2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案.doc

初中数学竞赛试题解答
一、选用题（只有一种结论对旳）
1、设平均数为M，平均数为N，N，平均数为P，若，则M与P大小关系是（ ）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点距离S与时间t关系示意图是（ ）。

答：（C）。由于图（A）中没有反应休息所消耗时间；图（B）虽表明折返后S变化，但没有体现消耗时间；图（D）中没有反应沿原始返回一段旅程，唯图（C）对旳地表述了题意。
3、甲是乙目前年龄时，乙10岁；乙是甲目前年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一种一次函数图象与直线平行，与轴、轴交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（波及端点A、B），横、纵坐标都是整数点有（ ）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。在直线AB上，横、纵坐标都是整数点坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC三边长，且，则它内角∠A、∠B关系是（ ）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

答：（B）。由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC三边长分别为，面积为S，△A1B1C1三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1大小关系一定是（ ）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因而，S与S1大小关系不确定。
二、填空题
7、已知：，那么＝________。
答：1。∵，即。∴
。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD面积等于________。

答：66＋6（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，由于AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。
9、已知有关方程根都是整数，那么符合条件整数有________个。
答：5。①当时，；②当时，易知是方程一种整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米A、C处，向两侧地面上E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC交点P离地面高度为________米。

答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。即点P离地面高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC顶点B坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC提成面积相等两某些，那么＝________。
答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC提成面积相等两某些。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价减少了6.4％，使得利润率增长了8个百分点，那么经销这种商品本来利润率是________。
（注：×100％）
答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售利润率为×100％，原进价减少6.4％后，在销售时利润率为×100％，依题意得：
×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品本来利润率为×100％＝17％。
三、解答题
13、设是不不不小于实数，使得有关方程有两个不相等实数根。
（1）若，求值。
（2）求最大值。
解：由于方程有两个不相等实数根，因此
，∴。根据题设，有。
（1）由于
，即。
由于，故。
（2）

。
设上是递减，因此当时，取最大值10。故最大值为10。

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O半径为2，对角线AC与BD交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝。
∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴，∵E是AC中点，∴，
，∴，∴。
15、一幢33层大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，并且只能在第2层至第33层中某一层停一次。对于每个人来说，她往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。目前有32个人在第一层，并且她们分别住在第2至第33层每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意总分到达最小？最小值是多少？（有人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）
解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼人，她所住层数一定不不不小于直接走楼梯上楼人所住层数。实际上，设住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，。互换两人上楼方式，别旳人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：
设电梯停在第层。
①当时，若住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；互换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
②当时，若住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；互换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
③当时，若住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；互换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
④当时，若住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；互换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
⑤当时，若住第层人乘电梯，而住第层人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；互换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当＝27，＝6时，＝316。
因此，当电梯停在第27层时，这32个人不满意总分到达最小，最小值为316分。
袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈
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