线性代数同济大学第四版习题答案06.doc

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第六章　线性空间与线性变换
1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间， 并写出各个空间的一个基。
(1） 2阶矩阵的全体S1;
解 设A, B分别为二阶矩阵, 则A, BÎS1. 因为
（A+B)ÎS1, kAÎS1,
所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
, , ,
是S1的一个基。
(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；
解 设, , A, BÎS2. 因为
,
,
所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
, ,
是S2的一个基。
(3) 2阶对称矩阵的全体S3。
解 设A, BÎS3, 则AT=A, BT=B. 因为
(A+B)T=AT+BT=A+B, (A+B)ÎS3,
（kA)T=kAT=kA, kAÎS3,
所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.
, ,
是S3的一个基。
2。 验证： 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量， 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.
解 设V={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量｝, 设r1=（1, 1, 0)T, r2=(-1, 0, 1)T, 则r1, r2ÎV, 但r1+r2=(0, 0, 1)TÏV, 即V不是线性空间。

3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证： 若U与V的维数相等, 则U=V.
证明　设e1, e2, ×××, en为U的一组基， 它可扩充为整个空间V的一个基, 由于dim(U)=dim（V), 从而e1, e2, ×××, en也为V的一个基, 则： 对于xÎV可以表示为x=k1e1+k2e2+ ××× +krer. 显然， xÎU， 故VÍU， 而由已知知UÍV, 有U=V.
4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间， a1, a2, ×××, ar是Vr的一个基。 试证: Vn中存在元素ar+1, ×××, an, 使a1, a2, ×××, ar， ar+1, ×××, an成为Vn的一个基。
证明 设r<n， 则在Vn中必存在一向量ar+1ÏVr, 它不能被a1, a2, ×××, ar线性表示, 将ar+1添加进来， 则a1, a2, ×××, ar+1是线性无关的。 若r+1=n， 则命题得证， 否则存在ar+2ÏL（a1, a2, ×××, ar+1), 则a1, a2, ×××, ar+2线性无关, 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1, a2, ×××, an， 它们是Vn的一个基。

5。 在R3中求向量a=（3, 7, 1）T在基a1=(1, 3, 5）T, a2=（6, 3, 2)T, a3=(3, 1, 0)T下的坐标。
解 设e1, e2, e3是R3的自然基, 则
(a1, a2, a3）=（e1, e2, e3）A,
（e1, e2, e3）=（a1, a2, a3）A-1,
其中, .
因为

,
所以向量a在基a1, a2, a3下的坐标为（33, -82, 154）T.

6。 在R3取两个基
a1=（1, 2, 1)T, a2=(2, 3, 3)T, a3=（3, 7, 1)T;
b1=(3, 1, 4)T, b2=（5, 2, 1)T, b3=（1, 1, -6)T.
试求坐标变换公式.
解 设e1, e2, e3是R3的自然基, 则
（b1, b2, b1）=（e1, e2, e3）B,
（e1, e2, e3）=(b1, b2, b1）B-1,
（a1, a2, a1）=(e1, e2, e3）A=(b1, b2, b1)B-1A,
其中 , .
设任意向量a在基a1, a2, a3下的坐标为（x1, x2, x3)T, 则
,
故a在基b1, b2, b3下的坐标为
.

7. 在R4中取两个基
e1=（1,0,0,0)T, e2=(0,1,0,0）T, e3=（0,0,1,0）T, e4=（0,0,0,1）T;
a1=(2,1,-1,1）T, a2=(0,3,1,0)T, a3=(5,3,2,1）T, a3=（6,6,1,3）T.
(1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；
解 由题意知
,
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
.
(2）求向量(x1, x2, x3, x4)T在后一个基下的坐标;
解 因为
,
向量a在后一个基下的坐标为
.
（3）求在两个基下有相同坐标的向量。
解 令
，
解方程组得（k为常数).

8。 说明xOy平面上变换的几何意义， 其中
(1）;
解 因为
,
所以在此变换下T（a）与a关于y轴对称.
(2)；
解 因为
,
所以在此变换下T（a)是a在y轴上的投影.
（3);
解 因为
,
所以在此变换下T（a)与a关于直线y=x对称.
（4）。
解 因为
,
所以在此变换下T(a）是将a顺时针旋转.

9。 n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间. 给出n阶矩阵P, 以A表示V中的任一元素, 变换T(A）=PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换。
证明 设A, BÎV, 则AT=A, BT=B.
T(A+B）=PT(A+B)P=PT(A+B）TP
=［(A+B)P]TP=（AP+BP)TP
=（PTA+PTB）P=PTAP+PTBP=T(A）+T（B),
T（kA)=PT（kA）P=kPTAP=kT（A）,
从而， 合同变换T是V中的线性变换.

10。 函数集合
V3=｛a=（a2x2+a1x+a0）ex ｜ a2, a1, a0 ÎR}
对于函数的线性运算构成3维线性空间， 在V3中取一个基
a1=x2ex, a2=xex, a3=ex.
求微分运算D在这个基下的矩阵。
解 设
b1=D（a1)=2xex+x2ex=2a2+a1,
b2=D(a2)=ex+xex=a3+a2,
b3=D（a3）=ex=a3.
易知b1, b2, b3线性无关, 故为一个基。
由 ,
知即D在基a1, a2, a3下的矩阵为.

11。 2阶对称矩阵的全体

对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基
, , 。
在V3中定义合同变换
，
求T在基A1, A2, A3下的矩阵。
解 因为
,
,
,
故 ,
从而， T在基A1, A2, A3下的矩阵。