2022年初中数学竞赛训练题【精华版】.pdf

精选学习资料-欢迎卜或数学竞赛训练题一一.挑选题(每道题 6分，共36分)101.假如 x 0、0、log y log x,xy 144 那么 x y 的值为()V x y3A20 3 B.2 6 3 C.24 3 D.10 32.设函数 f a|x|。且a 1),-2)=9,就()x laA.f(-2)f(-1)B.f(-1)f(-2)C.f(1)f(2)D.f(-2)f(2)3.已知二次函数 f(x)满意f(1x)f x)、f(1)1、1 f 5、1 41就f(3)的取值范畴为()A.7 f B.426C.13215D.f283f2534.如图1,设P为AABC内一点，且 AP就4ABP的面积与 ABC的面积之比为2AB 5()1AC,512 11A.B.C.D.5 5 4 35.设在xoy平面上，0 yM(x、y)|y|x|1、N1x2,0 x 1所围成图形的面积为，就集合3X、y|y 1的交集M N所表示图形 2的面积为(A.136.方程 X2B.z C.1320062007的正整数解D.43X、y)的组数为()y精品学习资料A.1组 B.2组 C.4组D.8组 L=+-_ _ =-+1二.填空题（每道题 9分，共54分）7.函数f x log 1.5x+6)的单调递增区间为/一 2(X3a+a a=o t an a)依/古小8.已知5sin2 sin 2,就 的值为-It 1)=an=+llll 11+9.设an为一个等差数列，a1 19、的最小值为+川 IH+3、记 3n 1 n 6，就AAr 10.函数fl x)f 藕意一之 2f f f n f In)(1 12 In)就1003,且对任意正整数n都有的值为(2006)11.已知y%v-3x y 0、就x?+y2的最大值为x 3y 0 r4-W I 012.对于实数x,当且仅当 nWxvj i+1(nd N-)时，顼定 x=n，就不等式4 x2 36 x 45。的解集为三.解答题（每道题 20分，共60分）13.设集合 A=xlog i x)2，B=(3x 23 1,如AG BW，求实数 ax a2的取值范畴.14.三角形ABC的顶点C y)的坐标满意不等式X2+y2 82 y、之3.边AB(yX、在横坐标轴上.假如已知点Q0、1)与AV和BC的距离均为1、求三解 ABC面 直线 形积的的最大值.15.设附数 勺fx)的定义域为当。时，=f(x)1,且对任意实 x、y,X 数有f t x f)_fx)成立，an满意为 f(0)且 f 数列a1 1(n N),n 1f(2 an)-J_+min+-r(1)求a2021的值；1 1 1(2)如不等式(1)1)k 2n 1对一切n N均成立，(1 a?an ai求k的最大值.数学竞赛训练题一参考答案1.B 2.A3.C4.A5.B 6.D377.Ls、_2)8.9.-25110.-11.912.2 x 0时、-xvO、f(0)=f(x)f(x)=1、(0)a1 f0)1.10f(x)0、f(xf 1)-f 2)=f 1(x(x(xX就 X?X 2-Xj 0.fX，fX 2)、数.1由f(a n+1=得f 1f(an 1 2f-2-3 n)f(an1 an2)f 0、小3n 1函数y二f x)在Rh为单调递减函%)1.2。.即an 2an 2n 1、4015a20211 1 1 (1)k 2n 1恒成立、知由1 11%anai1 11 111%恒成立.k 31(1a2 2n 11 1(1)设F(n)1=a1(1生2n 1an、就F n0精品学习资料且F(又F.-.(n F1 1 _ 1(1)ri r(1)3l 32 an.、e 2n 31 2 1)1、即F(n F n)1n 1)(n 4(n1 f 12+一 一=F1)3(n+-3=+=+一2 2所以？k-3、即k的最大值为3.3 3 _+mm+之 J+mm+一精选学习资料-欢迎下我2006:A00e2006 Q 5 Q 14Q4;-8:3011:BO)题号|一 二|三四|五;六|总分得分评卷入s:ea:aeaooiiaaa.6u lDs.不分|评卷人-一 ARB I 6:z:BA a*j*0 JB5 13061aaoaeu+eJ-a c*i*arwenva.c、Dw+oe、0一o5s so.aaes ouxe.i.es+0ai.i=+aaxaeza RisaI A)aa 1a 1)IB4 21或a 4-1fnonl)ID)$aj 04z.3&n44gBO ztroes+i s=4+Jzi Pi$A)ae fBy4e E0Cj9x.)t6s3.s0ai0.aee+、.oena.cs 一7.sis0aav 答 A 5 803 IB1 5 840(Cl 5 860 ID)6(E D精品学习资料精选学习资料-欢迎下载4.已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+)=I,S+c)(b+d)=l,则(a+c(b+c)的值等于 答(A)2(B)I(C)0(D)-15.设函数 f(x)=x?+64+8,如果 f(x+c)=4x2+16x+15,那么c-4的值等于答(A)3(B)7(C)-3(D)-76、已知p,p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，则q只能取答(A)40(B)44(C)74(D)86得 分 评卷人 二、填空麟(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填在题中的横线上1.直线/过抛物线/=a(x+l)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若/被 抛物线截得的线段长为4,则=.2.设50,则/+”的最小值是.b(a b)3.已知数列aj满足q=3,勺“=：-(+1)aJ1,则数列&的 前n项和等于.4.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数 为.则 J+L_m n6.设 t=(,”+，则关于 x 的方程 a-1)“-2Xf-3)=o 的所有实数解之和等于.2006年全国高中数学联赛河南省预要R中二年级改卷 第2页 共6页精选学习资料-欢迎下载得分评卷人-三、(本SJ满分20分)如图，在矩形 A BCD 中，A B=,BC=a,又 P A _L平面 A BCD,P A=4.(I)若在边BC上存在一点Q，使P Q_L QD,求a的取值范围：(2)当BC上存在唯一点Q,使P QL QD时，求异面直线A Q与P D所成 的角：(3)若a=4,且P CUQD,求二面角A-P D-Q的大小.2006年全国高中敷学联安河南省颈赛高中二年侬试卷 第3页 共6负精选学习资料-欢迎下我得分评卷入-四、（本题满分20分）已知椭圆C：+/=1及定点P（t,0）（t0）,斜率为1的直线L经 4 2过点P并与椭圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在Jw 0,ar,使得而=cos6 3+sin而成立.试求出满足条件的 实数t的值.2006年全国高中数学联赛河南省泰南中二年饿试卷 第4页 共6页精选学习资料一一欢迎卜.裁得分3z.t&0N U 20 D)已知菱形A BCD是椭例C：提十号=1（。”0）的内接四边形。（1）求证：；+I为定值。（2）求差形A BCD面枳的最值.OA2 OB2精品学习资料精选学习资料-欢迎下载得分评卷入六、（本鹿满分20分）设三个正实数x,y,z,试求代数式I6/+9 7+9 V3m x+2y+z的圾大值.2006年全国高中数学联赛河南行预赛岛中 年级认卷 笫6队共6精选学习资料一-欢迎下载2006年全国高中数学联赛河南省预赛试卷及答案1.评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各 题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次。2.如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，分标57己如关于x的方程1三x H有二个负根而且没有正根，则实数a的取值范围(A)(A)a|al(B)匕卜之 1 或aM-1(C)L,1(D)a|0a)所围成的图形是以点A为圆心，以4为半径的圆，从而所围成的图形的 4面积是16兀.故选D3.数列瓜中，相邻两项A,%是方程x2+3nx+bn=O的两根，已知为-17.则b”的值等于(B)(A)5800(B)5840(C)(D)6000W:.e.m.=3nA aj,a3,a纾i 和 02,出，/.a=aio+21(3)=-80a5 i=au+20(-3)Vaio+an=-30 A atF13 二=-73,bii=asi-a=5 840 故选B4.已知a、b、c d是四个不同的有理数，且(a+cX。+d)=1,(匕+c)(b+d)=1,则(a+c)(b+c)的值等于(D)(A)2(B)1(C)0(D)-1解：由题意：a1+(c+d)a+cd-1=0,/+(c+d)8+cd-1=0，a、b 是方程/+(c+d)x+cd-1=0的两根，q+b=-(c+d),ab=cd-(a+c)b+c)=a/?+(a+b)c+c2(a+c)(b+c)=-1.故选口5.设函数f(x)=/+6x+8,如果f(以+c)=4/+16x+15,那么c-4的值等于(0f A1 3 fBI i iC)3 iDl-7M:x=2、ff f i r2d)=16 16x2+13=1精品学习资料精选学习资料-欢迎下载而当工2+64+8=-1时有x=-3所以c-2b=-3 故选C6、已知p,p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，则q只能取(A)A 40 B 44 C 74 D 86解：q只能取40k3k+2不是质数,p+l4P=3k*l时，符合.p只能等于3,时，p=3k*本题共6小题，把答案填在题中的横线上 共30分段长为4,则a=4 o解：抛物线=a(x+l)与抛物线y，ix具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标1.Asf B m&s=(+t)t o)o emA.SI(t R&S.Sf R AS&R&B准方程y2=ax替换一般方程y/=a(x+l)求解，而a值不变。由通径长公式得a=439乙it o a 0 yJo+的最小值是 48bra-b J解:4 128 4 64 64S Q+-+-T42 3妒=48值=2时取等号)3.=3,已知数列4满足q2-图“=。：-5+1)%+1，则数列的前n项和=解：利用归纳可得 a.=n+2,则有 a“w=(n+2)2-(n+1)(n+2)+l=n+3.所以 a =n+2.满足条件,23=I+=并且q 4.(的数值)等于周长的直角三角形的个数为2_解：设直角三角形的三边长分别为：a,b,和。=2+从，则有两边平方并整理有：ab-4。-46+8=0，(4)(6-4)=8/a,b都是正轻数，.,.a=5时b=12.a=6时b=8:.满足题意的三角形有2个。5.过椭圆去+；=1的一个焦点F作弦A B,若|A F|=m,BF=n,则j+j=32Q06年全国而中数学联赛河南省预英岛中_年级试卷及音案 第2”共6打精品学习资料精选学习资料-欢迎下我$4:ii =e=6.设t=()*+(-r+t-y,则关于X的方程(r-l)(r-2)-3)=0的的所有实数解解：我们定义，。)=(夕+令+(|变形为幻=令+令+针，可以发 3 4 5现函数/。)=弓)*+(?*+(巳)”是定义在实数集上的减函数。又因为3)=1,6 6 61,3.三、(本题满分20分)如图，在矩形 A BCD 中，A B=7I,BC=a,又 P A _L平面 A BCD,P A=4.(1)若在边BC上存在一点Q,使P Q_L QD,求a的取值范围：(2)当BC上存在唯一点Q,使P Q_L QD时，求异面直线A Q与P D所成的角:(3)若a=4,且P QJL QD,求二面角A-P D-Q的大小.解：(1)设 BQ=t，则懵=19+/,QD?=3+(a-t)2,P=16+a，由 P QJ_QD 得:194-t2+3+(a-t)2=16+a即 t-at+3=0;=1一 12i0 na22 vl.(5 分)(2)解：TBC上存在唯一点Q,使P QJ_QD,A A=a2-12=0=a=2/I,t=VJ,故Q 是 BC 中点取 A D 中点 R,P A 中点 S,连 RS、RC,则 RSP D,RC/7A Q A ZRSC就是异面直线A Q与P D所成角RS=PD=&,RC=AQ=R,SC=7SA2+A C2=V1?,dRcJ sc?2CSxAC故异面直线A Q与P D所成角为arccos恒,4-,屈14(10 分)3)a.%9$QMr*A*D+#0M*D.*(t.0、0)P*+&W8.ew*$*ot7:Rws*+*.4:,精品学习资料精选学习资料-欢迎卜,战+W.RB工*D.0*9BF*D.aRAir5*AxO J IPD 由三垂线定理知JL ZX7 4-f.n.t l 1N0-A*-PD-PB.*DDor斜索，】的吉绅2占rh白悔圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在。0,2封，使得OM=cos 6 OA+sin 0 0B成立.试求出满足条件的实数t的值，解：直线A B的方程为：x-2y-r=0.联立方程可得：2-2a+产-4=0,和24 1 f4B/-4y+f-4=0/.z x2=f-y*2(x,y)，及点 A(再，%)，B(x2,y2)由。M=cos6 O A+sin。O B 可 的坐标为设点M:x=a cos i.+z sin 19 y=y cos/.+/sin Gt(10 分)7ffl t=x-1-4/2=(x、cos f.+zsin 6)+4 、cos 8+si n jP)2=z、+4/、2)cos 2 6 (z sin2 6.+2 s in 6.c os 19(a、x2+4/、y)74j、=4(cos2+sin2+2 sinJcosB(再9+4/%).(15 分):.2 sin8cos8(项工2+4H为)=0,乂因为。,2%的任意性“。6年全国Q中数学驮赛刈南省预赛岛中一年级试作及答案 触1狈共6W精品学习资料精选学习资料-欢迎下载r-4/一 4 5xlx24yly2=+4x=r-4=0 2 K代入t=2检验，满足条件，故t的值是2.（20分）五.（本题满分20分）X V已知菱形A BCD是椭圆C：r+J=l（a 5 0）的内接四边形。（1）求证：,+-4 1.八 7L.（2）#M CD H8.%R%.解：（1）如右图在菱形 A BCD 中设 0A=m,0B=n,N A O x=a,则点 A（rocosQ,msin。点8（就00。，睦壮。）.又因为点人和点1都在椭圆C上，所以有：m 2 cos z r+rt sin 2m n a b（10 分），八 1 1 1 1-+=2+7T-2Ul 2（15 分）口 n 1.cos2 a sin a、/cos2 a sin”、另外而（a+/）（/+/）cns z f ab+sin;z ab 1ab二菱形面积最小值和最大值分别是f和a2+b（20 分）、#七力站t16x+9.渥E+9班嬴必区._ x,y.z,试求代数式 的最大值。设三个正实数 x+2y+z2006年全国高中数学联赛河南省蚀赛高中一年级试卷及答案 第5血共6皿精品学习资料精选学习资料-欢迎下载_ _,9Jx x l8y 3yJtx l8yx 36z.+9 辰+9国产+3.2.x+2y+z i+2y+z16x+3a+18y)+x+18 匕乌.)0)也满足条件。所以我们可以设x:y:z=l:a:b.16 J 2a 93xx3ayx3bz16x+9y/2xy+9/3xyz _+而+9ab十是 二x+2y+z i+2y+zI6x+-9 2z+2ay9 3x+3ay+3%j-XN9ab 3x+2z+2y+z+(七,99abJia N 9ab 9ab取c=V2a,d 9 b T 119r+2+zx再取 d=mc,又可以得到2(1+!)=2m2-16,且9c(1+)=8m2,J#iK&Ria81(l+一2=8m(2in-160 U(in-3)(16m+48m+16nf+48m+63m+27)=0从而m=3.进而a=18,b=36.以下求解与法一相同。.(20分)2006年全国岛中教学城赛河南省预赛高中一年级试卷及答案 第6页精选学习资料-欢迎下载共6页精品学习资料数学竞赛训练题三挑选题（此题满分 36分,每道题 6分）1.已知数列an满意3an+i+an=4（n 2 1且a1=9,其前n项之和为Sn；就满意不等1式|Sn-n-6|(t-4x恒成立，就t的取值范畴为.11.我们留意到 6=8瀚X10,试求能使 n.表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为.12.对每一实数对(x、y),函数 f 满意 f x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1；如f(-2)=-2,试求满意fa=a的全部整数 a=_.三.解答题(每道题 20分,共60分)13.已知a、b、c R+,且满 kabC a?b)+(a+b与钺k的最小值；思 _a 一 b-c14.已知半径为1的定圆。P的圆心P到定直线I的距离为2,Q为I上一动点，OQ与。P相外切，。Q交I于M.N两点,对于任意直径 MN,平面上恒有肯定点A,使得N MAN为定值；求N MAN的度数；215.已知 a0,函数 f x)=ax-bx、(1)当b0时,如对任意 x R都有f(x)1证明：ab；(2)当b1时,证明：对任意xe 0 1、|f仪方案梗条件为：b-1Wa帝b；1 快该条件；(3)当0 1、|f(x)|数学竞赛训练题三答案一.挑选题11.由递推式得：3(an+1-1)=-an-1),就an-1为以8为首项，公比为 郛J等比数列,3一-1*彳 n*Sn-n=(ai-1)+(a2-1)+3=6-6 x(-),an-1)=(1 3_ 31A|Sn-n-6|=6 CX)，得：3-250,.满意条件的最小整数 n=7,应选C；_ n1 1 t 1 d 1 d 1S四Rd=上 Sprs d+hsprs d+Sapqs d=PQ PRsin a+PS PRsin a+L-33-3 3 2 3 2d 1PQ-PS-sinj a 故有：PQ-PR-PS-sin p=d(PQ-PR+PR-PSfQ即PS)3 2 r,v+-1 1 1 sin 粘个生c 广-产-二常数；应选 D；-vPQ PR#S d3xn 33.xn+i=，令 xn=t an g，:xn+1=t an(.31 Xn360-6精选学习资料-欢迎下我）、/.Xn+6=Xn X1=1,X2=2+3、精品学习资料精选学习资料一欢迎下我X3=-2-3、X4-1 X 5=-2+X7=1,，有aV1J b4即3、X6=2-3、2005Xn Xi 1；应选 A；n 1abo=b 量 向 设diXdi2Xdi21XdiXXabao2by即2222 y22X2yX，b3 1、Sa2 25.设 P（xi、yi）,Q（x、坐标为（3、y）；又,aob=|a b|a b|=1；2y）,由于右准线方程为x=3,所以H点的2 2HQ 大i_j pPH,所以nrP Q，所以由定比分点公式,可得:2 2 x 3(1)y代入椭圆方程，得 Q点轨迹为3 2 23 2 2 2 3e=1 0、；应选 C；2 3 3 1)3乂 3 1）x入1V】y1,所以离心率6.由logb x=log b(4x-4)得x-4x+4=0,所以xi=X2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,11因 A+B+C=180，所以 3A+B=180V sinA(1-4sin 2a)=0,又2力。所以 sin A=,因止匕 sinB=sin3A，-.3sinA-4sin 3A=2sinA,1 1si nA，而 sinA0，:.sinA=；因此4 2A=30、B=90、C=60 ；应选 B；二.填空题x 2y 07.3；x 2y 0 X2 2 精品学习资料_ _ _x 4v 4、厂（x 2y）?y）4 2=（x=由对称性只考虑yQh可又Q；.只恁求=x-y的最小值，令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+4-u）2=0,这不关于-y的三次方程明显有实根，故=16（/3）20+o8.46个；abed中恰有2个不同数字时,能组成 C:=6个不同的数；abed中恰有1 13个不同数字时，能组成 zzz+C C=16个不同数；abed中恰有4个不同数55 5 2 2字时，能组成 A 4=24个不同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46个；9.解考虑 M 的 n+2 元子集 P=n-I,n,n+1,2n.P中任何4个不同元素之和不小于 fn-1)+n+(n+1+n+2=4n+2，所以n+3将 M 的元配为 n对，Bi=(i,2n+1-i),1Wi Wn对M的任一 n+3元子集A,必有三对 Bj、Bi、同属于Bi 1 2 3A(i 1.i 2.i 3两两不同).又将M的元配为n-1对，5(i,2n-i),1Wi Wn对M的任一 n+3元子集A,必有一对 C，4同属于a,这一对Cj必与Bj、Bj、中至少一个无公共元素,Bi4 1 2 3；I.和为2 n+在2n n+1、最小的正整数k=n+3这4个元素互不相同，且113 110.、+2-21；On t2-40,E|J t 2,就申:2x(|x|WD成立,得，2 1-t-50解得211 212，从而1 21t-2 2d 21或9t ；如-2.2t-4=%就 t=2-符合题意;如t2-4即-2t：2，周如t t2-t+4;t+t-30 JW：t _A_1 1321t214 1，及斗从而 1 I，t 2；综上所述，t的取值范围为：7-2V 213 1 21 1t 0,由f(1=1可知对一切正整数 y,f(y)0,因 此ye N*时,f(y+1)=f(y+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t,恒有ft,由得f(-3)=-1、f-4)=1；下面证明：当整数t WI时,f f-f(t+1)=-(t+2)0,即 f(-5)-f f-4)0,f(-6)-f(-5)0,相加得：St)-f Q4)0,由于：t W故f 或t=2；三.解答题 13 解2 2 2 2(a+=+(a+2c)+；b)a+b+4c)(a+b)fb+2c)(2(+2-.+、2b)(a b 4c2 l a be)a be0,因 t Wl,故-(t+2)0,由得：,f(t+1)-f t+2)0,f-f t+1)0(t)t;综上所述：满意 f=t的整数只有t=1：因 为V,2 J、24ab+8ac+8bc+16c(a,-；所以用 1 A(53 2a 2b2 c 2.2a b c6 4210 0：当a=b=2c 0时等号成立;故k的最小值为100；14.以I为产油T工P到I的垂线为 y轴建立如下列图的直角坐标系,-奘Q的坐标为X、，下），点 A（k、入，OQ 的半店为+r,就：M x-r、0）、N x+r、0）_、P（2、_ 0）、pq=x2 2_=l+r=?-x=r 2 2r 3+-o+r _ 0_ h_Z.t anZMAN=heh-=V+x-r hF x-r k2rh _2rh,1、2 2 1 2 91 x k)r h r 2r 3r-2i V+-+,+_ 2rhr2 h2 h2 k2 3 2r 2k r2 2r 32 I令 2m=h2+k-3,t anZMAN=，所以 m+r nk r2 2r 3=nhr,m+(1-nh)k r2 2r 3m2+2m(1-nh)r-1-nh)2r2=k2r2+21-3k,由于对于任意实数r式恒成立，所以x r h x r h两 边 平 方得m2=-3k212m-n h 2k22，由(1)(2)式，得 m=0、k=0,由(3)11 2式，得n=111 nh)k22 2由 2m=h+k-3 得rylh=3,所以 t anZ MAN=1=h=nJ3；所以N MAN=60或 120(舍)(当 Q(0、故 N MAN=6O0)、r=1 时NMAN=6O15.(1)=-bx-证：依题设，对任意XR,都有f(xa2b2-2+4bfXh),2 aa.f)=a0、b0、1 2b 4b2 b；(2)证：(必要性)，对任意可推出-1Wf(1)xe 0、1,|f(X)I即a-b21；.ald；对任意xe 0.(x)T1W曲于b1,可推出)Wlb1|f(x)|WlfJWJdWf(斓此T1即a-WLaW2b,所以 b-1WaW2)；b r(充分性)：因b1、aK?对任意 xe 0.o o1,可以推出：ax-bx 2 b(刈)-xx1,艮 P：ax-bx 21；由于 b1 a W2b,对任意 x 0、1,可推出 ax-bx 2b 代 x2w 工V即 ax-bx 20 -1 W f(x)；W1综上，当 b1时,对任意 xe 0.1、|f(x)冷=的奏要条件为：b-1WaW2b；(3)睇：由于a0、0 1；f x)=ax-bxb1,即 f 圣(x)fXaW b+1 f(x)2(b+1)bWlf(1)Wla-bWXB|J aWb+3 ww f(x)Wl工即所以，当 a0、0为方程 log b x=log b 4x-4)的根，就 ABC()A.为等腰三角形，但不为直角三角形 B.为直角三角形，但不为等腰三角形C.为等腰直角三角形 D.不为等腰三角形，也不为直角三角形二.填空题(此题满分 54分,每道题 9分)7.如 7g4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，就|xHy|的最小值为8.假如：(1)a、b、c、d 都属于1、2、3、4(2)aWb、bWc、c Wd、d#a(3)a为a、b、c、d中的最小数那么可以组成的不同的四位数 abed的个数为,1、29.设 t()+=9X解之和为21+、就关于x的方程 1)2 t _0的全部实数 x n)It(t 3)3 6210.如对|x|W1的一切X,t+1(t-4)x恒成立，就t的取值范畴为 11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 12.对每一实数对(x、y),函数 f 满意 f(x+y)=f(x)+f y)+f(xy)+1；如f(-2=-2,试求满意fa=a的全部整数 a=_.三.解答题(每道题 20分，共60分)13.已知a、b、c2田满意 k abC a+bg+b+4c)之,求k的最小值;a+b+c14.已知半径为1的定圆。P的圆心P到定直线I的距离为2,Q为I上一动点，OQ与。P相外切，。Q交I于M.N两点,对于任意直径 MN,平面上恒有肯定点A,使得N MAN为定值；求N MAN的度数；15.数列aQ定义如下：&=1,且当门2 2时,2。an+1、n为偶数时,-2 当=j 1 n为奇数时.一吧、当,30已知an_，求正整数 n.=19数学竞赛训练题四答案一.挑选题1.设函数 f=2+6x，8、lx)c等于()A.3 B.7假如 f Gbx)=4x+16x+15、么C.-3那c2b的值D.-7解：取 x=-2、有fTc=-162,15=一12b16+=一而 当x2 6x 8 1时有X 3,所以c 2b 3,应选C.2.已知P为四周体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等 于点P究竟面ABC的距离，那么在侧面 SBC内，动点 P的轨迹为某曲线的一部 分，就该曲线为（）A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆解：把问题转化成动点 P至U S的距离与它到边 BC的距离比值问题，简单的出答案D3.给定数列於J 1x n,X1=1,且 Xn+1=，就3 Xnv疗05二A=n 1A,1B.-1JC.2+3)D.-2+自轧Xn+1+-_ 3“43Xn，令 xn=t anan，;.Xn+i=t an 1 a n+J、/.Xn+6=Xn X1=1,X2=2+3、X3=-2-X7=1,X4=-1、X5=-2+73、X6=2-y2005=XnXi，有、21-Xdi、一 2 国X di-Xdifx中 1其7002 f4rk 5z(x4nX13643、+X已知X2Xf就X3、n 11 2于 等1；应选A；定义n3-5 B4-5 c1-5 A.-1-5)5 f、2-5-1-4)5 f、4-5=1-3)52-5 算=)1-7 5Df71-(5-1 55解 T-&710一+4=T可知f n f为最小正周期为6的函数；即得f06(fn(，所以d 1 4)11 T 二，应选C.5 51 51200 Q f 3)=5-5-5-=5.已知双曲线X2 y 1a(3b2线两支于P.CT两点，交 于R、0)的右焦点为F、右准线为I、始终线交双曲0 b就A./PFR=/QFRBN PF&QFRC.PFRQFR J_ D.PFR与，QFR的大小定分网做PP|、I、垂足忖别P、巾相像匕附咽性庸rm qq 为 rmPR QR得 22，又有双曲线的其次定义,PP QQ得PFPPeQF PR PF、就QQ RQ QF故FR平分 PFQ.所以选C.6.在 ABC中，角 A.B.C的对边分别记为ca.b.c(bW 1),且A如为万程 log x=log b(4x-4)的根，就 ABC()A.为等腰三角形，但不为直角三角形 形C.为等腰直角三角形 三角形I 2解：由 log bx=log b 4x-4)x-4x+4=0B.为直角三角形，但不为等腰三角D.不为等腰三角形，也不为直角，所以 xi=X2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因 A+B+C=180，所以 3A+B=180，因此 sinB=sin3A,A 3sinA-4sin 3A=2sinA,精选学习资料-欢迎下载9 1 1V sinA 1-4sin 2a)=0,又 sinAWO,所以 sin A=，而 sinA0,A sinA=；因此 4 2A=30、B=90、C=60；应选 B；二.填空题7.如 Iog 4(x+2y+log 4(x-2y=1，就|xHy|的最小值为.x 2y 0公安 q o n x 2|y|答案：3；x 2y 0 2 2x 4y 4(x 2y)2y4X由对称性只考虑 yQ由于x0,.只须求 x-y的最小值，令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y的二次方程明显有实根，故=16(J-3)20；8.假如：(1)a、b、c、d 都属于1、2、3、4(2)aWb、bWc、c Wd、dWa(3)a为a、b、c、d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数 abed的个数为.答案：46个；abed中恰有2个不同数字时，能组成 C；=6个不同的数；abed中恰有3个不同数字时，能组成 CiOCi CCi=16个不同数；abed中恰有4个不同3 2 2 2 2数字时,能组成 A 4=24个不同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46个;9.设t(1)(2)1、就关于x的方程X X)(t2 3 6解之和为答案：4 解：令 f(x)1)2)(t。的全部实数(t 3)为出变5IX、621X3di(X 2,3,.4 5()()()可以发现函数f为 因 又 数 函 减 的 上 R 为3,从而关于x的方程(t1)2)(t 0的解分别(t 3)1、1 2(3)f 1)f0为 0.1.3,o10.如对|x|W1的一切x,t+1(t-4)x恒成立，就t的取值范畴为.答案：131 21 1；解：如 t 2-40,即 t 2,就由 t x(|x|W2、2 t2 4精品学习资料t 11恒成立,得 2 1、t 4 t+1t2 2-1 21-4、-t-s0 解得t 21 21，从而2+1 21 t-2 或；如 t 2-4=0,就 t=2 符合题意；如 t2-40,BP2 2t+1 t+1 2 2-2t 2,就由 fx Ux|W 1)恒成立，曲-t 2+4；t+t-30,解得：t-4 t-4t -1+后,从而-1+而t 2；综上所述，t的取值范畴为：2 2 2J3-1、2+1 t a-4(b-4=8、a、b都为正整数，a=5时b=12;a=6时b=8,所以满意题意的三角形有 2个；12.对每一实数对(x、y),函数 f 满意 f(x+y)=f(x)+fy+f(xy)+1；如f(-2)=-2,试求满意fa=a的全部整数 a=_.答案：1 或-2；令 x=y=O 得 f=-1；令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得，f(-1)=-2,又令 x=1、y=-1 可得 f=1,再令 x=1,得 f y+1)=f(y)+y+2，所以 f y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,=1可知对一切正整数f y+1-fy)0，由 f1)y,f(y)0,因此 yN*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1,即对一切大于 1的正整数t,恒有f(t)t,由得 f(-3)=-1、f H4)=1；下面证明：当整数t W-4 时，f 0,因 t W-4,故-(t+2)0,由得:f-f(t+1)=-即 f(-5)-f f-4)(t+2 0,0,f(-6)-f J5)0,f(t+1)-f(t+2)0,f-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0,由于:=t的整数只有t W4,故f(t)t；综上所述：满意t=1f(t)或 t=2；-三.解答题：13.产知a、巨叫满意 kabC 3+b)g+b+4c)之,求k的最小值；v v v a b c解：因 为(a+b)2+(a+b+4c2=a+b2+(a+2c)+(b+2c)(2 ab2+2ac+2 2bc)2=24ab+8ac+8bc+16c ab；所以(a 72上 b+才 t)-4c2-1 a-b+c)a be28=100；当a=b=2c 0时等号成立；故k的最小值为100；14.已知半径为1的定圆。P的圆心P到定直线I的距离为2,Q为I上一动点，。Q与。P相外切，O Q交I于M.N两点,对于任意直径 MN,平面上恒有肯定点A,使得/MAN为定值；求/MAN的度数；解：以I为x轴，点P到I的垂线为 y轴建立如下列图的直角坐标系，设Q的坐标为（X、0）,点 A（k、A）,O Q 的半径为 r,就：M x-r、；-、N x+r、0）、P（2、-J+J+-PQ=x2 22=1+r；_所以 X=r 2 2r 3、A t an Z er oh man=Kan kAM x r-h x r-h1 kAN l k=0,由(3)式，得 n=；由 2m=h2+|0、=1、n 2、III 又由&=1,可得，当n为偶数时,Qn 1；=y当n(1)为奇数时，an-3n 11.由=30 an191,所以n为偶数，于为=TI -6o-11 d n。为偶数，an 2 1,4 1 8 4-=11-=31 n6n6 1 1,为奇数，8 8 8 8-=8 n_141,为偶数，8 1 3 8_=一一 二一 hU8 1 5 1,9为偶数,=5-=-1,2-46 为偶数,方2 3246Hn 46=3 _1=_1 1,占翌为偶数,*64n _|10=21=1,128n 110所以，=1,解得，n=238.128数学竞赛训练题五（扬州市20062007调研测试试题）一.挑选题1.设全集 U=R,A=广彳2。,，B=xx?_3x _4o,就（q A）中I 3-J等于A.一4、一 2 -B.1 a C.（3、4 D.3、42.依-次偌的绽开式中，含有X的正整数次赛的项共有A.4项 B.3项 C.2项 D.1项3.高三（10）班甲.乙两位同学 6次数学测试的成果如下表：123456甲122120125116120117乙118125120122115120仅从这6次考试成果来看，甲.乙两位同学数学成果稳固的情形为A.甲稳固 B.乙稳固 C.甲与乙一样稳固 D.不能确定4设a、B、丫为不同的平面，m、为不同的直线，就 iTip的一个充分不必要n I条件为a X P a A P=j_A.、I m Ia P a 1 Y u YB.、ma P P /aC.、m/+A AB5.在 ABC中，已知t an 2A.t an Ac ot B 1.+=o oC.sin A c os B 1a _L B aD.n、n、msin C,就彳v-二B.sin A sin B 1.2+=r 2 A 2 c 2D.c os A c os B sin C6.已