甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题.doc

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

年级：
姓名：

8

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．将两个数交换，使，下列语句正确的是（ ）.
A． B． C． D．
2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”
C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”
3．已知实数满足,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D类产品的数量为（ ）
A．55件 B．40件 C．33件 D．22件
5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：
收入（亿元）

支出（亿元）

根据表中数据可得回归方程为，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（ ）
A．4．2亿元 B．4．4亿元 C．5．2亿元 D．5．4亿元
6．下列各数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．
7．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）

A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和29
8．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x，y），其中有399个点的坐标满足，据此可估计的值约为（ ）
A．3.19 B．3.16 C．3.14 D．3.11
9.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．40.6, 1.1 B．48.8, 4.2 C．81.2, 44.4 D．78.8, 75.6
10．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
C
B
B
A
A
D
A
D

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．一个容量为n的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n＝________.
【答案】160
14．下图是一个算法的流程图，则输出的e值是_______
【答案】5
15．由点向圆作的切线方程为___________．
【答案】或
16．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0),C(0,a)，D(0,a+2)，若存在点P，使得，则实数a的取值范围是 ．
（注：表示点P与点A之间的距离）
【答案】
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.
求小王周末不在家看书的概率.
解析：∵去看电影的概率P1＝＝，……………3分
去打篮球的概率P2＝＝， ……………6分
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
故小王周末不在家看书的概率： ……………10分
18．（本小题12分）
已知直线与圆.
（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求该定点；
（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.
【解析】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，
对上式中，当时，不论取何值，等式恒成立，
所以直线恒过点 .……………4分
（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径
由（Ⅰ）知，直线恒过点，
当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线， ……………8分
即.，，，
所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为 .……………12分
19．（本小题12分）
一只口袋装有形状大小都相同的只小球，其中只白球，只红球，只黄球，从中随机摸出只球，试求：
（1）只球都是红球的概率
（2）只球同色的概率
（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的几倍？
【解析】记两只白球分别为，；两只红球分别为，；两只黄球分别为，
从中随机取2只的所有结果为，，，，，
，，，，，，，，
，共15种
（1）只球都是红球为共1种，概率 ……………4分
（2）只球同色的有：，，，共3种，概率……………8分
（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8种，概率;
只球都是白球的有：，概率 ……………12分
所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍
20．（本小题12分）
某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元吨．
Ⅰ根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
Ⅱ将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．
根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率；
试预测该企业3年的总净利润年的总净利润年销售利润一投资费用

【解析】
Ⅰ年销量的平均数吨．
Ⅱ该产品的销售利润为1万元吨，
由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，
年销售利润不低于220万的概率．
由Ⅰ可知第一年的利润为：万元，
第二年的利润为：万元，
第三年的利润为：万元，
预测该企业3年的总净利润为：万元．
21．（本小题12分）
我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作.已知圆:，直线.
（Ⅰ）若直线l关于圆的距离比，求实数m的值；
（Ⅱ）当时，若圆与y轴相切于点，且直线l关于圆的距离比，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由.
【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：，所以
（Ⅱ）当时，直线，圆与轴相切点于
所以可设：
或
①当时，：
两圆的圆心距，两圆半径之和为，因此两圆外切
②当时，：
两圆的圆心距大于两圆的半径之和，因此两圆外离
22．（本小题12分）
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

27
74

182

表中，．
（Ⅰ）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；
（Ⅱ）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【解析】（Ⅰ）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．
，
所以，
故关于的线性回归方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
于是产卵数关于温度的回归方程为,
当时，；
当时，；
因为函数为增函数，
故气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．