高中数学知识点总结.pdf

数 学 知 识 占八、总 结中华帝国教育部门指定教材引言1.课程内容:修修修修修修 必必必必必必12345曰由5个模块组成：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、暴函数）立体几何初步、平面解析几何初步。算法初步、统计、概率。基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2 1：选修22：选修2 3:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3:由6个专题组成。选修31:选修3-2：选修3-3:选修34：选修35：选修36:数学史选讲。信息安全与密码。球面上的几何。对称与群。欧拉公式与闭曲面分类。三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4 1 选修4-2 选修4 3 选修44 选修4 5 选修4 6 选修4 7 选修4-8 选修49几何证明选讲。矩阵与变换。数列与差分。坐标系与参数方程。不等式选讲。初等数论初步。优选法与试验设计初步。统筹法与图论初步。风险与决策。选修4 10：开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数第-2-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材难点：函数、圆锥曲线iWj考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量(10)排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12)导数：导数的概念、求导、导数的应用(复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念K1.1U集合1.1.11集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a&M,或者aeM,两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：%具有的性质,其中x为集合的代表元素.第-3-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做 空集（0）.1.1.2集合 间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集AB(或B)A中的任一元素都 属于B(l)Ac A(2)0 C A(3)若3且8屋。，则Ac。(4)若3且A,则A=5G)(或真子集AuB*(或Bn A)工且B中至 少有一元素不属于A（1）0uA（A为非空子集）工（2）若 AuB且 BuC，则 AuC1集合 相等A=BA中的任一元素都 属于B,B中的任 一元素都属于A(l)Ac B(2)Bc A(s（7）已知集合A有但21）个元素，则它有2个子集，它有2-1个真子集，它有2-1个非空子集，它有2-2非空真子集.1.1.3集合 的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质小意图交集%l%e A,且(1)AC|A=A(2)ACi0=0(3)AQB c A ABBc并集x l x c A,或xeB(1)AJA=A(2)AU 0=A(3)AU 5 o A补集许Ax l x eU,且I/A1 AfMA)=0瘠(4。8)=(必)11P(AU B)=(47)02aU&A)=U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集1 x 0)x-a x a(a 0)11%一 或a第-4-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材(2)一元二次不等式的解法ax+b c(c 0)把a%+Z?看成一个整体，化成Ix ka,l xl G(a0)型不等式来求解K1.2X函数及其表示1.2.1函数的概念判别式 二。-4acA 0A=0A 0)的根-b+lb2 4ac2 一2a(其中 x1 0(a 0)的解集xl%x 1 x w-2aR2+bx+c 0(0)的解集xx1 xx200(1)函数的概念设A、5是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f,对于集合A中任何一个数%,在集合3中都有唯一确定的数/(%)和它对应，那么这样的对应(包括集合A,3以及A到3的对应法则叫做集合A到B的一个函数，记作函数的三要素：定义域、值域和对应法则.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法设。力是两个实数，且人，满足a 的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足1%匕的实数的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足或a 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做a力)(a,b；满足2 a ,a q,。的实5数x的集合分别记做十 8)q(+90)-取 oo注意：对于集合%1。%勿与区间(。)，前者a可以大于或等于b,而后者必须第-5-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材a 4,(前者可以不成立，为空集；而后者必须成立).(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：/(%)是整式时，定义域是全体实数./(%)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数./(%)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1.JTy=tan%中，w k冗+(k e Z).2零(负)指数幕的底数不能为零.若/(%)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知/(%)的定义域为。,句，其复合函数/g(x)的定义域应由不等式a 0,从而确定函数的值域或最值.不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、3是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素，在集合8中都有唯一的第-6-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材元素和它对应，那么这样的对应(包括集合 A,3以及A到3的对应法则f)叫做集合A到B的映射，记作广A f 3.给定一个集合A到集合8的映射，且aeASeB.如果元素。和元素匕对应，那么我们把元素匕叫做元素。的象，元素a叫做元素Z?的原象.E1.32函数的基本性质1.3.1单调 性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.函数的 性质定义图象判定方法如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值XI、X2,当Xi 当时，都有 f(Xl)f(X2),那么就说f(x)在这个区 间上是单列掣.y y=fcx)/f(X2)(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图函数的 单调性0 X,x2 X象上升为增)(4)利用复合函数如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值XI、X2,当Xi f(x?),那么就说f(x)在这个区 间上是娜利寥.yy=f(x)(1)利用定义(2)利用已知函数 的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数0Xi X2 X对于复合函数y=/g(x)，令M=g(x),若丁=/(比)为增，M=g(%)为增，则y=/g(%)为增；若y=为减，=g(%)为减，则 y=/1?(%)为增；若 y=/()为增，=g(x)为减，则 y=/1?(%)为减；若y=/()为减，M=g(x)为增，则y=/1?(%)为减.(2)打“J”函数/(%)=%+2(。0)的图象与性质X/(%)分别在(00,J、J7,+00)上为增函数，分别在x/a,0)(0,J7上为减函数.(3)最大(小)值定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：(1)对于任意的e/,都有第-7-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材(2)存在o w/,使得/(Xo)=M.那么，我们称 例是函数/(%)的最大值，记作fmaAx)=M.一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数相满足：(1)对于任意的 c/,都有/(x)N加；(2)存在o c/,使得/(两)=%那么，我们称相是函数/(%)的最小值，记作=1.3.2奇偶 性(4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义 域内任意一个 X,都有 出二&亍).,那么函数 f(x)叫做奇理蓼.-Z7 JU)(a.f(a)O X(1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称)(2)利用图象(图 象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义 域内任意一个 X,都有 f(7 x)=f M，那么函数 f(x)叫做,申黎./I(-3.f()_二(1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称)(2)利用图象(图 象关于y轴对称)-a若函数/(%)为奇函数，且在=0处有定义，则/(0)=0,奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.K补充知识函数的图象(1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函 数的图象.平移变换/20,左移个单位、k。,上移出个单位、/y=0,右移个单位y=/(%+%)y=/(犬)k0,下移力个单位 y=f+k伸缩变换y=/()噢:疆=x)y=f(x)啜背 y=Af(x)对称变换第-8-页共1。4页中华帝国教育部门指定教材y=/(%)_ 刈七)丁=-/(%)y=/(x).一:y=/(-x)y=/(%)原Ly=_/(一%)y=f(X)y=f-X)_、去掉y轴左边图象 _/I-保留丁轴右边图象，并作其天下轴对称图象 y=/x|)y二小)将黑需%湍去丁=(%)(2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得 问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I)K2.指数函数2.1.1指数 与指数累的运算(1)根式的概念如果=q,q,且eN+，那么光叫做的次方根.当是奇数时，的次方根用符号妫表示；当是偶数时，正数a的正的几次方根用符号 处表示，负的次方根用符号-五表示；0 的次方根是0；负数。没有次方根.式子需叫做根式，这里叫做根指数，a叫做被开方数.当为奇数时，a为任意实数；当为偶数 时，a 0.根式的性质：(I)二a；当为奇数时，4丁=a；当为偶数时，7=1。1=(。一).-a(a 0,机,eN+，且l).0的正分数指数幕等于0.正数的负分数指数基的意义是：a=(-)-=J(-)，n(a 0,m,n e M,且 1).0的负分数指数嘉 a V a没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数幕的运算性质=a+(a0,r,sR)(储)=a(a0,r,s wH)(ab)=a ba 0,b 0,r e7?)2.1.2指数 函数及其性质(4)指数函数第-9-页共1。4页函数名称指数函数定义函数y=a(a0且a w 1)叫做指数函数中华帝国教育部门指定教材图象a 10 2 1(x 0)a=1(x=0)a 1(x 0)a 0)a=(x=0)a 1(x 0,awl,N 0).(2)几个重要的对数恒等式l o g“1=0,l o g 0 a=l,l o g”a=b.(3)常用对数与自然对数常用对数：Ig N,即l o g io N；自然对数：In N,即l o g eN(其中e=2.71828).(4)对数的运算性质 如果a0,awl,M0,N0,那么加法。g.M+l o&N=l。&(MN)减法=噂数乘：Mo g”例=l o g aM(eH)aaN=N第-1。-页共104页中华帝国教育部门指定教材l o g”二-l o g,M(b 手 0,n eR)换底公式：l o gt,N=0,且b。Db l o g/,a2.2.2对数函数及其性质(5)对数函数函数 名称对数函数定义函数y=l o gfl%(a0且a w 1)叫做对数函数图象a 10 6Z 0(x 1)l o ga x=0(x=l)l o ga x 0(0 x 1)l o g a X 1)l o gfl x=0(x=1)l o ga x 0(0 x 1)。变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式了-y=/(x)中解出入,得式了1=(p(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子=(p(y),%在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子=(p(y)表示是y的函数，函数x=(p(y)叫做函数y=/(x)的反函数，记作x=f-y),习惯上改写成y=(7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 丁=/(%)中反解出工=/7()；)；将=77(y)改写成y=/T(%),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质第-11-页共104页中华帝国教育部门指定教材原函数y=/(%)与反函数y=ft(x)的图象关于直线y=x对称.函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/-1()的值域、定义域.若P(q,6)在原函数y=/(%)的图象上，则尸(伉。)在反函数y=/“(X)的图象上.一般地，函数y=/(%)要有反函数则它必须为单调函数.H2.32事函数(1)幕函数的定义一般地，函数了 二工。叫做幕函数，其中l为自变量，a是常数.(2)幕函数的图象中华帝国教育部门指定教材（3）基函数的性质图象分布：基函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.累函数是偶函数时，图象分布在第一、二 象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图 象只分布在第一象限.过定点：所有的累函数在（0,+8）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.单调性：如果a0,则幕函数的图象过原点，并且在0,+8）上为增函数.如果a1,其图象在直线y=x上方，当a o时，抛物线开口向上，函数在（8,_二上递减，在一二,+8）上递增，当=上时，2 7 2a 2a2启n（%）=士；当a0时，抛物线开口向下，函数在（一8,-2上递增，在-2,+8）上递减，当X=24a 2a 2a 2a第-13-页共104页中华帝国教育部门指定教材g r/、4ac-b2/max(x)=_二次函数/（%）=+c（q wo）当=/一4的0时，图象与x轴有两个交点M（M，。），2（%2,。）/附2 1=1 Xj-x2 1=（4）一元二次方程+历；+0=0（。w 0）根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统 和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次 函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程ax?+Zzx+c=0（。w 0）的两实根为,%2，且令F（x）+b x+c,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向:ha对称轴位置：x=判别式：A端点函数值符号.2a o攵 1 X1WX2 A：2 第-14-页共104页中华帝国教育部门指定教材有且仅有一个根无（或X2）满足匕%1（或2）忆2 这两种情况是否也符合，出）拄2）0,并同时考虑/（比）=0或/金2）=0kXk2pX2p2 此结论可直接由推出.（5）二次函数wO）在闭区间p,刃上的最值设/（%）在区间p,q上的最大值为例，最小值为加，令o=；（p+q）.（I）当。0时（开口向上）第-15-页共104页中华帝国教育部门指定教材(H)当。0时(开口向下)b若 q,则M=/(q)laXx一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=/(%)(XG。)，把使/(x)=0成立的实数X叫做函数y=/(%)(%G。)的零点。2、函数零点的意义：函数y=/(%)的零点就是方程/(%)=()实数根，亦即函数y=/(%)的图象与轴 交点的横坐标。即：方程/(%)=0有实数根=函数y=/(%)的图象与轴有交点o函数y=有零点.3、函数零点的求法：求函数y=/(%)的零点：(代数法)求方程/(犬)=0的实数根；(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y=/(%)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数 y=ax2+bx+c(a W 0).1)0,方程a/+0+c=。有两不等实根，二次函数的图象与l轴有两个交点，二次函数有两个 零点.2)A=0,方程+x+c=o有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次 函数有一个二重零点或二阶零点.3)A 有且只有一个平面a,使 Awa、Bea、Cea。公理2作用：确定一个平面的依据。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 符号表示为：Pea n p=a n p=L,且PL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：同一平面内，没有公共点；线。第-18-页共104页中华帝国教育部门指定教材异面直线:_不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线ab-1=acc b/强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b 所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角e(o,)；当两条异面直线所成的角是百角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内 一一有无数个公共点(2)直线与平面相交 一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行 一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a，a来表示ac a a n a=A aa2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a C a b c P -=aaab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aAb=P p/a a/ab a2、判断两平面平行的方法有三种:第-19-页共104页中华帝国教育部门指定教材(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。n-符号表示：-a/aa C pa n p=b J作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：/p n y=b J作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L，a,直线L叫 做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。/P2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角a 或a-AB-p第-20-页共104页中华帝国教育部门指定教材3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角 a叫做直线1的倾斜角.特别地，当直线1与x轴平行或重合时，规定a=0.2、倾斜角a的取值范围：0 Wa/，点在圆外(2)(与 一 a)?+(y0-/?)2=/，点在圆上(3)(即一。)2+(%。)2/,点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：x+y+D x+Ey+F=02、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆 心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线/：ax+by+c=O,圆C：x2+y2+D x+Ey+F=0,圆的半径为r,圆心(一?，一与)到直线的距 离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当dr时，直线/与圆C相离；(2)当d=r时，直线/与圆。相切；(3)当时，直线/与圆C相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系.设两圆的连心线长为I,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当/八+-2时，圆G与圆相离；(2)当/=八+八2时，圆G与圆。2外切；(3)当I八一厂2 1+r2时，圆C1与圆。2相交；(4)当/二11一八2 I时，圆G与圆C2内切；(5)当/变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“=称作赋值号，与数学中的等号 的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）IFTHENELSE语句；（2）IFTHEN语句。2、IFTHENELSE语 句IFTHENELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF条件 THEN语句1ELSE语句2END%图2分析：在IFTHENELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语 句2”表示不满足条件时执行的操作内容；EN D IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。3、IFTHEN 语句IFTHEN语句的一般格式为图3,IF条件THEN语句END IF（图3）中华帝国教育部门指定教材注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；EN D IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（U N TIL型）两种语句结构。即WHILE语句和U N TIL语句。1、WHILE 语句（1）WHILE语句的一般格式是WHILE 条件循环体WEN D对应的程序框图是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行 WHILE与WEN D之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEN D语句后，接着执行 WEN D之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL 语句（1）U N TIL语句的一般格式是对应的程序框图是DO循环体LOOP U N TIL 条件（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从 U N TIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行,直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到 LOOP U N TIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；第-28-页共104页中华帝国教育部门指定教材在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在U N TIL语句中，是当条件不满足时执行循环 例题：设计计算Ix 3x 5x.x 99的一个算法.（见课本？2i）S 1S 1S 1Z-1For I Fro m 3 To99 Step 2 Whil eI 97 Whil e I 99S SxlI-I+2 S Sx lEn d ForS-Sx l I I+2Prin t SEn dWhil e En d Whi l ePrin tS Prin t SS 1S l/4-l/一 ID oD oS 100（或者 I99）L oop Un til I 99Prin t SPrin t S5-lS 1/一 ID o Whil e I 99（或者I 100）D o Whil e I97（或者I99）S-Sx lI 1+2I 1+2S-Sx lL oopL oopPrin t SPrin t S颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出 算法画出流程还要写出伪代码。2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿 纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可 能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依 据，不要被铺天盖地的资料所淹没！1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S。和一个余数&；（2）：若&）=0,则n为m,n的最大公约数；若凡20,则用除数n除以余数凡得到一个商&和一个余数尺；（3）：若0=0,则凡为m,n的最大公约数；若WO,则用除数&除以余数K得到一个商S2和一个余数4；依次计算直至凡=0,此时所得第-29-页共104页中华帝国教育部门指定教材到的R-即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：(1)：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2约简；若不是，执行第二步。(2)：以较 大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为 止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：(略)3、辗转相除法与更相减损术的区别：(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-ixn +.+aix+ao求值问题f(x)=anxn+an-ixn +.+aix+ao=(anxn+an-ixn 2+.+a)x+ao=(anxn-+an-ixn 3+.+a2)x+ai)x+ao=.=(.(a nx+an-i)x+an-2)x+.+a i)x+ao求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 vi=anx+aai然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即V2=VlX+an-2 V3=V2X+an-3.Vn=Vn-lX+ao这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入 数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读 入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单，可以举例说明)2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数，把大的放前面，小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数，大数放前，小数放后.然后比较第2个数和第3个数.直到比较最后两个数.第一趟结束，最小的一定沉到最后.重复上过程，第-30-页共104页中华帝国教育部门指定教材仍从第1个数开始，到最后第2个数.由于在排序过程中总是大数往前，小数往后，相当气泡上升，所以叫冒泡排序.1.3.3进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记 数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57,可以用二进制表示为111001,也可 以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如111001表示二进制数，34表示5进制数第二章 统计2.1.1简单随机抽样1.总体和样本在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体X的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：再，町，X研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼 此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较 小和数目较少时，才采用这种方法。3.简单随机抽样常用的方法：(1)抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。4.抽签法：(1)给调查对象群体中的每一个对象编号；(2)准备抽签的工具，实施抽签(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5.随机数表法:第-31-页共104页中华帝国教育部门指定教材例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。2.1.2系统抽样1.系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单 随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中 的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2.系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使 用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3分层抽样1.分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型