《602数学分析》考研基础检测5套卷.pdf

灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟目录【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（一）.4【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（二）.18【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（三）.29【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（四）.40【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（五）.53第3页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷（一）说明：本书按照考试大纲、历年真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，由学长严格审核校对，仅供 考研备考使用，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。一、填空题1.设L为R2中的定向的光滑曲线八力，增加的方向与L的定向一致，（。5-86）是1 与定向一致的单位切向量，下列式子中正确的是_.【答案】J Pdj r+Qdy=J（Pc o s a+Qc o s二、解答题2.(j-+j)2si n 二元函数八n 0,+y2 工 0f+y2Q求y.、，dy养筑是否在原点连续，?。，外在原点是否可微，并说明理由.【答案】当7+y W0时,袈=2(才 卜 v)sin -(Jr+v)2 .?,x,c o s-7-7?x-4-y (x+y)-犬+汨=2G+y)即 1 7T7 Cr+了)严当合+/=0时，利用定义可得U=辽=o3 M 8），而（3）沿（工,弘）趋于零时，笫-8,故某在原点处不连续.同理意在原点处也不连续.另一方面，考虑/（0,0）（O.O）At /v（0,0）_（+/）?1 一:=:_ _si n 5 Tr-7 ，/+，21 r2+/A-r+3（当（位3）-（0,0）时）故人工，山在原点可微.3.求兴工）=反（工2-1）|的极值.【答案】/（x）=sg n（j c（xz 1）,工（公一1）.当工卉0,1 时，（工）=sg n（x（j：2 1）（3-1）.令，（工）=0得驻点工=士%又，（等）=sg n（x（j r2-1）L-4 6z|工普=-2a/3 0,所以f（X）在点L鸟取极大值又f（X）为偶函数的）在点工=一专也取极大值，极大值为/（土）=等.因为对V,0）=/=/（-1）=0&/（/）,所以f（x）在彳=0,土 1取最小值，自然也是极小值.第4页，共62页IV簟心博阅”handebooksm 考研专业课资料学长一对一诚招加盟4.求下列第二型曲面积分口一曲也+.户dzdx+z&dp,其中s为两个球/+/+z 2+/+z2 2&的公共部分 S表面的夕M则.(2)f f+x2y2dxdy,其中s为一个光滑凸曲面的上侧，它的边界为平面z=0上的sX2 V2椭圆+万=1.(3)Jj-.汕也+(z+I)dx”,其中s是圆柱面V+y=4被平面x+z=2和二=0所截出的部分的外侧.S3【答案】如下图所示，记s所围成的区域为C.C在yz平面的投影为/+z2&二川.由高斯公式4得卜、一 /xz2dydz+yz2dzdx+人.R.一一-1 V(/图73dxdp=j j j(z2+4-3z2)dxdvdz n-5 f f f z2dxdydz.作柱面坐标变换P二/c o s,z=/sin夕，/=x,。变成04夕2兀，04尸江用火一 J*t2 2n 4于是 j j j zZj xdydz=j d 2 r(r sin)2dr|Q,g R _=J：si n2呵，户(小?-r:兀k(2Jr2_/_R)/dr=1令r=Rsinl,则&R _ Nf 2 y)R2-r2r3dr=f R c ost-7?3 si n3Jo J 05 1 3 1=R c o s/+c(I 3 5于是Jj j z2dxdydz=兀|2-n、则2 Ir2-户.R：_/-drR-1R2-r2-R)dr?兀|*2 JR2 一/dr一K，,Rc o sf出二 R，J；c o s?/si n3 tdt,V.Fl f,1 1 1(1 Yl 47a s f=R 1 I=)0 LH 2 J 5(25JJ 1 5-2547 9)_ 5 3$1 5-2-26 J 1 5 26 第5页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟3 V2如下图I所示补面S：z=不+?,2z2dpdz+z2x2dzdx+x2y2dxdy=-j j$Sy222dpe+z2x2dzdx+Jt2 y2dxdy=ab n.图1图2如图2所示，补面S:z=O,W+/W4,方向向下;补面S：x+z=2,/+必冷第6页，共62页考研专业课资料学长一对一诚招加盟取m=2”，I%一心1/+左+2=对=3，V”，三=2n,|备一工”l e,故数列发散。(2)1%一 工“|=11)中岩+(一1尸+(一1 尸 5=-1-+(尸1 X V 1 0,3 N=当相 N 时工布一/IV.6zdydz+ydzc Lr+zdhdy6 计算）+,2+J j 外例cle2+b y2+c z2)i，,a 0i6 0,c 0.【答案】作a：心2+犷+02=（是分子且0）使其完全包含在k2+;/+22=1内，则利用Ga uss 公式有idydc+ydzd彳 十 匕di d?_,2 烹 2r(0 x2+9+j dyd z+yizdx+zda dy _(a x2+b y2+c z2)4Ga uss公式 jc dydz+ydzdx+zc l r dy*7.求幕级数 京*5的和函数，并指出其定义域。【答案】该鬲级数的收敛半径H=1,当定=1时，原幕级数化为E 竟二）,它是绝对收敛的，因此，原幕级数的收敛域为61 Ml,且 3 9 i xj 击，E。，可得C,52 In(1 x),|j r(1,8 1 R n I 1 I2-In(1 z)一,H，I X|1,JC 0.-r n+1 x因此，和函数SG)=S 小1-In(1 a)+生(1-,|1|V 1,元 0.显然S(0)=0,则S(l)=l imS=1+l im-0_上)=1,l x-r xS(1)=l im SGr)=1+l im”一 才乂匚，一1)=1-2Ln 2.+，+2 I 1 综上所述，原幕级数的和函数S(x)是一分段函数第7页，共62页灵博阅考研专业课资料 学长一对一诚招加盟1-In(1-x)+-n-，|卫|V 1,z#0,XS(x)=v 0,6 0,c 0)上点 P(x,y,z)处的切平面的距离，求第一型曲面积分，/(言/厂(2)设北乂 z)表示从原点O(OQO)到上半椭球面+1上点处的切平面的距离,求第一型曲面积分g篇荷(3)设乂z)表示从原点0(0,0,0)到上半椭球面S:z=72(I-x2-/)上点P(x,y,z)处的切平面的 距离，求第一型曲面积分，夕“：乂 z).【答案】如下图1所示，椭球面s O上点处的外法线向量为=泉卷1点p(x，y，z)处的切平面方程为x)+(Y-+-z)0a b cXx Yv Zz x1 v2 z2,BP+TT+=+7T+-F=1/其中(X,Y,Z)为切平面上的点a b c a b c原点到此切平面的距离为因此X/(x,y,z)yy 手叩S第8页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟由高斯公式得心+-=十一+一)如下图2所示，图2上半椭球面争g+Zz=l上点P(x,y,z)处的外法线向量为二*J,2z.点P(x,y,z)处的切平面方程为X(Xr)+(丫-7)4+(z-z)=0Xx Yy即万+w+左二】，其中(X,Y,Z)为切平面上的点.o(x y z)=原点到此切平面的距离为因此“7?7刘叩z.E A，)，/，MW+z2dS.又dS于是，原式X y-c o sc r+c o sy?+z c o s/补曲面S：z=0,5+g ,唠+(Z 但=0,BPXr+1zz=l原点到此切平面的距离为p(x,yz)=因此又于是，原式=dS.xc o sa+yc o s 夕+-c os y补曲面5：2=0,4,取下侧，则犷萨sa+*+zc o syJ=0.由高斯公式得0 717)=中0+1+心力也=3nl z(1 卜=机9.求下列级数的和设。=。,工=为(1)，”演=力，求级数%+%)之和.*=1”1XXX已知 Z(一D%=4 Z*=3,求 Z/FJ1 I 匚I第10页，共62页灵博阅考研专业课资料 学长一对一诚招加盟oe W n【答案】由/=乙-乙7（1）得24区+*”）=23*3）=|吧2*；73）=1叼x：=吐 n=l nI k-l8 R 00设Z%的部分和为S，ZT=8的部分和为r.,Z（-l）a“=彳的部分和为巴，则 n=l/r-1 n=l%”=一4+%一%一一%”-2+4.=_（/+%+一+口2.7）+（出+4+一,十的“）=-27；+5%.a2n-=a+%+-。2-1=一（%+4+出1）+（阴+4+2”2）=-27；+$2”_|于是l im S2n=l i m c r2n+2 l im Tn=A+2B,l i m S2n_（=l im a2n_1+2im Tn=A+28.n-20 n x n”n一工0G所以级数Z%收敛于a 23.I1 0.设f是I（*,y）IJ+/w 1 1上的二次连续可微函数，且满足富+2=/+计算积分 ox dy【答案】作极坐标变换：=c o s 0,y=r si n 6,则所以利用格林公式，有广字.也=（乎点=/（乌+当d的Jo dr 人2+/=R dn J/A dx2 dy%z.户 w，Z J=IT（/+J）dxdy=（呵p%=/于是1=fl/dr=若,r r dvdz dzdx dxdy“x2 y2 z2.1 1.求 Jr+r+丁，上为滔+记+7=1,（a、b、c 0）的外侧.【答案】计算!股，以外z为自变量，椭球上半椭球面方程为“5-W,曲面取正侧;下半椭 球方程为“时一号-1,曲面取负侧.于是口竽正好是上半椭球面占上积分的两倍.于是d）也1?72其中4为平面上由椭圆围成的区域第十亍w L利用变换有y=8co s。，0&/W 1z=crsin。，0WW24第11页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟三、证明题12.证明下列结论.(1)设函数u(x,y)在光滑闭合曲线L所围成的区域D上有二阶连续偏导数，试证明：J俏+制2瑞机其中n为曲线L的外法线方向，空是函数u(x,y)沿方向n的方向导数.on(2)设u(x,y)在口?上具存二阶连续的偏导数，证明u(x,y)是调和函数,胃+翡三。)的充要条件 是对R之内的任意光滑简单闭曲线L,总有步土由二0.du c u t du.,.,【答案 因0=瓦855，*)+85(”,尸)人05(,幻出=dy,c o s(,y)ds=dr,所以f,f f Su du r du du4 一dv=c o s(n,j r)+c o s(n,f)d.v=1 dx+-dvJ 2 d”J：I dr dy J J i dy dxC du.C du,du,rr(c2u(1)由格林公式存于周山吨瓦叱不小“出+港六(2)必要性:由格林公式得偿山=信廿号出=信+剽出(.充分性：如果存在点。(瓦，打)使得竺H劭+更龄型，5 ox dy不妨设其大于零.由于U(x,y)具有二阶连续偏导数，所以存在6 o,使得在。=。(0)上成立普+鉴 o.于是于学山=“114+14张由,。.这gx dy/.c n 3dx dy)与条件矛盾，所以u是调和函数.13.证明：若5 o,且%乎存在，则!如圾=!吧中，并求下列极限.（1）吧总则扁T（2）阳瑞；（3）!则苧）；（4）!叫春【答案】l im r/x=l im f/x*J-2-=l im n =l im=l im.is Vi 9J 1s x2%_1-xb4 1工演（1）设4=短，则l im/=l im，+里=l im卜+1=e.i8 xn n-*（+1）!nn nJ4）1:l im-Lr=l im-y=r=e-0=0.）tb Nn!ig Nn!n第12页，共62页同博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟14.若/)在打上连续，对任意的正整数n,令xk=a+k-(kr(n)=Z/(*)-f f(x)dx,几 =1 J a证明：l imnr(n)=/(6)-/(a),n-【答案】将r(n)改写:r(n)f(x)dx*=i LinvG n 2g=/(%*)-/(%)小(乙-%)/(a)d%9J 一|其中&e 44=%记Mk=sup|,m4=in f(4)9*W A.X A上由于匚产*_*=(-所以g整n冷*,而；(b-a)b a mk W nr(n)W；(6-a)匕-2 2 匕 2 n*7!注意到r(%)在a,b上的可积性，令n 8可得l i r a nr(n)=.。J/(无)dx=台？。/(6)-/(a)最后，我们给出利用重要概念和理论证明极限不存在的例子15.设函数f(X)在。+8)可微，且ra)=oj(o)o,证明若积分J；祠%3k收敛，则r+笛 1 Jo祠匕也收敛【答案】由/0,/(0)0知函数/在0,田)上正值且单调增加，从而 总在0,内)上非负单调递减，故W fw存在.1/(叽 1由 l im I；dx=-比J 0/2)/(0)帆7得积分匚第出收敛0“西一/a)+尸=尸a)+/(幻/(力4 7故J。(祠/(x)+/(x j改收敛进而 8!o丽也也收敛。16.设函数f(x)在0,1上单调减少，对任何正整数n,试证明下列不等式：g n第13页，共62页IV簟心博阅”handebooksm 考研专业课资料学长一对一诚招加盟并说明该不等式的几何意义.【答案】f(X)在。，1上单调减少，将im等分，分点为:q q,，噌1.可得 J：空哈卜E修d T*竦沙(中)一/停卜山一哈)十呜)-呜)+,“+，()_/一/-.n几何意义:不妨假设/0，曲边梯形的面积j：/(Gd工用不超过它的n个矩形面积之和代替,其误差不超过小73，即f(x)在0,1两个端点函数值差的：.17.证明：积分P 1 而 2袅卜 2|，ne-du|=2（u-l）e有界，而当J 0时，”单调趋向于0(关于x),所以由狄利克雷判别法知，积分收敛.但对适当大的自然数n,有J2nirIII.I-C DIAL X.C.1-dx=-r d 2（2几H+）41 rf.-1 e Win 2tdt（2n1 r+f）0-2（2.+f）（当八1 0*时）故对任意大的自然数n,都存在人 0，使上式不小于1.由柯西准则知，积分在(。，+8)上不一致收 敛.18设定义在R上的非负连续函数f(x)满足/(x)&J；(/(山，(a为常数).证明：(1当心1时f(x)=0；(2)举例说明，当0 a 1时，f(x)不一定恒为0.【答案】(1)当x&O时，0/1)0时，令尸=J；(。)“出，则尸(0)=0,0/(x)Fx)，且F(x)在0,内)上连续可微，0*尸(x)=(/(x)0时F(X)=0.若存在。时使尸(X。)。.记玉=inf x|xx。,尸(x)。)，则 F(xt)=0,在区,/)内 F(x)0._ 尸)令g(x)=Wx)尸，口(冷/)，则g)=a)尸(幻(尸(X)尸函示故g(X)在有限区 间区小。)内有界,但hmg(x)=l im：=+8,矛盾故当：时,/(x)三0.xA(r(X)0,x 0,(2)当0a 0显然函数f(x)在R上非负连续,不恒为0.第14页，共62页V簟心博阅V handebook8m 考研专业课资料学长一对一诚招加盟当XW0时，=出成立.a I I I当 x 0 时，/)&=限-初严山=(1a尸x武=(l-a)x产=/(a).Jo J 019.证明下列结论.(1)设。(s j)具有一阶连续偏导数，对任意实数名，=3，W，试证明：x x Jdu du Su工荒：仁丁六十优丁二砌(n为自然数).o x dy dz(z z)(2)设 z=z(X,y)满足 F x+,y+=0,其中 z(x,y),F(u,v)均可微，试证明：I y x)dz dzx+y=z-xy.ex dy(3)设2=/(乂乂口)=刈+工产()，其中F(u)可微，My dz dz=试证瓦+y豆=z+w【答案】(1)记的，修分别表示。对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数.=nxnnu ex dy dzZ Z z z 1 1(2)记*7+7丫=了+如则二月一了路鸟=一了4+工，工?于是故dz dzx +y=z-xy.dx dy(3)z.=y+尸+x尸(“)%=+产Q)-2F(“)，Zy=x+xFf(u)uvx+xF(u)=x+Fu).X X于是x+=xy+xF(u)-yFr(u)+yx-yFu=xy-xF(u)+xv-z+x dx dy r20.证明下列结论.8(1)设数列%有极限l,证明:/a)=2 x”在(-i,i)上有定义一幻/江.“=】产 g(2)设数列!叫4=a证明:级数的收敛半径R N 1；设/=X K，贝u p*a-x)/(x)=a二0H=l师0-x)J：普=a【答案】(1)先证：x)=E“Y在(-1,1)上有定义.第15页，共62页考研专业课资料学长一对一诚招加盟当L=0时，/=在(-1,1)有定义a当#0时，l im上=|x|l xtIn-l L=岬(%”,卢川一力:叫做+以+产-寡产 i y m j j i m)=q+Z(a川 一 q)=%+二aJ=L.“f Xrt=lg(2)若a=0,则级数的收敛半径尺=oo.n=1若a w 0,由于|吧a=1,故级数的收敛半径R=l.n-l由(1)得物(1 T)/(X)=4.由于粤=之=名W,其中=/+%+4.故 n=l h=IrZE)=yjx-JimA_=a.J 0 1T 74 M+l 28+1于是l im(1-x).，)=l im(l-x)鸟.xn+=a.T J。IT f +l21.证明下列结论.(1)证明:函数/&J)=，/+丁 分别对每一个变量X和V是连续的，但不是关于二变0,x2+y2=0量的连续函数.(2)证明二元函数/(x,y)=J/+炉 分别对每一个变量连续，但关于二元变量不连续.0,(x,y)=(0,0)【答案】(1)当f+y2Ho时，f(x,y)连续.因/(0 J)=Oj a,0)=0,l im/(0,y)=0,l i m f(x,0)=0,故 f(x,y)分别对每一个变量 x 和 y 是 连续的.因j j i f(x,y)=!%+“=77F，卜取不同的值，极限值不同，所以四)不存在.于是f v=f a rj(X,y)在原点不连续.(2)当y/0时，VxeR,l im/(x,y)=l i m j-；=/(/,).l im/(.r,0)=l im0=0=/(),0)io-%x+.工 Xq+y f xto所以二元函数f(x,y)对变量x连续.同理可证,二元函数f(x,y)对变量y连续.2xJa Ik 2k由于Umf(xkx)=呵，篦2=呵丁一不=ITT，极限值随k的变化而变化，所以二元函数f工一()-0 x+k x i)+k l+k第16页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟(X,y)在原点(0,0)不连续，从而函数f(X,V)关于二元变量不连续.第17页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟【基础】2024年重庆邮电大学070100数学602数学分析考研基础检测5套卷(二)说明：本书按照考试大纲、历年真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，由学长严格审核校对，仅供 考研备考使用，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。一、填空题1.设曲线C为,r2+y2+z2=6与z=+.y2的交线,则在曲线c上点(l,l,2)的切线与法平面方程分别为vTW+c o s 工 _2.X(l n(j：3+si n%)=(x3+si n+与.【答案】7=叩=宁、3z9y+22+2=0j y 4二、解答题2.用对数求导法求下列函数的导数：(1)3；=(x3+si n x)-；(2)yx【答案】由于l n、=mn(/+s in外，可得y=j/(l n J/),=?(/)11(彳3+sin 彳)+3.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点从点(即0)沿楠圆移 动到(0,b)a、b0,求力做的功.In(jc3+si n,x(x3+si n jc)刃.(2)由于 In 3=l n 1 I-l n(1x*2).In(1+x3),可得(In +91 n(l力)，_1 _(in(l+/)1y=yx a/i xz r 1 _71+Lx1 I?342 12(1+)x【答案】依题意k,在x轴的分量为卜kx不7=7”，在y轴的分量为后,所以该力做的功为a2 co sOsinB,kx x2+y2dx+*7dy/co sJsinazco s2+62sin2 a2 c os?8+b?sin2 0derr b -a2)co s0sini9 JZ),2 者-66=-kb a 2 co s2 8+X sin 2 8：(川-q2)ta n8 a2+b2 ta n2 0工(h2-a2_2dg ac otd+b t a nglaugz=一k群耍 da rcta nz，az+b2z2-60(b2-a2)z(a?+/z?)(l+z?)k_ 2k2(-笳)kw=-j Fdl=pnm+叵也面第18页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟这里利用了x=ac osG.一，o这 y=b sin3 24.研究下列极限的存在性.若存在，求出它的极限.3 3lim(0.0)x+y【答案】由平均值不等式，有4，B 力+y-34 4X X 8十+yT-?元到田即I町忖V孤-W 4.8 2x+y J于是，有3 3x+y0H冷当盯H W号|町|土由两边夹定理知，原极限=05.计算第二型曲面积分/=1r f(#，7,z)+xdydz+2fx,y,z)+ydzdx+/(x,y,z)+z dxdy其中f(x,y,z)为连续函数，是平面x-y+z=l在第四卦限部分，方向取上侧.答案设曲面 的单位法向量为(c o sa,c o s0,c o sy),则 dydz=c o sa dS,dzdx=c osdS,dxdy=c o sydS.由此可得dMz=d 4d九dzdX=鬻匕打.VvJD j WD Y1c l 1具体到本例，cos=后 c。第=,c o sy=后，因而 dydz=dxdy,dzdx=-dxdy于是/=(%,y,z)+%-2/(x,y,z)+y+/(x,y,z)+z dxdy=/(4-,+2)dxdy=J dxdy=-y其中0=|(%,y)|0&x Wl+y,-l Wy W 0 I是曲面在xOy平面的投影.6.设f(t)连续试证明于(ojc+b y+r z)djc dydz=ttx21十/41其中 k=Va2+b2+cz0.(1 m)f(kuydu,J(+zy+n)dydz,s其中s是球面G a/+6p)2+(z 力2=夫2,且积分是沿球面外侧而取的.【答案】作旋转变换，使平面a h+0y+c z=0变成a/空间中的坐标平面J=o,则/(o r+b y+c z)dxddz=Z2./x si n-/x+C 令r=&，则-1Jc o s2 y/xdx=J2z c o s2 tdt=Jr(l+c o s2f)d/=+-Jf dsin2/t2=一十 2；(，si n It-卜 in2Mr)=-y+I r si n 2/+c o s 2r h C=(lx+2&si n 2x+c o s 2 6)+C4(3)j x si n a x c o s b xdx=g J xsi n(a-b)x+si n(a+6)xdr=gc o s(a-匕)x c os(a+b)x1=x2 I1-x2a-ba+bc o s(a-b)x c o s(a+b)xc o s(a-b)x c os(a+b)xa-bdxc os(a-b)x c os(a+b)xa-b11 si n(a-6)x si n(a+b)x j 2(a-b)2+(a+b)2)a+b22a+b第21页，共62页图V簟心博阅V handebook8m 考研专业课资料学长一对一诚招加盟11.设6)在(7，位)上连续，求J,|必+彳(优八号)-1时,其中L为从点d3,|；倒点B(1,2)的任何分段光滑曲线(不含y=0的点)(2)L为从点A(2,3)到点B(3,2)的任何分段光滑曲线(不含y=0的点).(3)L为上半平面y 0内的有向分段光滑曲线，起点为A(a,b),终点为B(c,d).(a b=c d)【答案】记八号型,。十力.MD,则当.”。时，/皿写但1噜因此只 要路径不过x轴，点A到点B的曲线积分与路径无关，如图1所示,3 r-r 2=(_ 3)4-1 f(y)dy+I,./(v)dv+-=-42 J 2 J j y 2如图2所示，I 1_ _ _ 1 1_.0 2 3 X图2取路径42,3)f。(2-8(3,2).1dx+)d.y=J：V(./(2y)l)dy+J=2j 2力一 d p+取积分路径L为由点A(a,b)到点C(c,d),再到点B(c,d)的折线段,f lf+)(/(xy)-I)d 第22页，共62页V簟心博阅V handebook8m 考研专业课资料学长一对一诚招加盟=I：0+加)欣+J：亍(/3)-l)dy=L-+j：b f(b x)dx+J：-c a r r c a cc 0,令G(t)=/(x)-/(-)(1 a)/(a)+(1 一&)一力)p-a显然G(a)=G(b)=0.可以证明GJ)40，如若不然，工心使G(如)0.由于GG)。，必存 在最大值，不妨设即为最大值点，船。，当工6 3 一心乃十)有8(“)+G(xi-rk)2G(力)今、八 l im-=,U/1 E 汽这与l im GQ)+二)+6?F 士(；(受1=o矛盾，所以GQ)40,即/(j)&-7“)(工a)+/(a)(x a)(z b)b-a由珀勺任意性，令f。+得到r,、/(fr)/(a)zfx)1-；-(J-a)+/(a)b-a类似地可得到门、r f(b)f(a)(l f(J kj c)N-；-(r a)-t f(a)b-a故f(x)为线性函数.1 3.证明下列结论.(1)设f(x)在H，+M上有直到n阶导数，且蚂/(X)=，啊W=纥证明：l i m/(X)=0,A=1,2、,X*.【答案】(1)“w(a,+o o),写出x+DJ(x+2),J(x+-1)在点x处的泰勒公式得到关于 八外,/5)。)的线性方程组：门.、_、/(X).尸川(幻r,工 1!(一 I)!ni其系数行列式为1,解此方程组可得：/加/3,，广7(%)都是/口+力-/(力,/叫。)，/叫切族一 JJ=1,2-J-1的线性组合由题设/一，,，吧尸口)=8存在，故即*+/)-/(幻)=0 叫/圆)存在(j=l,2,.,n-1).于是/*)，伍=12存在。由她/(幻，/伙工)存在可得/皿(幻=0,由前面所证得到J亶尸)(x)=0(k=l,2，n-1)14.设 f(x)在0,1上可导,f(0)=0,0 P/3(x)dx【答案】对任意t eo,口，构造函数第23页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟F(力=j f(z)dz J f3(x)dx显然，F(0)=0.下面证明函数F(0在0,1 上单调增加，对F(t)求导可得FQ)=2y(z)/(x)d r-/3(z)=/(力(2(了(工)也一尸)不妨令HQ)=2of(x)dx 一/，显然H(0)=0,对H(t)求导可得Hit)=2/Q)2/(力/=2/(i)(l-，)0因此，对任意比0,1,有H(z)H(0)=0.又因为0)=0,/(2)。，从而对任意去0,1,有了“)Nf(0)=0.因止匕，皮(力)0,可得F(l)F(0)=0,即J：/(1 z)d zy3(x)dx当r&)三1时，不等式也成立。15.证明：(1)极限:吧s in g不存在.(2)极限亶8$工不存在【答案】取%=1,对任何30，存在正整数，取V=工,*”=，兀+小，则有x Xw d(Xo，o nn I 2 J而1.1,si n-si n=I=%.x：x：由柯西收敛准则，极限l in k in,不存在3 X(2)设X=2兀，匚=2n+5(n=1,2,3)则X：=Inn t-Koo,x：=2nn+y +oo(n-x),故COSX：=1 T 1,COSX：=0 T 0(T 8).由归结原则知工巴COSX不存在。16.证明：若f(x)在0,1 上连续，令pi GO九(1)=/(7),/十(7)=j f(y)dy(jt6 0,1,兀=0,1,2,)，则 X(了)在0,1 上 n=l一致收敛于中(z)=e，/6)也.【答案】因f(X)在0,1 上连续，所以mM 0，使得1/(%)0,门，于是I 力(N)1=|/。6)必 !f(y)|d y M(l-x),I f2(x)|=f i(y)d)&M(1 y)dy=M(1.)-,|J x J x C J用数学归纳法易证r i _ qaI(n)|&M-：-,n 1,2,n!OQ 0a当/G0,时，粤，而界收敛，所以级数X几a)在0,1 上一致收敛，记 T i I*jl 尸I n=lnoe(z)=2/(x),则第24页，共62页V簟心博阅V handebook8m 考研专业课资料学长一对一诚招加盟6%）=j+j dj J 的）d H-,上式两边同时加（x），然后在二，门上积分得J f（）d;y+j 夕（“dy=中（工）,中（1）=0,对上式求导得/（1）=）dy.17 设/（*）在0周上可导，且f（0）=0,f（1）=1冉向，人为n个正数.证明在区间0,1内存在一组互 不相等的数修不，乙，使得 L K【答案】用上例的思路来证明之.令K=匕+总+,，+股,为=。以及 y,=（自+A+）1=1,2,n 显然。=%。力 力 九=1.取%=。4=1.在0,1上对/（%）应用介值定理，可以求得一点 h G（0，1）使/（即）=九再在小1上对/（%）应用介值定理，又可求得一点G e（八，1）,使/（G）=%.如此 下去，可以求出D%-*。足够小使得球面3包含在S内），方向取外法线方向，S-为球面 r+/+r=f2,方向取内法线方向.由Ga uss公式得第25页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟可中 4,d5+可4 ds=IJJdi v/l dK+s suu a v1 9.证明下列结论：(1)若f(x)在0,1上连续,则呼产%/Xz)=f/(0);(2)l im f sinxdz=0(类似有 l imc o sid1r=0)；L8 J o L8 J 0(3)若f(X)是定义在(-8,+8)上的一个连续周期函数，周期为p,则l im f=/(OdzJTf+8 X J 0 p J 0(4)若f(x)在0,肩上连续，n为正整数，则l im /(j 7)|sinnr|dx=f/(x)d xn-*oo J o 7T J 0【答案】(i)口声八.反=r-彳八幻五+r,忌彳/a)d x里l+心.由积分中值定 J 0 ft-f H.J 0 rL *jC J A 4 fL|理得r/ii l 7 九+3Zi=/()ydj;=/()a r c t a n=y()a r c t a nA-(0 4 九；)，Jo h+x n o于是l im Ii=l im/()a r c t a nA-=5 f(0)MO4 IO七 乙因为因X)在0,1上连续,所以存在M0,使得Iz)KM.x GCo a,于是2 1=心 T?=M(a r c t a n九t a r c t a nA-)0(h f 0+)所以光哈=故l im /(x)d x=-y/(0)+Jo h 4-x 2(2)对Ve。，不妨设 N时有从而当n N时，O&j：Sin(f-f)+|0,存在正整数n，使得x=w+，,zG0,“)，于是l j 7(/)d i=1(ST/山+广八回X J Q np+X 仁 J(.k-lyp J np/二iv(1)+)&)山+：)&)第26页，共62页考研专业课资料学长一对一诚招加盟故上巴i 口山=也 产7仃山+l im石%&)山=10山.(4)对任意的正整数k,I si nnz|d*令”1|s】n|du=1 Psinudu=2Jn J（,k i）x n J o n因为f(X)在0,人上连续，利用积分区间的可加;性及积分中值定理得I/(7)|si nnz I d_r=f(x)I si nzi r dzJo 仁|sima|dz T）千=大=1 J 7r 9-Zf（&）.A=1 H=2Xf（&）工，（6-i）三&左匹 n 仁 n n所以l im j fix）|sinn.r|d.z=l im力/（&）=（/（x）dx.20.(1)设f(x)在1，+8)上非负递减，证明当 T+8时，Z f出一/已有极限L,且o w L W川).(2)X-1设+看(”=2,3,)，证明数列凡收敛.【答案】(1)令4=/w-f 7(x)加，由于/a)在口，+8)上递减，所以A=1。+=/(+D-，(x)dr=f/(+1)-/(%)dr 0即%是单调递减数列.又由4%)在口，+8)上非负递减知q=/(&)-八、四=/()+)-外出=/()+/一/1dxM从而吗是单调递减有界数列，且0W%Wq=/,故当 T+8时，A)-/(x)&有极限L,且0WL/(D.(2)令/(、)=(+刈：D，则yfk)-r1 f(x)dx=v-r1-上台、八)&l nk$(U x)l n(l+x)-V!-In In w+In In 2Wknk由于/(X)在口+8)上非负递减，从而由前面的结论知煮-l nl n+l nl n21收敛，故数列凡收敛.21.证明：(l)/7 在不含a=0的任何区间上是连续函数；(2)F3=广普端彳在(0,2)内连续.【答案】(1)设a#0,ma i，a?使0c n a(也或6&a 4呢。.不妨设0 V 6 W a&a z I/(2.a)第27页，共62页灵博阅考研专业课资料学长一对一诚招加盟即：8尸(外也收敛，则F(a)=在任何a.皿区间上一致收敛.所以F(a)=W滔在以处：上连续而下面证明a=时，！吧F(a)不存在.d(-)=,a V 0a a.3 du-：-hm j-1()2-J。1+a7所以吧F(a)不存在.即在a=。处F(a)不连续.(2)由F)=初詈+：、(；=.产出，其中。a 附.根据Ca uc hy判别法:当p-1 1即p 2时,上面第一个积分收敛；当根 0时,第二个积分 收敛.故当0 p 八+z：+zj d*dy=f尸哼产d,m?户4M 0=r叫小+黑”=篇也)+由题意知，*=-0-9S,即华=嗦，解之可得13 h(t)=-g，+C由初始条件h(0)=1 30,可得帅)=-科+130.令)-0可得t=1 00(h).故雪堆全部融化所需的时间为1 00h.3.将/(乃=：回/”展开成F oxier级数，并证明O,XE(0,兀J.,sin 3 sin(2w+l)-Jr=4 sml+-+-+L 3 2+1 _【答案】由于=-r 山=71 4”兀力4 二一/(x)co snxdx=co sxdx=0,w=1,2,71 j 71 K1 rff 1 r 1+b-/(x)sinnxdx=I sinxdx=-,n-,2,一 冗人“无比 W7t1 X+(_严1 所以 f(x)的 Fo ur i er 级数为 y+Z片sinwx.由收敛定理知第29页，共62页考研专业课资料学长一对一诚招加盟I 三 1+(1尸./(I)=-+Z-sin n1 y 2sin(2+l)Q十马(2+I)兀于是迂:喘胃=2/(1)-中=-兀，结论得证.4.求下列不定积分.(l)j，ema x(l xlc k.(2)J ma xl,x2dx.(3)Jma x2,|x|dx.(4)Jma xl,|xdx.【答案】e3=t：则Jema*,uldx=-ex+CpX.记尸(幻=ex+Crx 1ex+Cx 1.x2,x-l,(2)因为ma xl,x。=1,-1 x 1,.记尸(X)=+C),x -1X+G，,因为F(x)必须满足连续条件所以 x3-F q,X3l i