高中数学知识点总结.pdf

高中新课标理科数学（必修+选修）所有知识点总结第1页共H7页引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、塞函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上 做过高的要求。止匕外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修43：数列与差分。选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。选修47：优选法与试验设计初步。选修48：统筹法与图论初步。选修49：风险与决策。选修410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线局考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用第2页共H7页三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等 式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲 线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间 向排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算第3页共H7页高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念n.n集合1.1.U集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表+示实数集.(3)集合与元素间的关系对象与集合”的关系是，或者任，两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合描述法：x|x具有的性质,其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(0).1.1.2)集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质不意图子集AB(或BoA)A中的任一元素都 属于BA=A0之A(3)若A=B且B=则A=C(4)若A=B且B=则A=B 或真子集Aubw(或 BnA)w且B中至 少有一元素不属于 A(D 0uA(A为非空子集)(2)若Au5且5uC,则AuC集合相等A=BA中的任一元素都 属于B,B中的任一 元素都属于AAGB(2)B=A(7)已知集合A有几5 21)个元素，则它有2个子集，它有2-1个真子集，它有2-1个非空子集，它有助-2非空真子集.1.1.31集合的基本运算(8)交集、并集、补集第4页共H7页【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法名称记号意义性质小意图交集xlx A,且xB(1)A”=A(2)Ap|0=0(3)ABA并集WxIxe A,或xB(1)AjA=A(2)Aj0=A(3)A jBo A补集8 A uxxe且x 电 A、i An”=0疮(Ane)=(A)U(?B)uu u u野(胪)2au(6”(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集1 xl 0)x-ax Q(Q 0)x x aax+b c(c 0)把ox+b看成一个整体，化成lxl 4(Q 0)型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式A=b2-4acA0A=0A 0)的图象1/Ji/V 壬00一元二次方程ax2+bx+c=0(。0)的根_ 一b 曲2-4ac1,2 2a(其中x 0(。0)邯解集x X X 1 2r.bx -laR第5页共H7页n.22函数及其表示1.2.1函数的概念ax2-bx-c 0)的解集xx xx 1 200（1）函数的概念设A、5是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个数X,在集合5中都有唯一确定的数/（%）和它对应，那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的对应法则/）叫做集合A到5的一个函数，记作f函数的三要素:定义域、值域和对应法则.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.（2）区间的概念及表示法设。涉是两个实数，且 6，满足。%b的实数x的集合叫做闭区间，记做凡加；满足犬的实数X的集合叫做开区间，记做/）；满足九 Q X a 4的卖数元的集合分别记做&+8）,（。,+00）,（00,团,（00,3.注意：对于集合xlaxA与区间涉），前者可以大于或等于匕，而后者必须 ab,（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数.是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数./（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等 于1.71 y=tan x 中，x w Jot+Z）.零（负）指数哥的底数不能为零.若/（）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知了。）的定义域为。,切，其复合函第6页共H7页数fg(x)的定义域应由不等式Q 0,从而确定函数的值域或最值.不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表 示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A,5以及A到5的对应法则/)叫做集合A到B的映射，记作f给定一个集合A到集合B的映射，且isA/sB.如果元素和元素匕对应，那么我们把元素万叫做元素的象，元素叫做元素的原象.第7页共H7页n.32函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法定义 图象 判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值x、x,当x 1 2 1 X 时，都有 f(x)f(x),2 1.2 那么就说f(x)在这个区 间上是那两飘如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值x、x,当xf(x),2 1.2那么就说f(x)在这个区 间上是诚两孰(1)利用定义(2)利用已知函数 的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增)(4)利用复合函数(1)利用定义(2)利用已知函数 的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.对于复合函数y=/g(x),令辽二g(%),若=/()为增，M=g(x)为增，则y=fl g(x)为增；若 y=fW 为减，u=g(x)为减，则 y=fg(x)为增；若 y=于(u)为增,=g(x)为减,则y=/g(x)为减；若y=为减，=g(x)为增,则y=为减.(2)打“函数/(%)=%+3(。0)的图象与性质 x/分别在(-*一击、+8)上为增函数，分别在-&,0)、(0,而上为减函数.(3)最大(小)值定义一般地，设函数y=/M的定义域为/，如果存在实数加满足：(1)对于任意的工/,都有/(、)。，左移九个单位 y=f(%+份力 y=/(3%)31缩)=/。勺峨=Al,伸对称变换y=/(x)”轴 y=-f(x)y=/=)融-y=/(x)y=/(x)原点 y=-f(-x)y=/(x)直线产%=f-i(x)=f(x)_去掉y轴左动图象_ 丫=f(x 保留y轴右边图象，并作其关入轴对称图象 JV=f(x)-保留%轴卜方图象 y=(%)I)八 将%轴下方图象翻折上去,7(2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I)K2.12指数函数2.1.1指数与指数嘉的运算(1)根式的概念如果%二,尺,4尺,1,且孔eN,那么叫做。的次方根.当是奇+数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号4G表示，负的次方根用符号-疝表示；。的次方根是0;负数没有次方根.式子 虑叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.当为奇数时，。为任意实数；当为偶数时，”20.根式的性质：(=；当为奇数时，猴二；当为偶数时，第10页共H7页Jan=1 a I=va(a 0)-a(a 0,机,N，且1).0的正分+数指数塞等于0.m 1m 正数的负分数指数塞的意义是：。一=()八=Ji(a0,m,N，且儿1).0的负分数指数塞没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数幕的运算性质.qs=ar+s(a 0,厂,s 7?)(q)=刖(0,r,s e R)(ab=arbra 0,b 0,r g 7?)(4)指数函数2.1.2指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数y=。且。1)叫做指数函数图象al 1 0a1(x 0)(2x 1(x 0)ax 1(x 0)ax 0)Qx 1(X 0)ax 1(x 0,且 W1),则x叫做以为底N的对数，记作x=log N,其中叫 a做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：x=log N o 3=N(aa,aw,N 0).a(2)几个重要的对数恒等式log 1=0,log =1,log ab=b.a a a(3)常用对数与自然对数常用对数：IgN,即log N；自然对数：InN,即log N(其中e=2.71828).io e(4)对数的运算性质 如果Q0,a 0,N0,那么加法：log M+log N=log(MN)a a aMN数乘：nlog M=log Mn(eR)a a减法:log M-log N=loga a a“log，=NYl吗/，峪M(bSeR)换底公式leu N-log N=S0Wwl)a log a b(5)对数函数2.2.2对数函数及其性质函数 名称对数函数定义函数y=log兄(。且。1)叫做对数函数 a_a0 a 0(x 1)alog%=0(x=1)alog x 0(0 x 1)alog x 1)alog x=0(x=l)alog x 0(0 x 1)a。变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高.设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=于(x)中解出X,得式子x=(P(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(P(y),%在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x=P(y)表示是y的函数，函数x=0,则幕函数的图象过原点，并且在0,+8)上为增函数.如果a 1时，若。%1,其图象在直线y=x上方，当al时，若0V犬1,其图象在直线y=x下方.K补充知识二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：/(x)=ax2+bx+c(a w0)顶点式：/(%)=(%-力)2+左。0)两根式:/(x)=a(x x)(x x)(。0)(2)求二次函数解析式的方法 1 2已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(%)更方便.(3)二次函数图象的性质b二次函数/(x)=ax?+bx+c(a w 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=-，顶点/b 坐标是4。一/72 4b b当a 0时，抛物线开口向上，函数在(-8,-上递减，在,+8)上递增，当 2a 2ab t 2q 时 b?b?(光)=，；当。时，图象与%轴有两个交点4x-x 1=衿1 1 2 2 12121al（4）一元二次方程2+云+。=。（。0）根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所 涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程 实根的分布.设一元二次方程+Z?x+c=0（Q。0）的两实根为工,且X Vx.令1 2 1 2/（X）=QX2+/ZX+C,从以下四个方面来分析此类问题:开口方向：对称轴位置:ba判别式：端点函数值符号.x尸尸kOX1kX2 O af(k)0第16页共H7页有且仅有一个根X(或x2)满足kVX1(或x?)同时考虑f(k)=O或f(k)=O这两种情况是否也符合k2O f(k)f(k)0,并k x k p x Q，x第18页共H7页第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=/（x）（x。），把使/（无）=。成立的实数x叫 做函数）=/（x）（x D）的零点。2、函数零点的意义：函数）=/（、）的零点就是方程/。）=。实数根，亦即函数）=/（、）的图象与X轴交点的横坐标。即：方程/W=。有实数根。函数y=/（%）的图象与1轴有交点。函数y=于（x）有零点.3、函晟零点的求法：求函数）=/（x）的零点：（代数法）求方程/。）=。的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数）=/（、）的图象联系 起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数）=+for+c（a w 0）.1）A 0,方程am+以+。=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个 交点，二次函数有两个零点.2）A=0,方程以2+法+。=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3）Aa n3=L,且PL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：第21页共H7页北面直纬相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;八卸 或1平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a/b c/b=a/7c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角8 e(0,)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a C Q b 匚|3 =a/aa/b2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示:第22页共H7页仁 p仁 panb 二 Pa。bQ 一P Q2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平简记为：线面平行则线线平行。）符号表示：a/aaC 3a n P=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号表示:B ny 二 b J作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 与 歹 上一,2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面。内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面。互相垂直，记 作L，q,直线L叫做平面。的垂线，平面。叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；第23页共H7页b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角。T-0或。-AB-p3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 一 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向 上方向之间所成的角。叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时，规定。=0.2、倾斜角。的取值范围：0 W。180.当直线1与x轴垂直时，。二90。.3、直线的斜率：一条直线的倾斜角。（。W90。）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表 示，也就是k=tana当直线1与x轴平行或重合时，。=0。，k=tan0=0;第24页共H7页当直线1与X轴垂直时，。二90。，k不存在.由此可知，一条直线1的倾斜角。一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式：给定两点Pl（xl,yl）,P2（x2,y2）,xlWx2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式：k=y2-yl/x2-xl3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们 的斜率相等，那么它们平行，即1112 0口二%注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论 并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们 的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线/经过点（X，丁），且斜率为左0 0 0=k（X-X）0 02、直线的斜截式方程：已知直线/的斜率为左，且与y轴的交点为（力）y=kx+b3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点尸（尤，九）,P（x）其中（wy）1 1 2 2 2 2 1 2 1 2y-yl/y-y2=x-xl/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线/与x轴的交点为A（d）,与y轴的交点为B（/）,其中 w 0,b w 03.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=（A,b不同时为O）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式lj 112=储=-=kjk2=-13.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标LI：3x+4y-2=0 LI：2x+y+2=0解：解方程组3x+4y-2=02x+2y+2=0第25页共H7页得 x=-2,y=2所以LI与L2的交点坐标为M(-2,2)3.3.2两点间距离 两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1.点到直线距离公式：点离为：?卜厄可2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线/和/的一般式方程为/：Ax+By+C=0,1 2 1 1P(x,y)到直线 I:Ax+By+C=0 的距 o oAxy qV A 2+B 2IC-C II Ax+By+C=0,贝I与/的距离为卜=1 1 212 2 1 2 JA2+B2第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：(元一。)2+(y一。)2 二/2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点与圆(，一。)2+(丁一刀2二 2的关系的判断方法:(XJ”+(%一如 叫点在圆外(X。0)2+(%一如2,点在圆上(3)(X-)2+()点在圆内0 04.1.2圆的一般方程1、圆的一般方程：X2+丁2+Ox+y+尸=。2、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的 方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的 标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系第26页共H7页1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线/：ax+by+c=0,圆。：x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆的半径为r,圆心(-。，-3到直线的距离为a,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：2 2(1)当d厂时，直线/与圆C相离；(2)当2=厂时，直线/与圆C相切；(3)当2+r时，圆C与圆。相离；(2)当/=r+r时，圆。与圆。外切；1 2 1 2 1 2 1 2(3)当|厂1/+-时，圆C与圆。相交；1 2 1 2 1 2(4)当/=lr r I时，圆。与圆。内切；(5)当/lr-rI时，圆。与圆。内含;1 2 1 2 1 2 1 24.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(羽乂 z),x、y、在八)、z轴上的坐标z分别是P、2、有序实数组(y,z),对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(羽y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z),X叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，Z叫做点M的竖坐标。4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点,z)到点，y,z)之间的距离公式 1 1 1 1 2 2 2 2第27页共H7页PP I=J（X X）2+（y y）2+（z z）2I 1 2l V 1 2 1 2 1 2高中数学必修3知识点 第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成2.算法的特点：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当 是模棱两可.顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个 确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步 都准确无误，才能完成问题.不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法 普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文 字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能f 起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不 可少的。第28页共H7页学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法 中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下 的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一 种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B:框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。B2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之 一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个 判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理 第29页共H7页步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含 条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A 框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行 A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。当型循环结构构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变 量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步 执行的，累加一次，计数一次。1.2.1输入、输出语句和赋值语句1、输入语句（1）输入语句的一般格式INPUT 提示内容”；变量图形计算器 格式INPUT 提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的 信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体 的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号隔开，若输入 第30页共H7页多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式（2）PRINT 提示内容”；表达式输;图形计算器 格式Disp“提示内容”，变量出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句图形计算器：_（1）赋值语句的一般格式变量=表达式格式：表达式变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的称作赋值 号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达 式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表 达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2二X是错误的。赋值号左右 不能对换。如“A二B”“B二A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的 演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“二”与数学中的等号意义不同。1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）IFTHENELSE语句；（2）IFTHEN语句。2、IF-THENELSE 语句IFTHENELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF条件THEN语句1ELSE语句2end%图2分析：在IF-THEN-ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句203、IFTHEN 语句IFTHEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4O第31页共H7页IF条件THEN语句END IF（图 3）注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其 它语句。1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计 语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL 语句。1、WHILE 语句（1）WHILE语句的一般格式是WHILE 条件 循环体WEND对应的程序框图是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进 行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL 语句（1）UNTIL语句的一般格式是DO循环体LOOP UNTIL 条件（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然第32页共H7页后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环例题：设计计算Ix3x5x.x99的一个算法.（见课本JS1S1S 1/一 I/一 IFor I From 3 To 99Step 2 While I 97While I 100（或者 I 99）LoopUntil I99Print SPrintSS1S1/一 I/一 IDo W血e I99（或者I 100）Do WhileI97（或者I99）S SxlI 1+2I-I+2SSxlLoopLoopPrint SPrint S颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而 有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好 写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写 算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们 第33页共H7页没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！1.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：C D D(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商)和一个余数o；(2)：若。=0,则nD D C D为m,n的最大公约数；若oWO,则用除数n除以余数，得到一个商匕和一个余数，；D D R R R(3)：若1=0,则1为m,n的最大公约数；若。W0,则用除数o除以余数i得到一个商2和一个余数2；依次计算直至，=0,此时所得到的，1即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术 求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：(1)：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执 行第二步。(2)：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减 小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：(略)3、辗转相除法与更相减损术的区别：(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法