2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案3.doc

初中数学竞赛试题
一、选用题
1．设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则值为【 】
A、 B、 C、2 D、3
2．已知a＝1999x＋，b＝1999x＋，c＝1999x＋，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca值为【 】
A、0 B、1 C、2 D、3
3．如图，点E、F分别是矩形ABCD边AB、BC中点，连AF、CE交于点G，则等于【 】
A、 B、 C、 D、

4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一种值【 】
A、不不不小于0 B、等于0 C、不不不不小于0 D、不不小于0
5．设有关x方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a取值范围是【 】
A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0
6．A1A2A3…A9是一种正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【 】
A、 B、 C、 D、a＋b
二、填空题
7．设x1、x2是有关x一元二次方程x2＋ax＋a＝2两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)最大值为 。
8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点横坐标，a＜b，则值为 。
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。

10．如图，大圆O直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4面积为 cm2。

11．满足(n2－n－1)n＋2＝1整数n有 个。
12．某商品标价比成本高p%，当该商品降价发售时，为了不赔本，售价折扣（即降价百分数）不得超过d%，则d可以用p体现为 。
三、解答题
13．某项工程，假如由甲、乙两队承包，天完毕，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完毕，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完毕，需付160000元。目前工程由一种队单独承包，在保证一周完毕前提下，哪个队承包费用至少？

14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE交点为P。(1)求证：（2）求证：

16．假如对一切x整数值，x二次三项式ax2＋bx＋c值都是平方数（即整数平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，假如（2）成立，与否对一切x整数值，x 二次三项式ax2＋bx＋c值都是平方数？

初中数学竞赛试题
一、 选用题（每题5分，共30分）
1. 设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则值为（ ）。
A、 B、 C、2 D、3
答案：A.由题意：>0，且= = =3。

2. 已知a＝1999x＋，b＝1999x＋，c＝1999x＋，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca值为( )。
A、0 B、1 C、2 D、3
答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。
3. 如图，点E、F分别是矩形ABCD边AB、BC中点，连AF、CE交于点G，则等于( )。
A、 B、 C、 D、

答案：设S矩形ABCD=1。由于E、F是矩形ABCD中边AB、BC中点，
因此SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则 ,得2x+2y= .
因此S四边形AGCD= .从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.
4. 设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一种值( )。
A、不不不小于0 B、等于0 C、不不不不小于0 D、不不小于0
答案：由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-3>0,因此x、y、z中至少有一 个不不不小于0.
5. 设有关x方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a取值范围是( )。
A、＜a＜ B、a＞ C、a＜ D、＜a＜0
答案：由题知:(x1-1)(x2-1)<0，即x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韦达定理并整顿得<0,可知选(A).

6. A1A2A3…A9是一种正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于( )。
A、 B、 C、 D、a＋b

答案：.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。因此A1A5=PA1=a+b.

二、 填空题（每题5分，共30分）
7. 设x1、x2是有关x一元二次方程x2＋ax＋a＝2两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)最大值为 。
答案：由Δ=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤- .
8. 已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点横坐标，a＜b，则值为 。
答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0，(b-c)(b-c-d)-2=0.因此a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)两实根.因此(a-c)(b-c)= -2<0.而a<b,即a-c<b-c.因此a-c<0,b-c>0.因此原式=b-a.
9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝ 。
答案：易证:ΔPAB∽ΔBCP,因此= ,得PB=4
10. 如图，大圆O直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4面积为 cm2。
答案：设⊙O3半径为x,则O1O3= +x，O1O= ,O3O= - x. 因此( +x)2=( )2+（ - x）2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4面积为 a2.

11. 满足(n2－n－1)n＋2＝1整数n有 个。

答案：由题设得n2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-2
12. 某商品标价比成本高p%，当该商品降价发售时，为了不赔本，售价折扣（即降价百分数）不得超过d%，则d可以用p体现为 。
答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.
三、 解答题（每题20分，共60分）
13. 某项工程，假如由甲、乙两队承包，天完毕，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完毕，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完毕，需付160000元。目前工程由一种队单独承包，在保证一周完毕前提下，哪个队承包费用至少？

答案：设单独完毕,甲、乙、丙各需a、b、c天.则

解得a=4，b=6，c=10（c>7,舍去).
又设每天付给甲、乙、丙费用分别为x、y、z(元),则

解得x=45500，y=29500，因此甲4天完毕总费用为18元，乙6天完毕总费用为177000元，因此由乙承包.
14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE交点为P。
(1)求证：（2）求证：

答案：(1)易证∠3=∠4,因此∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2,
因此ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立.
(2)分析:易证∠6=∠4,因此FC∥ED,因此 =
因此只需证 = ,
由(1)有 = 。
因此只需证= ,即QD2=CQ×EQ.
这只需证ΔCQD∽ΔEQD.
而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,
由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,
因此可证得ΔCQD∽ΔEQD.
15. 假如对一切x整数值，x二次三项式ax2＋bx＋c值都是平方数（即整数平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，假如（2）成立，与否对一切x整数值，x 二次三项式ax2＋bx＋c值都是平方数？
答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得
则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数)
(2)假设2b为奇数2t+1(t为整数).
取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数).
因 2a为整数,从而16a可被4整除.
因此16a+4b=16a+4t+2 除以4余2.
因此16a+4b为偶数. ①
又由于 16a+4b=(h+m)(h-m).
若h、m奇偶性不一样,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.
若h、m奇偶性相似,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾.
因此假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.
因此a=k2+b-c为整数.
反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x整数值,x二次三项式ax2+bx+c值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.

袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈
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