2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准.doc

全国初中数学联合竞赛试题参照答案及评分原则阐明：评阅试卷时，请根据本评分原则.第一试，选用题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分原则规定评分档次给分.假如考生解答措施和本解答不一样，只要思绪合理，环节对旳，在评卷时请参照本评分原则划分档次，予以对应分数.第一试一、选用题：（本题满分42分，每题7分）1已知，则值为【 】A1. B. C. D.【答】B.由可得，即，即，即，因此2已知两条高线长分别为5和20,若第三条高线长也是整数，则第三条高线长最大值为【 】A5. B6. C7. D8.【答】B.设面积为S，所求第三条高线长为h，则三边长分别为显然，于是由三边关系，得 解得因此最大整数值为6,即第三条高线长最大值为6.3方程解个数为【 】A1个 B2个 C3个 D4个【答】C.当时，方程为，即，解得，均满足当时，方程为，即，解得，满足综上，原方程有3个解4今有长度分别为1，2，9线段各一条，现从中选出若干条线段构成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一种正方形，则这样“线段组”组数有【 】A5组. B7组. C9组. D11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其他3条边中每两条线段长度之和当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又由于，因此正方形边长不不不不小于由于； ； ； ； 因此，构成边长为7、8、10、11正方形，各有一种措施；构成边长为9正方形，有5种措施。故满足条件“线段组”组数为14595如图，菱形ABCD中，则【 】A. B. C. D.【答】 D.过F作AB垂线，垂足为H，又，从而FHE是等腰直角三角形，因此HEFH， 6已知，则值为【 】A1. B. C2. D.【答】C.由已知等式得，因此于是，因此 ，即。代入，得，解得因此 二、填空题：（本题满分28分，每题7分）1在ABC中，已知，则 【答】 。延长AB到D，使BDBC，连线段CD，则，因此CACD。作于点E，则E为AD中点，故，.在RtBCE中，因此，故 2二次函数图象顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 【答】 2由已知，得，过D作于点E，则，即，得，因此或又，因此又，即，得3能使是完全平方数正整数n值为 【答】 11.当时，若它是完全平方数，则n必为偶数若，则；若，则；若，则；若，则。因此，当时，都不是完全平方数当时，若它是完全平方数，则为一奇数平方。设（k为自然数），则由于和一奇一偶，因此，于是，故4如图，已知AB是O直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆切线与CD延长线交于点F，假如，D为EF中点，则AB 【答】 24. 设，则连AD，BC由于AB为O直径，AF为O切线，因此又由于D为RtAEF斜边EF中点， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 设，由相交弦定理得 ，即， 又 ， 又， ，从而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 联立，解得因此第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不一样实数满足，方程和有一种相似实根，方程和也有一种相似实根求值解 依次将题设中所给四个方程编号为，设是方程和方程一种相似实根，则 两式相减，可解得5分设是方程和方程一种相似实根，则两式相减，可解得。因此 10分又方程两根之积等于1，于是也是方程根，则。又 ，两式相减，得 15分若，则方程无实根，因此，故于是 又，解得 20分二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为中点求证：（1）；（2）证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆圆心 5分作于点，知为中点，因此，从而 10分（2）作于点，则又， 15分 RtRt， ，又，因此，故，因此25分三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象通过三点二次函数解析式解 （1）由于，因此，即由，得5分又，从而有，即10分（2）由，知是有关x一元二次方程 两个不相等正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知：20分设图象通过三点二次函数解析式为，将点坐标代入得 ，解得因此，图象通过三点二次函数解析式为25分第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相似. 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且求证：证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径设为AC中点，则为四边形ABCD外接圆圆心5分作于点，则M为BD中点,因此，从而 10分作于点，则又， 15分 RtRt，又，因此，因此，因此25分三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且）求图象通过三点二次函数解析式解 由于，因此 ，即由，得5分又，从而有，即 10分又，故是有关x一元二次方程 两个不相等正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知：20分设图象通过三点二次函数解析式为，将点坐标代入得 ，解得因此，图象通过三点二次函数解析式为25分第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相似. 二（本题满分25分）如图，已知为锐角内一点，过度别作垂线，垂足分别为，为平分线，延长线交于点假如，求证：是平分线证明 如图1，作于点，于点，于点，于点设， ， 5分若，如图2，作，分别交于点，则， ，若，则若，同理可证15分， ， ，20分又， 又由于是平分线，因此， 显然，即， ，是平分线25分三（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相似.