分,每小题8分)证明题:1、设函数在区间上满足Lipschitz条件:0,有 ,证明在区间上一致连续;2、证明函数在点不可导 ;3、设函数在R内连续且,试证明在R有最小值;4、设,在上可导,在()内可导,证明,使得 ;5、设函数和可导且,又,证明,其中为常数.(三)一年级数学分析考试题 一 对错判断题:1、设为两个数列,若 ()则 ;( )2、若函数以为极限,则可表为 ; ( )3、设定义于上,若取遍与之间的任意值,则比在上连续; ( )4、若在连续,且存在,则在有界;( )
5、5、若的导数在上连续,则必存在常数L,使 , ; ( )6、 当时, ; ( ) ; ( )7、若和在点都不可导,则在点也不可导; ( )8、为上凸函数的充要条件为,对上任意三点有: ( )9、若在二阶可导,则()为曲线的拐点的充要条件为 ; ( )10、若S为无上界的数集,则存在一个递增数列,使得 ; ( )二 单项选择题:1、设 在处连续, 则( ) A. 1 B. C. D. 12、设 当是不连续是因为 ( ) A.在无定义 B.不存在 C. D.左,右极限不相等3、设 ,其中在处连续但不可导,则 ( ) A. 不存在 B. C. D. 4、当很小时,下列近似公式正确的是 ( ) A.
6、B. C. D. 5、若和对于区间()内每一点都有,在() 内有 ( ) A. B. D.(c为任意常数) D. (c为任意常数)三 证明题:1 证明 ;2 证明不等式: ;3 对任意实数有 ;4 证明:方程 (为常数)在内不可能有两个不同的实根;5 设函数在点存在左,右导数,试证在连续;6 证明:若极限存在,则它只有一个极限;四 计算题:1 写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式;2 求下列极限: ; ; ;3 求 的微分;4 设函数的参量方程 ()所确定,求 .(四)一年级数学分析考试题 一 叙述题:1 用语言叙述 (为定数)2 叙述Rolle中值定理,并举出下列例子:1) 第一个条件不成立
7、,其它条件成立,结论不成立的例子;2) 第二个条件不成立,其它条件成立,结论不成立的例子;3) 第三个条件不成立,结论成立的例子;二、计算题:1 求极限 ;2 求极限 ;3 求的带Peano型余项的Maclaurin公式;4 求;三、研究函数 在处的左,右极限和极限;四、研究函数求数集的上、下确界,并依定义加以验证;五、证明题:1 用定义证明: ;2 证明: ()3 设定义在区间上,若存在常数L,,有 证明:在上一致连续;4 设函数在点的某个邻域内具有连续的二阶导数,证明 .(五)一年级数学分析考试题 一 判断题:(满分10分,每小题2分)1、若,则 ; ( )2、有限开区间()内一致连续的函
8、数必在开区间内有界; ( )3、设函数在点的某领域内有定义,若存在数,使,(),则在点可导且 ; ( )4、,若函数在点可导,则函数和都在点可导; ( )5、设函数在闭区间上连续,在开区间()内可导,若对, ,则必有; ( )二 单项选择题:(满分20分,每小题4分)1、函数在点连续的充要条件是A. 和中至少有一个存在;B. 和存在且相等;C. =; D. 在点可导2、设函数定义在区间上,且满足Lipschitz条件,使对,有,则在区间上 ( )A. 连续但未必一致连续; B. 一致连续但未必连续;C. 必一致连续; D. 必不一致连续;3、定义为:A. ; B. ;C. ; D. ;4、设函
9、数和在区间内可导,则在该区间内有 ( )A. ,其中为常数; B. , 其中为常数;C. ; D. ;5、 为使在点可导,应取( )A. , ; B. , ;C. , ; D. , ;三 计算题:(满分30分,每小题6分)1、,求 ;2、,求 ;3、,求 ;4、 ;5、,其中且,写出的含项且具Peano型余项的Maclaurin公式;四 验证题:(满分16分,每小题8分)1、用定义验证函数在()内一致连续;2 证明函数在点不可导;五 证明题:(满分24分,每小题8分)1、设函数和在内连续,若对任何有理数,有,则在内;2、设函数定义在()内,且()和,有,其中M为正实数,证明是()内的常数函数;3、设函数在闭区间上连续,在开区间()内二级可导,且,试证明:(),使.