2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A）一、选择题（每小题7分，共42分）1设实数a，b，c满足：，则（ ）A. 0B. 3C. 6D. 92若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m8，n），则n（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24ABCDEF3矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形外的两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ）AB15CD4已知O为标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数的图象上且OAOB，则tanABO的值为（ ）ABC1D25已知实数x（y满足关系式，则的最小值为（ ）ABC1D6设n是小于100的正整数且使是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ）A285B350C540D635二、填空题（每小题7分，共28分）ABCDFOE7设a，b是一元二次方程的两根，则的值为 .8从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为 .9已知锐角ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为ABD、ACD的外心，若ABAC，EFBC，则CB .10将数字1，2，3，34，35，36填在66的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B）一、选择题（每小题7分，共42分）1设实数a，b，c满足：，则（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m8，n），则n（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形外的两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ）AB15CD4已知实数x，y满足关系式，则的最大值为（ ）A3B6C9D125已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OAOB，则tanABO的值为（ ）ABC1D26设n是小于100的正整数且使是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（ ）A784B850C1536D1634二、填空题（每小题7分，共28分）AOBDC7设a，b是一元二次方程的两根，则的值为 .8三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分BAC，AB20，AD，则AC的长为 .10在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得abbccddeea最小，则这个最小值为 .第二试（A）1（20分）关于x的方程有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.ABCDPFNEM2（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABAC. 过点D作DFBD，交BA的延长线于点F，BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：BAD3DAC；（2）如果，证明：MNMD.3（25分）设正整数m，n满足：关于x的方程至少有一个正整数解，证明：.第二试（B）1（20分）若正数a，b满足ab1，求的最小值.2（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABACBD. 过点D作DFBD，交BA的延长线于点F，BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.ABCDFMEN（1）证明：BAD3DAC；（2）如果MNMD，证明：BFCDDF.3（25分）若关于x的方程至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A）1. 解：D. 提示：，.2. 解：C. 提示：依题意，有，于是可得.抛物线与x轴只有一个公共点，.因此.ABCDEFG3. 解：C. 提示：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE.延长FA，EB交于点G.GAB90DAFADF，GBA90CBEBCEDAF，BGAAFD，且AGB90，AG8，BG6，GF11，GE10，.4. 解：A. 提示：过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足为C、D.由OAOB得AOB90，于是可得AOCOBD，.5. 解：B. 提示：设，则由题设条件可知，x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根，于是有：，解得或.又，当（即）时，取得最小值，最小值为.6. 解：D. 提示：是15的倍数，.设（m是正整数），则.是15的倍数，是3的倍数，或，其中k是非负整数.或，其中k是非负整数.符合条件的所有正整数n的和是.7. 解：11. 提示：a，b是一元二次方程的两根，.8. 解：. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（），则，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，所求概率为.9. 解：60. 提示：作EMBC于点M，FNBC于点N，FPEM于点P.ABCMNDFOEPE、F分别为ABD、ACD的外心，M、N分别为BD、CD的中点.又EFBC，PFMNBCEF，PEF30.又EFAD，EMBC，ADCPEF30.又ADCBBADB(1802C)90BC，CB90ADC60.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A，B，C，D，E，F.A所在行前面需要填两个比A小的数字，A不小于3；B所在行前面需要填两个比B小的数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，B不小于6.同理可知：C不小于9，D不小于12，E不小于15，F不小于18.因此，第三列所填6个数字之和ABCDEF36912151863.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.123192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336第一试（B）1. 解：B. 提示：，.2. 解：C. 提示：依题意，有，于是可得.抛物线与x轴只有一个公共点，.因此.ABCDEFG3. 解：C. 提示：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE.延长FA，EB交于点G.GAB90DAFADF，GBA90CBEBCEDAF，BGAAFD，且AGB90，AG8，BG6，GF11，GE10，.4. 解：D. 提示：设，则，代入题设等式得，整理得.由判别式得，故.5. 解：A. 提示：过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足为C、D.由OAOB得AOB90，于是可得AOCOBD，.6. 解：D. 提示：是6的倍数，.设（m是正整数），则.是6的倍数，是3的倍数，或，其中k是非负整数.或，其中k是非负整数.符合条件的所有正整数n的和是.7. 解：11. 提示：a，b是一元二次方程的两根，.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a，b，c（），则，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.AOEBDCF9. 解：4. 提示：连接OD、OC，作DEAB于E，OFAC于F.AD平分BAC，DOB2BADOAC.又OAOD，AOFODE，OEAF，AC2OF2OE.设AC2x，则OEAFx.在RtODE中，由勾股定理得.在RtADE中，AD2DE2AE2，即，解得x2.AC2x4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式，不妨设a5.52e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e图1图2图3图4图5如果1和5的位置不相邻，不妨设c1（如图2），此时的和式为；交换1和b的位置后，得到如图3的摆法，此时的和式为.，.因此，交换1和b的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小.如图3，如果d2，此时的和式为；交换e和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为.，.因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小.如果b2，此时的和式为；交换e和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为.，.因此，交换e和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小.综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.当d3，e4时，和式的值为；当d4，e3时，和式的值为.因此，所求最小值为37.第二试（A）1. 解：将所给方程记为方程，显然有且.若，则，此时方程无解，不符合题意，故.方程变形得，两边平方后整理得，再平方，整理得.显然，应该有，并且此时方程只可能有解.将代入方程，得，化简整理得？，于是有，此时方程有唯一解.ABCDQPFNEM综上所述，所求实数m的取值范围为.2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得BAPDAC，则BAPCAD，APAD.又AEPD，ADEAPE，PAEDAE，PAEBAPDAC，BAD3DAC.（2）设DAC，则BAC2，BAD3，NDM90.在FB上截取FQFD，连接QD，则BQBFFQBFFD.又，.又QBDDCA，QBDDCA，QDBDAC.又DBCDAC，QDBDBC，QDBC，FQDABC.又ABAC，BAC2，ABC90，FQD90.又FQFD，BFD2.FN平分BFD，AFM，NMDAMFBADAFM32，MND180NMDNDM90MDN，MNMD.3. 证明：方程即 ，方程的判别式.不妨设，由题设可知，整系数方程至少有一个正整数解，应为完全平方数.注意到，若，即，则，从而有，故只可能，即，整理得，这与m，n均为正整数矛盾.因此，从而可得，.又，有，整理即得.第二试（B）1. 解：，.设，则，当时取得等号.，.因此，当，时，取得最小值.ABCDFQMPEN2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得BAPDAC，则BAPCAD，APAD.又AEPD，ADEAPE，PAEDAE，PAEBAPDAC，BAD3DAC.（2）设DAC，则BAC2，BAD3.ACBD，NDM90.MNMD，MNDMDN90，NMD180MNDNDM2，AMF2，AFMBADAMF32.FN平分BFD，BFD2AFM2.在FB上截取FQFD，连接QD，则FQD90.又ABAC，BAC2，ABC90，FQDABC，QDBC，QDBDBC.又DBCDAC，QDBDAC.又DBAC，QBDDCA，QBDDCA，BQCD，BFBQFQCDDF.3. 解：设方程的两个根为x1，x2，且x1为正整数，则，.由知， x2也是整数.由k为正整数及可知，x2是正整数.注意到，或.若，则由知：或.当时，此时，k无整数解；当时，此时，解得k1.若，同样可得k1.满足条件的正整数k1.