2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(贵州卷)理科与答案(33).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案2013年普通高等学校招生全国统一考试(贵州卷)数学(理科) 试题答案及解析注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题： (1)已知集合，0，1，2，3，则（A）0，1，2 （B）-1，0，1，2（C）-1，0，2，3 （D）0，1，2，3答案：A解析该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由所以由交集的定义可知（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i（C）1+i（D）1-i答案：A解析本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得（3）等比数列an的前n项和为，已知，则 （）（A） （B） （C） （D）答案：C解析本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中得出，从而就有，又由4、已知为异面直线，平面，平面。直线满足，则（ ）（A）且 （B）且（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于答案：D解析本题主要考查空间线面关系的判定，若，由题中条件可知，与题中为异面直线矛盾，故A错；若则有，与题设条件矛盾，故B错；由于，则都垂直于的交线，而是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面，则的交线垂直于平面，同理也有，故平行于的交线，D正确C错。（5）已知的展开式中的系数为5，则=（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1答案：D解析本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为的展开式中的通项可表示为，从而有中的系数分别为，所以原式中系数为.（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）（A） （B）（C） （D） 答案：B解析该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，的计算结果是，是求和的算法语句，结合以上两点，当时，时结束循环，所以应该选B。（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为答案：A解析该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下：从右到左投影到xoz平面的正投影为A。（8）设，则（A）cba （B）bca （C）acb (D)abc答案：D解析本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知，又因为，所以有。（9）已知a0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a= (A) (B) (C)1(D)2答案：B解析本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数，由于直线过定点且，所以可行域如图所示。当直线2x+y=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有，（10）已知函数，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间（-,）单调递减（D）若是的极值点，则=0答案：C解析本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：当x趋于负无穷大时，函数值为负，当x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在R是连续的，所以就有，A的说法正确；函数可以由函数经过平移得到，而关于原点对称，故是关于中心对称的图形，B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若是的极小值点，则在区间（-,）不单调，故C说法错，选C。（11）设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或答案：C解析本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M（x,y）,圆心B（a,b）如图，从而可以得到B的横坐标,所以可以设圆B的方程为，将点（0，2）代入得，从而可以得到点M的坐标为，代入，故答案选C（注：由于图片不清楚，有人写出该题的题设应该是，无论是哪种不会影响方法的正确性）（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1） (B)， ( C)， (D), 答案：B解析设直线y=ax+b与直线BC：x+y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交点为E,由题意可知，要平均分割三角形，则b0，所以E点只能处于x轴负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得DEB的面积为，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，yD=，所以有整理得。当E与A点重合时，直线y=ax+b想平分ABC的面积，必须过B、C的中点，如下图此时可确定直线y=ax+b的方程为，此时。 当E点处于A点左侧时，如图此时若直线y=ax+b想平分ABC的面积，则，且三角形CDF面积为，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，联立直线y=ax+b与线BC：x+y=1得，所以有 ，解得 综上所述，故答案选B二、填空题（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.答案：2解析如图建立平面直角坐标系从而有，所以（14）从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=_.答案：8解析本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为，选出来的正整数要求和为5，则只能是1+45和2+35两种情况，所以有。（15）设为第二象限角，若tan=，则sin+cos=_.答案：解析本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由得，又因为为第二象限角，利用可求得所以有（16）等差数列的前n项和为Sn ，已知，则的最小值为_.答案：解析本题考查等差数列与导数的综合问题，由，联立后就可以解得，则令，求导后可得，因为，故当时单调递减，当时，单调递增，所以当时取得最小值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，故最小值为三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。（）求B；（）若b=2，求ABC面积的最大值。解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：(1)因为 a=bcosC+csinB 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB因为sinC0,所以有 cosB=sinB从而有 B=45 (2)由余弦定理可知： 所以有 ，当且仅当取等号 故面ABC面积的最大值为。如图，直三棱柱中，分别是，的中点，。（）证明：平面；（）求二面角的正弦值。证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1又因为D为AB的中点，所以有 FD/BC1 FD面A1CD BC1面A1CD所以 BC1/平面A1CD二、 因为AC=CB=/2AB，从而有 AC2+CB2=AB2所以 ACCB如图建立空间直角坐标系，设AC1则各点坐标为C（0，0，0）A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0）E（0，1，1/2）则设平面A1CD和平面A1CE的法向量分别为则 解得：，则二面角D-A1C-E的正弦值为。（19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（）将表示为的函数；（）根据直方图估计利润不少于元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望。解析：（1）当时， 当时， 所以T与X的函数关系式为（2）当时，即时，概率P=0.7（3）X可能的取值为：X105115125135145P0.10.20.30.250.15T4500053000610006500065000所以(元)(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于,两点，为的中点，且的斜率为.(I)求的方程；(II),为上的两点，若四边形对角线，求四边形面积的最大值.解析：（1）设将A、B代入得到 ，则（1）-（2）得到，由直线AB：的斜率k=-1所以，OP的斜率为，所以由得到所以M得标准方程为（1） 若四边形的对角线，由面积公式可知，当CD最长时四边形面积最大，由直线AB：的斜率k=-1，设CD直线方程为，与椭圆方程联立得： ， 则，当m=0时CD最大值为4，联立直线AB：与椭圆方程得同理利用弦长公式。（21）（本小题满分12分）已知函数。（）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（）当时，证明。解：（） X=0是极值点 即： （x-1）当X=0处取的极小值恒成立，即当m2时，恒成立。 令：即g（m）0在上恒成立易知，g（m）单调递减 即 g（2）0即：恒成立令 易知 单调递增，设其零点为x0，且x02且即 恒成立请考生在第22、23、24题中任选择一题做答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且,、四点共圆(I)证明：是外接圆的直径；(II)若,求过、四点的圆的面积与外接圆面积的比值. 【答案】 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知动点，都在曲线：为参数上，对应参数分别为 与，为的中点.(I)求的轨迹的参数方程；(II)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.【答案】 (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设，均为正数，且，证明：(I)；(II).【答案】 16