2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

2015年全国初中数学联合竞赛试题

第一试（A）
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．设实数a，b，c满足：，，则（ ）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 9
2．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
A
B
C
D
E
F
3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（ ）
A． B．15
C． D．
4．已知O为䝐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数的图象上﬌且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知实数x（y满足关系式，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．设n是小于100的正整数且使是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ）
A．285 B．350 C．540 D．635
二、填空题（每小题7分，共28分）
A
B
C
D
F
O
E
7．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为 .
8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形
的概率为 .
9．已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD、
△ACD的外心，若AB＞AC，EF＝BC，则∠C－∠B＝ .

10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .

第一试（B）
一、选择题（每小题7分，共42分）
1．设实数a，b，c满足：，，则（ ）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
2．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
3．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（ ）
A． B．15 C． D．
4．已知实数x，y满足关系式，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．设n是小于100的正整数且使是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ）
A．784 B．850 C．1536 D．1634
二、填空题（每小题7分，共28分）
A
O
B
D
C
7．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为 .
8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .
9．C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分∠BAC，AB＝20，
AD＝，则AC的长为 .
10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd＋de＋ea最小，则这个最小值为 .

第二试（A）
1．（20分）关于x的方程有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.

A
B
C
D
P
F
N
E
M
2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC. 过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.
（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；
（2）如果，证明：MN＝MD.

3．（25分）设正整数m，n满足：关于x的方程至少有一个正整数解，证明：.

第二试（B）
1．（20分）若正数a，b满足ab＝1，求的最小值.

2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC＝BD. 过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.
A
B
C
D
F
M
E
N
（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；
（2）如果MN＝MD，证明：BF＝CD＋DF.

3．（25分）若关于x的方程至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值.

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试（A）
1. 解：D. 提示：∵，，
∴
.
2. 解：C. 提示：依题意，有，于是可得.
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，∴.
因此.
A
B
C
D
E
F
G
3. 解：C. 提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE.
延长FA，EB交于点G.
∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，
∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，
∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6，
∴GF＝11，GE＝10，∴.
4. 解：A. 提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D.
由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD，
∴.
5. 解：B. 提示：设，则由题设条件可知，
∴x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根，
于是有：，解得或.
又∵，
∴当（即）时，取得最小值，
最小值为.
6. 解：D. 提示：∵是15的倍数，
∴，∴，∴.
设（m是正整数），
则.
∵是15的倍数，∴是3的倍数，
∴或，其中k是非负整数.
∴或，其中k是非负整数.
∴符合条件的所有正整数n的和是
.
7. 解：11. 提示：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴，，，，
∴
.
8. 解：. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（），
则，，∴，
故a的可能取值为8，9，10或11，
满足题意的数组（a，b，c）可以为：
（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），
（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.
共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，
∴所求概率为.
9. 解：60°. 提示：作EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥EM于点P.
A
B
C
M
N
D
F
O
E
P
∵E、F分别为△ABD、△ACD的外心，
∴M、N分别为BD、CD的中点.
又EF＝BC，∴PF＝MN＝BC＝EF，∴∠PEF＝30°.
又EF⊥AD，EM⊥BC，∴∠ADC＝∠PEF＝30°.
又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋(180°－2∠C)＝90°＋∠B－∠C，
∴∠C－∠B＝90°－∠ADC＝60°.
10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A，B，C，D，E，F.
∵A所在行前面需要填两个比A小的数字，∴A不小于3；
∵B所在行前面需要填两个比B小的数字，
且A及A所在行前面两个数字都比B小，∴B不小于6.
同理可知：C不小于9，D不小于12，E不小于15，F不小于18.
因此，第三列所填6个数字之和A＋B＋C＋D＋E＋F≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.
如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.
1
2
3
19
20
21
4
5
6
25
27
29
7
8
9
22
23
24
10
11
12
26
28
30
13
14
15
31
34
35
16
17
18
32
33
36

第一试（B）
1. 解：B. 提示：∵，，
∴
.
2. 解：C. 提示：依题意，有，于是可得.
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，∴.
因此.
A
B
C
D
E
F
G
3. 解：C. 提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE.
延长FA，EB交于点G.
∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，
∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，
∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6，
∴GF＝11，GE＝10，∴.
4. 解：D. 提示：设，则，
代入题设等式得，整理得.
由判别式得，故.
5. 解：A. 提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D.
由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD，
∴.
6. 解：D. 提示：∵是6的倍数，
∴，∴，∴.
设（m是正整数），则.
∵是6的倍数，∴是3的倍数，
∴或，其中k是非负整数.
∴或，其中k是非负整数.
∴符合条件的所有正整数n的和是
.
7. 解：11. 提示：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴，，，，
∴
.
8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（），
则，，∴，
故a的可能取值为8，9，10或11，
满足题意的数组（a，b，c）可以为：
（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），
（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.
共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.
A
O
E
B
D
C
F
9. 解：4. 提示：连接OD、OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F.
∵AD平分∠BAC，∴∠DOB＝2∠BAD＝∠OAC.
又OA＝OD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF，∴AC＝2OF＝2OE.
设AC＝2x，则OE＝AF＝x.
在Rt△ODE中，由勾股定理得.
在Rt△ADE中，AD2＝DE2＋AE2，
即，解得x＝2.
∴AC＝2x＝4.
10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.
注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式，不妨设a＝5.
5
2
e
1
d
a
e
b
c
d
5
e
b
1
d
5
e
b
1
d
5
2
b
1
e
图1
图2
图3
图4
图5

如果1和5的位置不相邻，不妨设c＝1（如图2），
此时的和式为；
交换1和b的位置后，得到如图3的摆法，
此时的和式为.
∵，∴.
因此，交换1和b的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小.
如图3，如果d＝2，此时的和式为；
交换e和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为.
∵，∴.
因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小.
如果b＝2，此时的和式为；
交换e和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为.
∵，∴.
因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小.
综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.
当d＝3，e＝4时，和式的值为；
当d＝4，e＝3时，和式的值为.
因此，所求最小值为37.

第二试（A）
1. 解：将所给方程记为方程①，显然有且.
若，则，此时方程①无解，不符合题意，故.
方程①变形得，
两边平方后整理得，
再平方，整理得.
显然，应该有，并且此时方程①只可能有解.
将代入方程①，得，
化简整理得？？？，于是有，
此时方程①有唯一解.
A
B
C
D
Q
P
F
N
E
M
综上所述，所求实数m的取值范围为.
2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得∠BAP＝∠DAC，
则△BAP≌△CAD，∴AP＝AD.
又AE⊥PD，∴△ADE≌△APE，∴∠PAE＝∠DAE，
∴∠PAE＝∠BAP＝∠DAC，∴∠BAD＝3∠DAC.
（2）设∠DAC＝α，则∠BAC＝2α，∠BAD＝3α，∠NDM＝90°－α.
在FB上截取FQ＝FD，连接QD，则BQ＝BF－FQ＝BF－FD.
又，∴.
又∠QBD＝∠DCA，∴△QBD∽△DCA，∴∠QDB＝∠DAC.
又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠QDB＝∠DBC，∴QD∥BC，∴∠FQD＝∠ABC.
又AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°－α，∴∠FQD＝90°－α.
又FQ＝FD，∴∠BFD＝2α.
∵FN平分∠BFD，∴∠AFM＝α，
∴∠NMD＝∠AMF＝∠BAD－∠AFM＝3α－α＝2α，
∴∠MND＝180°－∠NMD－∠NDM＝90°－α＝∠MDN，∴MN＝MD.
3. 证明：方程即 ①，
方程①的判别式
.
不妨设，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴应为完全平方数.
注意到，
，
若，即，则，
从而有，故只可能，
即，整理得，
这与m，n均为正整数矛盾.
因此，从而可得，∴.
又∵，∴有，整理即得.

第二试（B）
1. 解：∵，∴，
∴.
设，则，
当时取得等号.
∴，.
因此，当，时，取得最小值.
A
B
C
D
F
Q
M
P
E
N
2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得∠BAP＝∠DAC，
则△BAP≌△CAD，∴AP＝AD.
又AE⊥PD，∴△ADE≌△APE，∴∠PAE＝∠DAE，
∴∠PAE＝∠BAP＝∠DAC，∴∠BAD＝3∠DAC.
（2）设∠DAC＝α，则∠BAC＝2α，∠BAD＝3α.
∵AC⊥BD，∴∠NDM＝90°－α.
∵MN＝MD，∴∠MND＝∠MDN＝90°－α，
∴∠NMD＝180°－∠MND－∠NDM＝2α，∴∠AMF＝2α，
∴∠AFM＝∠BAD－∠AMF＝3α－2α＝α.
∵FN平分∠BFD，∴∠BFD＝2∠AFM＝2α.
在FB上截取FQ＝FD，连接QD，则∠FQD＝90°－α.
又AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°－α，∴∠FQD＝∠ABC，
∴QD∥BC，∴∠QDB＝∠DBC.
又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠QDB＝∠DAC.
又∵DB＝AC，∠QBD＝∠DCA，∴△QBD∽△DCA，∴BQ＝CD，
∴BF＝BQ＋FQ＝CD＋DF.
3. 解：设方程的两个根为x1，x2，且x1为正整数，
则，.
由知，∴ x2也是整数.
由k为正整数及可知，∴x2是正整数.
注意到，
∴，∴或.
若，则由知：或.
当时，，，此时，k无整数解；
当时，，，此时，解得k＝1.
若，同样可得k＝1.
∴满足条件的正整数k＝1.