2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案6.doc

“卡西欧杯”初中数学竞赛试题及参照答案
一、 选用题（共5小题，每题6分，满分30分。）
1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC交点为F，则△CEF面积为（　　）
A、2　　　　B、4　　　C、6　　　D、8
A
A
A
B
B
B
C
C
C
E
E
D
D
D
F

答：A
解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，因此△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，因此，S△CEF＝2
2、若M＝（x，y是实数），则M值一定是（　　　）
A、正数　　　B、负数　　　C、零　　　D、整数
A1
B
C
D
A
B1
C1
I
解：由于M＝＝≥0
且，，这三个数不能同步为0，因此M≥0
3、已知点I是锐角三角形ABC内心，A1，B1，C1分别是
点I有关边BC，CA，AB对称点。若点B在△A1B1C1外接
圆上，则∠ABC等于（　　　）
A、30°　　　B、45°　　　C、60°　　　D、90°
答：C
解：由于IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC内切圆半径），因此
点I同步是△A1B1C1外接圆圆心，设IA1与BC交点为D，则IB＝IA1＝2ID，
因此∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°
4、设A＝，则与A最靠近正整数为（　　　）
A、18　　　B、20　　　C、24　　　D、25
答：D
解：对于正整数m
n≥3，有，因此A＝
＝
由于＜＜，因此与A最靠近正整数为25。
5、设a、b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜＜0.91，则等于（　　）
A、171　　　B、177　　　C、180　　　D、182
答：B
解：由题设得0.9b＋b＜59，0.91b＋b＞56，因此29＜b＜32。因而b＝30，31。
当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜28，这样正整数a不存在。
当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，因此a＝28。
因此＝177
二、 填空题：（共5小题，每题6分，满分30分。）
6、在一种圆形时钟表面，OA体现秒针，OB体现分针，（O为两针旋转中心），若目前时间恰好是12点整，则通过　　　　秒钟后，△OAB面积第一次到达最大。
答：
解：设OA边上高为h，则h≤OB，因此S△OAB＝≤
当OA⊥OB时，等号成立。此时△OAB面积最大。
设通过t秒时，OA与OB第一次垂直。又由于秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t＝
7、在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点距离分别为OA、OB，且满足，则m值等于　　　　　　
答：2
解：设方程两根分别为且＜，则有
＜0，＜0
因此有＜0，＞0，由，可知OA＞OB，又m＞0，因此，抛物线对称轴在y轴左侧，于是，OB＝，因此由得m＝2
8、有两副扑克牌，每副牌排列次序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色牌又按A、2、3、…J、Q、K次序排列。某人把按上述排列两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最终只剩余一张牌，则所剩这张牌是　　　　　
答：第二副牌中方块6
解：根据题意，假如扑克牌张数为2，，，…，那么根据上述操作措施，只剩余一张牌就是这些牌最终一张。例如，手中只有64张牌，根据上述操作措施，最终只剩余第64张牌。
目前，手中有108张牌，多出108－64＝44（张），假如根据上述操作措施，先丢掉44张牌，那么此时手中恰好有64张牌，而本来次序第88张牌恰好放在手中牌最底层。这样，再继续进行丢、留操作，最终剩余就是本来次序第88张牌。按照两副扑克牌花色排列次序，88－54－2－26＝6，所剩余最终一张牌是第二副牌中方块6。
9、已知D、E分别是△ABC边BC、CA上点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR面积与△ABC面积之比为　　　　　　　。
A
B
C
D
F
E
P
Q
R
答：
解：过点E作EF∥AD，且交边BC于点F，
则因此FD＝CD＝，
又由于PQ∥CA，因此，
于是PQ＝
由△QPR∽△ACB，故
10、已知,,…，都是正整数，且，若最大值为A，最小值为B，则A＋B值等于　　　　　　　。
答：494
解：由于把58写成40个正整数和写法只有有限种，故最小值和最大值是存在。
不妨设≤≤…≤，若＞1，则＋＝，且
＞
因此当＞1时，可以把逐渐调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，，…逐渐调整到1，这时将增大。于是，当，，…均为1，＝19时，获得最大值，即
39个
A＝。

若存在两个数，，使得－≥2 ( 1≤i＜j≤ 40，则
＜
这阐明在,,…，中，假如有两个数差不不不小于1，则把较小数加1，较大数减1，这时，将减小。
因此，当取到最小时，,,…，中任意两个数差都不不不不小于1。于是，当，时，获得最小值，即
18个
22个
B＝＝94，故A＋B＝494

三、 解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11、某校举行春季运动会时，由若干个同学构成一种8列长方形队列。假如原队列中增长120人，就能构成一种正方形队列；假如原队列中减少120人，也能构成一种正方形队列。问原长方形队列有同学多少人？
①

②
解：设原长方形队列有同学8x人，由已知条件知8x＋120和8x－120均为守全平方数。于是可设
其中m、n均为正整数，且m＞n。
① －②得即
由①、②可知，、都是8倍数，因此m、n均能被4整除。于是m＋n，m－n均能被4整除。因此或　　　解得：或
因此，或 。
故原长方形队列有同学136人或904人。
12、已知p，q都是质数，且使得有关x二次方程

至少有一种正整数根，求所有质数对（p，q）。
解：由方程两根和为8p－10q可知，若方程有一种根为整数，则另一种根也是整数。由方程两根积为5pq，知方程另一种根也是正整数。
设方程两个正整数根分别为，（≤），由根与系数关系得
＋＝8p－10q　　　①
＝5pq　　　　　　②
由②得，，有如下几种也许状况：

因此＋＝5pq＋1，pq+5，p＋5q，q＋5p，代入①
当＋＝5pq＋1时，5pq＋1＝8p－10q，而5pq＋1＞10p＞8p－10q，故此时无解。
当＋＝pq＋5时，pq＋5＝8p－10q，因此（p＋10）（q－8）＝－85
由于p、q都是质数，只也许　　因此（p，q）＝（7，3）
当＋＝p＋5q时，p＋5q＝8p－10q，因此7p＝15q，不也许。
当＋＝5p＋q时，5p＋q＝8p－10q，因此3p＝11q，于是（p，q）＝（11，3）
综上所述，满足条件质数对（p，q）＝（7，3）或（11,3）
13、如图，分别以△ABC（△ABC为锐角三角形）边AB，BC，CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB，EBC，FAC。求证：（1）AE＝DF；（2）AE⊥DF。
证明：（1）延长BD至点P，使DP＝BD，连结AP、CP。
A
B
C
F
P
D
E
　　由于△DAB是等腰直角三角形，
因此∠ADB＝90°，AD＝BD，
在等腰直角三角形EBC中，
∠BEC＝90，BE＝CE，
因此
由于∠PBC＝∠PBA＋∠ABC＝45°＋∠ABC，
∠ABE＝∠CBE＋∠ABC＝45°＋∠ABC
因此∠PBC＝∠ABE。于是△ABE∽△PBC，
即AE＝PC。
同理，在△ADF和△APC中，有,∠DAF=∠PAC=45°+∠DAC
因此△ADF∽△APC
即DF＝PC。　　因此，AE＝DF。
（2）由于△ADF∽△APC，因此∠ADF＝∠APC，又由△ABE∽△PBC，得∠BAE＝∠CPB，于是∠DAE＋∠ADF＝45°＋∠BAE＋∠ADF＝45°＋∠CPB＋∠APC＝90°
因此，AE⊥DF。

14、从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来数中任意三个数a，b，c（a＜b＜c），均有ab≠c。
解：首先，1，14，15，…，205这193个数，满足条件。
实际上，设a，b，c（a＜b＜c）这三个数取自1，14，15，…，205。若a＝1，则ab＝b＜c；若a＞1，则ab≥14×15＝210＞c
另首先，考虑如下12个数组：
（2，25，2×25），（3，24，3×24），（13，14，13×14）
上述这36个数互不相等，且其中最小数为2，最大数为13×14＝182＜205
因此，每一种数组中三个数不能所有都取出来。于是，假如取出来数满足题设条件，那么取出来数个数不超过205－12＝193（个）
综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件。 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈
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