2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(广东卷)理科与答案(3).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合,则( )A . B C D2定义域为的四个函数,中,奇函数的个数是( )A . B C D3若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )A . B C D4已知离散型随机变量的分布列为正视图俯视图侧视图第5题图 则的数学期望 ( )A . B C D5某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . B C D6设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若,则 B若,则C若,则 D若,则7已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 A . B C D8设整数,集合.令集合 若和都在中,则下列选项正确的是( )A . , B,C, D, 是否输入输出 结束开始第11题图n二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(913题)9不等式的解集为_10若曲线在点处的切线平行于轴,则_.11执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为_.12. 在等差数列中,已知,则_.13. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定_条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）.AEDCBO第15题图14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_.15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数,.() 求的值； () 若,求 第17题图17（本小题满分12分）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.() 根据茎叶图计算样本均值；() 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；() 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.18（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,.COBDEACDOBE图1图2为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.19（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知,.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有.20（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.() 求抛物线的方程；() 当点为直线上的定点时,求直线的方程；() 当点在直线上移动时,求的最小值.21（本小题满分14分）设函数(其中). () 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）解析与答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA B D BB1 设集合Mx|x22x0，x，Nx|x22x0，x，则MN()A0 B0，2C2，0 D2，0，21【答案】D解析 M2，0，N0，2，MN2，0，2，故选D.2 定义域为的四个函数yx3，y2x，yx21，y2 sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D12【答案】C解析 函数yx3，y2sin x是奇函数3 若复数iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2，4) B(2，4)C(4，2) D(4，2)3【答案】C解析 设复数zabi，a，b，则izi(abi)bai24i，解得b2，a4.故在复平面内，z对应的点的坐标是(4，2)，选C.4 已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A. B2C. D34【答案】A解析 E(X)123，选A.5 某四棱台的三视图如图11所示，则该四棱台的体积是()图11A4 B.C. D65【答案】B解析 棱台的上底、下底分别是边长为1和2的正方形，高为2，故V台(S上S下)h，故选B.6、 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则6【答案】D解析 m，mn，n，又n，故选D.7 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.17【答案】B解析 设双曲线方程为1，由题知：c3，e，解得a2，b2c2a2945，故C的方程是1.8 设整数n4，集合X1，2，3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A(y，z，w)S，(x，y，w)SB(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)SD(y，z，w)S，(x，y，w)S8【答案】B解析 方法一，特殊值法：不妨令x2，y3，z4，w1，则(y，z，w)(3，4，1)S，(x，y，w)(2，3，1)S，故选B.方法二，直接法：因为(x，y，z)S，(z，w，x)S，所以xyz，yzx，zxy三个式子中恰有一个成立，zwx，wxz，xzw三个式子中恰有一个成立配对后只有四种情况：第一种：成立，此时wxyz，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第二种：成立，此时xyzw，于是(y，z，w)S，(x，y，z)S；第三种：成立，此时yzwx，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S；第四种：成立，此时zwxy，于是(y，z，w)S，(x，y，w)S.综合上述四种情况，可得(y，z，w)S，(x，y，w)S.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9 不等式x2x20的解集为_9【答案】x|2x1解析 x2x2(x2)(x1)0，解得2x1.故不等式的解集是x|2x4，故输出s7.12 在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_12【答案】20解析 方法一：a3a82a19d10，而3a5a73(a14d)a16d2(2a19d)20.方法二：3a5a72a5(a5a7)2a52a62(a5a6)2(a3a8)20.13 给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0，(x0，y0)是zxy在D上取值最大值或最小值的点则T中的点共确定_条不同的直线13【答案】6解析 由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数zxy在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线14 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l的极坐标方程为_14【答案】sin解析 曲线C的参数方程化为普通方程是x2y22，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C切线的方程是：xy2，其极坐标方程是(cos sin )2，即sin.15 (几何证明选讲选做题)如图13所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_图1315【答案】2 解析 由题知ACB90，又BCCD，ADAB6，BACCAE，AEADED4.CE为切线，ACEABC.ACECAEABCBAC90.在ACD中，ACD90，CEAD，CD2EDDA12，解得CD2 ，故BC2 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）【解析】()；() 因为,所以,所以,所以.17（本小题满分12分）【解析】() 样本均值为； () 由()知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.CDOBEH() 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.18（本小题满分14分）【解析】() 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.19（本小题满分14分）【解析】() 依题意,又,所以； () 当时, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以. () 当时,；当时,； 当时,此时 综上,对一切正整数,有.20（本小题满分14分）【解析】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为. () 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.() 由抛物线定义可知,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时, 取得最小值,且最小值为.21（本小题满分14分）【解析】() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (),令,得,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.11