2023年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

全国初中数学联合竞赛试题第一试（A）一、选用题（每题7分，共42分）1设实数a，b，c满足：，则（ ）A. 0B. 3C. 6D. 92若抛物线与x轴只有一种公共点，且过点A（m，n），B（m8，n），则n（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24ABCDEF3矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形外两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ）AB15CD4已知O为标原点，位于第一象限点A在反比例函数图象上，位于第二象限瀹B在反比例函数图象上且OAOB，则tanABO值为（ ）ABC1D25已知实数x（y满足关系式，则最小值为（ ）ABC1D6设n是不不小于100正整数且使是15倍数，则符合条件所有正整数n和是（ ）A285B350C540D635二、填空题（每题7分，共28分）ABCDFOE7设a，b是一元二次方程两根，则值为 .8从三边长均为整数且周长为24三角形中任取一种，它是直角三角形概率为 .9已知锐角ABC外心为O，AO交BC于D，E、F分别为ABD、ACD外心，若ABAC，EFBC，则CB .10将数字1，2，3，34，35，36填在66方格中，每个方格填一种数字，规定每行数字从左到右是从小到大次序，则第三列所填6个数字和最小值为 .第一试（B）一、选用题（每题7分，共42分）1设实数a，b，c满足：，则（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32若抛物线与x轴只有一种公共点，且过点A（m，n），B（m8，n），则n（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243矩形ABCD中，AD5，AB10，E、F分别为矩形外两点，BEDF4，AFCE3，则EF（ ）AB15CD4已知实数x，y满足关系式，则最大值为（ ）A3B6C9D125已知O为坐标原点，位于第一象限点A在反比例函数图象上，位于第二象限点B在反比例函数图象上，且OAOB，则tanABO值为（ ）ABC1D26设n是不不小于100正整数且使是6倍数，则符合条件所有正整数n和是（ ）A784B850C1536D1634二、填空题（每题7分，共28分）AOBDC7设a，b是一元二次方程两根，则值为 .8三边长均为整数且周长为24三角形个数为 .9C、D两点在以AB为直径半圆周上，AD平分BAC，AB20，AD，则AC长为 .10在圆周上按序摆放和为15五个互不相等正整数a，b，c，d，e，使得abbccddeea最小，则这个最小值为 .第二试（A）1（20分）有关x方程有且仅有一种实数根，求实数m取值范围.ABCDPFNEM2（25分）如图，圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABAC. 过点D作DFBD，交BA延长线于点F，BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：BAD3DAC；（2）假如，证明：MNMD.3（25分）设正整数m，n满足：有关x方程至少有一种正整数解，证明：.第二试（B）1（20分）若正数a，b满足ab1，求最小值.2（25分）如图，圆内接四边形ABCD对角线AC、BD交于点E，且ACBD，ABACBD. 过点D作DFBD，交BA延长线于点F，BFD平分线分别交AD、BD于点M、N.ABCDFMEN（1）证明：BAD3DAC；（2）假如MNMD，证明：BFCDDF.3（25分）若有关x方程至少有一种正整数根，求满足条件正整数k值.全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试（A）1. 解：D. 提醒：，.2. 解：C. 提醒：依题意，有，于是可得.抛物线与x轴只有一种公共点，.因而.ABCDEFG3. 解：C. 提醒：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE.延长FA，EB交于点G.GAB90DAFADF，GBA90CBEBCEDAF，BGAAFD，且AGB90，AG8，BG6，GF11，GE10，.4. 解：A. 提醒：过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足为C、D.由OAOB得AOB90，于是可得AOCOBD，.5. 解：B. 提醒：设，则由题设条件可知，x，y是有关m一元二次方程两个实数根，于是有：，解得或.又，当（即）时，获得最小值，最小值为.6. 解：D. 提醒：是15倍数，.设（m是正整数），则.是15倍数，是3倍数，或，其中k是非负整数.或，其中k是非负整数.符合条件所有正整数n和是.7. 解：11. 提醒：a，b是一元二次方程两根，.8. 解：. 提醒：设三角形三边长为a，b，c（），则，故a也许取值为8，9，10或11，满足题意数组（a，b，c）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，其中，只有一组是直角三角形三边长，所求概率为.9. 解：60. 提醒：作EMBC于点M，FNBC于点N，FPEM于点P.ABCMNDFOEPE、F分别为ABD、ACD外心，M、N分别为BD、CD中点.又EFBC，PFMNBCEF，PEF30.又EFAD，EMBC，ADCPEF30.又ADCBBADB(1802C)90BC，CB90ADC60.10. 解：63. 提醒：设第三列所填6个数字按从小到大次序排列后依次为A，B，C，D，E，F.A所在行前面需要填两个比A小数字，A不不不小于3；B所在行前面需要填两个比B小数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，B不不不小于6.同理可知：C不不不小于9，D不不不小于12，E不不不小于15，F不不不小于18.因而，第三列所填6个数字之和ABCDEF36912151863.如图即为使得第三列所填6个数字之和获得最小值一种填法（后三列数字填法不唯一）.123192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336第一试（B）1. 解：B. 提醒：，.2. 解：C. 提醒：依题意，有，于是可得.抛物线与x轴只有一种公共点，.因而.ABCDEFG3. 解：C. 提醒：易知AFDBEC90，BECDFA，DAFBCE.延长FA，EB交于点G.GAB90DAFADF，GBA90CBEBCEDAF，BGAAFD，且AGB90，AG8，BG6，GF11，GE10，.4. 解：D. 提醒：设，则，代入题设等式得，整顿得.由鉴别式得，故.5. 解：A. 提醒：过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足为C、D.由OAOB得AOB90，于是可得AOCOBD，.6. 解：D. 提醒：是6倍数，.设（m是正整数），则.是6倍数，是3倍数，或，其中k是非负整数.或，其中k是非负整数.符合条件所有正整数n和是.7. 解：11. 提醒：a，b是一元二次方程两根，.8. 解：12. 提醒：设三角形三边长为a，b，c（），则，故a也许取值为8，9，10或11，满足题意数组（a，b，c）可觉得：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，三边长均为整数且周长为24三角形个数为12.AOEBDCF9. 解：4. 提醒：连接OD、OC，作DEAB于E，OFAC于F.AD平分BAC，DOB2BADOAC.又OAOD，AOFODE，OEAF，AC2OF2OE.设AC2x，则OEAFx.在RtODE中，由勾股定理得.在RtADE中，AD2DE2AE2，即，解得x2.AC2x4.10. 解：37. 提醒：和为15五个互不相等正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放，且考虑是和式，不妨设a5.52e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e图1图2图3图4图5假如1和5位置不相邻，不妨设c1（如图2），此时和式为；互换1和b位置后，得到如图3摆法，此时和式为.，.因而，互换1和b位置使得1和5相邻（如图3）后来，和式值会变小.如图3，假如d2，此时和式为；互换e和2位置后来，得到如图4摆法，此时和式为.，.因而，互换e和2位置使得2和5相邻后来和式值会变小.假如b2，此时和式为；互换e和2位置后来，得到如图5摆法，此时和式为.，.因而，互换e和2位置使得2和5相邻后来和式值会变小.综上可知：1和2摆在5两边（如图5）时，和式值会变小.当d3，e4时，和式值为；当d4，e3时，和式值为.因而，所求最小值为37.第二试（A）1. 解：将所给方程记为方程，显然有且.若，则，此时方程无解，不符合题意，故.方程变形得，两边平方后整顿得，再平方，整顿得.显然，应当有，并且此时方程只也许有解.将代入方程，得，化简整顿得？，于是有，此时方程有唯一解.ABCDQPFNEM综上所述，所求实数m取值范围为.2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得BAPDAC，则BAPCAD，APAD.又AEPD，ADEAPE，PAEDAE，PAEBAPDAC，BAD3DAC.（2）设DAC，则BAC2，BAD3，NDM90.在FB上截取FQFD，连接QD，则BQBFFQBFFD.又，.又QBDDCA，QBDDCA，QDBDAC.又DBCDAC，QDBDBC，QDBC，FQDABC.又ABAC，BAC2，ABC90，FQD90.又FQFD，BFD2.FN平分BFD，AFM，NMDAMFBADAFM32，MND180NMDNDM90MDN，MNMD.3. 证明：方程即 ，方程鉴别式.不妨设，由题设可知，整系数方程至少有一种正整数解，应为完全平方数.注意到，若，即，则，从而有，故只也许，即，整顿得，这与m，n均为正整数矛盾.因而，从而可得，.又，有，整顿即得.第二试（B）1. 解：，.设，则，当时获得等号.，.因而，当，时，获得最小值.ABCDFQMPEN2. 证明：（1）在BE上取一点P，使得BAPDAC，则BAPCAD，APAD.又AEPD，ADEAPE，PAEDAE，PAEBAPDAC，BAD3DAC.（2）设DAC，则BAC2，BAD3.ACBD，NDM90.MNMD，MNDMDN90，NMD180MNDNDM2，AMF2，AFMBADAMF32.FN平分BFD，BFD2AFM2.在FB上截取FQFD，连接QD，则FQD90.又ABAC，BAC2，ABC90，FQDABC，QDBC，QDBDBC.又DBCDAC，QDBDAC.又DBAC，QBDDCA，QBDDCA，BQCD，BFBQFQCDDF.3. 解：设方程两个根为x1，x2，且x1为正整数，则，.由知， x2也是整数.由k为正整数及可知，x2是正整数.注意到，或.若，则由知：或.当时，此时，k无整数解；当时，此时，解得k1.若，同样可得k1.满足条件正整数k1.