高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题.doc

高二数学选修4-4《极坐标与参数方程》测试题
（时间：120分钟，总分：150分）
姓名： 学号:
一．选择题（每小题5分，共50分）
1.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）。
A. B. C. D.
2.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A. B. C. D.
3.直线的参数方程是（ ）。
A. B. C. D.
4.方程表示的曲线是（ ）。
A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分
5.参数方程（为参数）化为普通方程是（ ）。
A. B. C. D.
6.设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A.(，) B. (，) C. (3，) D. (-3，)
7.直线l：与曲线C：相交，则k的取值范围是（ ）。
A. B. C. D. 但
8.在极坐标系中，曲线关于（ ）。
A.直线对称 B.直线对称 C.点(2，)中心对称 D.极点中心对称
9.若圆的方程为，直线的方程为，则直线与圆的位置关系是（ ）。
A.过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离

0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
10.参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）。

A B C D
二．填空题（每小题5分，共20分）
11.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是 。
12.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|= 。
13.设直线参数方程为（为参数），则它的斜截式方程为 。
14.曲线C：（为参数）的普通方程为 ；如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围为 。
三．解答题（共80分）
15. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（12分）
⑴（为参数）； ⑵（为参数）

16. 已知三点A（5，），B（-8，），C（3，），求证ΔABC为正三角形。（12分）

17. 已知x、y满足，求的最值。（14分）

18. 如图，连结原点O和抛物线上的动点M，延长OM到点P，使|OM|=|MP|，求P点的轨迹方程，并说明曲线类型。（14分）
0
x
y
M
P

19. 如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。
0
x
y
A
M
B
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
⑵求弦AB中点M的轨迹方程。（14分）

20. 在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（14分）
（注：，）

极坐标与参数方程测试题答案
一．选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
D
A
A
B
B
D
二．填空题（每小题5分，共20分）
11．；12．； 13．；14．； 。
三．解答题（共80分）
15．（12分）解：⑴．∵ ∴两边平方相加，得 即 ∴曲线是长轴在x轴，中心在原点的椭圆。
⑵．∵∴由代入，得 ∴ ∴它表示一条直线。
0
C
B
A
x
16．（12分）证法一：如图，由题意，得 |OA|=5 |OB|=8 |OC|=3

∴在ΔAOB中，由余弦定于理得
同理，得

即 |AB|=|BC|=|AC| ∴ΔABC为正三角形。
证法二：把A、B、C的极坐标转化成直角坐标，利用两点间的距离公式也可。
17．（14分）解：由可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。令 ，则

其中∴当时，S有最大值，为
当时，S有最小值，为
∴S最大值为；S最小值为。
0
x
y
M
P
18．（14分）解法一：∵抛物线标准方程为
∴它的参数方程为 得 M(，)
设P（x，y），则M是OP的中点∴ 即 （t为参数）消去参数t，得
∴所求P点的轨迹方程为；它是以y轴为对称轴，焦点为（0，）的抛物线。
解法二：设P（x，y），M（x0，y0），则由中点坐标公式，得
∵M点在抛物线上∴M（，）适合方程 即 即 。
0
x
y
A
M
B
19．（14分）解：⑴．∵OA的方程为
∴联立方程 解得
以代上式中的，解方程组
解得 ∴A（，），B（，）。
⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得
消去参数k，得 ；即为M点轨迹的普通方程。
B1
y
x
0 A
B2
20．（14分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（，），即（，），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。
所以令，即
整理得解得，
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。