2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(浙江卷)理科与答案(17).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）精析与答案
一．选择题
1． 已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　)
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
1【答案】．B　[解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择B.
2． 设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁S)∪T＝(　　)
A．(－2，1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2【答案】．C　[解析] ∁S＝{x|x≤－2}，T＝{x|(x＋4)(x－1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁S)∪T＝(－∞，1]．故选择C.
3．， 已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
3【答案】．D　[解析] ∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择D.
4． 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，φ∈)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4【答案】．B　[解析] f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数的充要条件是f(0)＝0，即cos φ＝0，φ＝kπ＋，k∈，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选择B.

5． 某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是，则(　　)

图1－1
A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7
5【答案】．A　[解析] S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－＝2－＝，故k＝4，k＝k＋1＝5，满足k>a时，即5>a时，输出S，所以a＝4，选择A.
6． 已知α∈，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
6【答案】．C　[解析] 由(sin α＋2cos α)2＝2'得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝，4sin αcos α＋1＋3cos2α＝，2sin 2α＋1＋3×＝，故2sin 2α＝－，所以tan 2α＝－，选择C.
7． 设△ABC，P0是边AB 上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(　　)
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC

7【答案】．D　[解析] 建立以AB的中点O为原点的坐标系，如图所示，·＝(c－x，0)·(a－x，b)＝x2－(a＋c)x＋ac，当x＝时，·最小，而已知·最小，所以＝，此时a＝0，所以AC＝BC，选择D.
8． 已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
8【答案】．C　[解析] 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝xex－1，则在x＝1处取不到极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝ex(x－1)2＋(ex－1)×2(x－1)＝(x－1)(xex＋ex－2)，f′(1)＝0，f′(2)>0，f′<0，所以在x＝1处取得极小值．

图1－2
9．， 如图1－2，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
9【答案】．D　[解析] 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2 ，a＝，则双曲线的离心率e＝＝＝，选择D.
10． 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则(　　)
A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°

10【答案】．A　[解析] 当α⊥β，且α∩β＝b，设fα(P)＝A，则PA⊥α，Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(A)，故AQ1⊥β；同理设fβ(P)＝B，则PB⊥β，Q2＝fα[fβ(P)]＝fα(B)，故BQ2⊥α，故AQ1∥PB，PA∥BQ2，所以Q1和Q2重合，恒有PQ1＝PQ2，选择A.

二、填空题
11． 设二项式－5的展开式中常数项为A，则A＝________．
11【答案】．－10　[解析] Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，则＝0，r＝3，故常数项A＝T4＝(－1)3C＝－10.
12． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则此几何体的体积等于________cm3.

图1－3

12【答案】．24　[解析] 此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三棱锥而得，如图所示，则体积为×3×4×5－××3×4×3＝24.
13． 设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．
13【答案】．2　[解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.

14． 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
14【答案】．480　[解析] 先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有4CA＝480种．
15． 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
15【答案】．±1　[解析] 设直线l：my＝x＋1，代入y2＝4x得y2－4my＋4＝0，则yA＋yB＝4m，因为Q为线段AB的中点，则yQ＝＝2m，xQ＝myQ－1＝2m2－1，故Q(2m2－1，2m)，又|FQ|2＝4，(2m2－2)2＋(2m)2＝4⇒m4－m2＝0，所以m＝±1.
16． 在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________．

16【答案】.　[解析] 设△ABC的三边长为a，b，c，tan∠BAM＝.
而tan∠BAM＝tan(∠BAC－∠CAM)＝＝＝＝，
则＝1＋⇒－2＋2＝0⇒－2＝0，故＝⇒sin ∠BAC＝＝＝＝.
17． 设1，2为单位向量，非零向量＝x1＋y2，x，y∈若1，2的夹角为，则的最大值等于________．
17【答案】．2　[解析] ＝＝＝＝＝≤＝2.

三、 解答题
18． 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

18【答案】．解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0.
所以d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈*或an＝4n＋6，n∈*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝－n2＋n.
当n≥12时， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
19． 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
19【答案】．解：(1)由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
所以ξ的分布列为

ξ
2
3
4
5
6
P

(2)由题意知η的分布列为

η
1
2
3
P

所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·＝，
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.

图1－4
20．， 如图1－4所示，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
(1)证明：PQ∥平面BCD.
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．

20【答案】．解：方法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC.联结OP，OF，FQ.
因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝AD.
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP＝DM.
又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝AD.
从而OP∥FQ，且OP＝FQ，
所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.
又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，联结CH.
因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG.
又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.
又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，所以CH⊥BM.
所以∠CHG为二面角C－BM－D的平面角，即∠CHG＝60°.
设∠BDC＝θ，在Rt△BCD中，
CD＝BDcos θ＝2 cos θ，
CG＝CDsin θ＝2 cos θsin θ，
BG＝BCsin θ＝2 sin2θ，
在Rt△BDM中，HG＝＝.
在Rt△CHG中，tan∠CHG＝＝＝.
所以tan θ＝，从而θ＝60°，
即∠BDC＝60°.

方法二：
(1)证明：如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知A(0，，2)，
B(0，－，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0，0)，因为＝3，所以Qx0，＋y0，.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．又P为BM的中点，故P0，0，.所以＝x0，＋y0，0.
又平面BCD的一个法向量为＝(0，0，1)，故·＝0.
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)设＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．
由＝(－x0，－y0，1)，＝(0，2 ，1)，
知
取y＝－1，得＝，－1，2 .
又平面BDM的一个法向量为＝(1，0，0)，于是
|cos〈，〉|＝＝＝，
即2＝3.①
又BC⊥CD，所以·＝0，
故(－x0，－－y0，0)·(－x0，－y0，0)＝0，
即x＋y＝2.②
联立①②，解得(舍去)或
所以tan∠BDC＝＝.
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.

图1－5
21．， 如图1－5所示，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程．
21【答案】．解：(1)由题意得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2 ＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0.
故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
22． 已知a∈，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值．
22【答案】．解：(1)由题意 f′(x)＝3x2－6x＋3a，故 f′(1)＝3a－3.
又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.
(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故
①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故
|f(x)|max＝max {|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故
|f(x)|max＝max {|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.
③当0<a<1时，设x1＝1－，x2＝1＋，则
0<x1<x2<2，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．
列表如下：

x
0
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，2)
2
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
3－3a
单调
递增
极大值
f(x1)
单调
递减
极小值
f(x2)
单调
递增
3a－1

由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)，
故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)>0.
从而f(x1)>|f(x2)|.
所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}．
(Ⅰ)当0<a<时，f(0)>|f(2)|.
又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝>0，
故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
(Ⅱ)当≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．
又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝.
所以(i)当≤a<时，f(x1)>|f(2)|.
故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a).
(ii)当≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|.
故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.
综上所述，
|f(x)|max＝

自选模块
1． (1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.
(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．
1【答案】．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；
当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈∅；
当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.
综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．
(2)因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，
当且仅当1≤x≤4时取等号；
x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．
故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．
所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1.
2．， 已知a∈“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．
2【答案】．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.
又在直角坐标系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
又(0，0)满足原极坐标方程．
故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.
设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数)．
及点A，B对应的参数分别为t1，t2.
将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得
(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.
即(1＋sin2α)t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.
则Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，
由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.
故sin2 α＝.又由Δ>0得0<tan α<2.
故t1＋t2＝，t1t2＝.
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.

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