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专兼棍翻铁的前罩 几何辘质(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点F的距离与到定直线/的距离比为常数e的点的轨迹,(定点F不在定直线/上)当Ove0)(2)开 口向左/=-2px(p0)(3)开 口向上 x2=2py(p0)(4)开 口向下 x2=-2py(p0)在平面内，与一个定点F和 一条定直线I。不经过点F）的 距离相等的点的轨迹叫抛焦F 物线.e=1|MF|=d|MF|=d准线点F叫抛物线的焦点，直线I叫抛物线的准线d为M至ij I的距离即:若!吧=1,则点M的轨迹是抛物线。标准方程焦点F冷0)厂(*0)x2=2pyx2=-2pym-y)准线PX 2P x 二 一2邛峭)P y=2鬓础自测1.抛物线N=4y上一点4的纵坐标为4,则点4与抛物线焦点的距离为()A.2 B.3C.4 D.5解析：点，与抛物线焦点的距离就是点，与抛物线准线的距离，即4-(-1)=5.答案：D2.抛物线的准线方程是y2=0,则。的值是（）1 1A-8 B.-gC.8 D.-8i解析：将抛物线的方程化为标准形式f=其准线方程是y1 1F=2,a=-3.答案：BP(x,y)由抛物线材=2/zr S0)而 2Px2 0 1/?0 J0尸（条。）X0所以抛物线的范围为x20抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。、对称屏（x,y）关于*轴 对称a(%y)y P(x,y)由于,y）也满足俨=2X,故抛物线y2=2pxe0）关于X轴对称.尸(00)X定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。由，=2,Jpo）当 y=0时,x=0,因止匕抛 物线的顶点就是坐 标原点（0,0）oy P(x,y)注:这与椭圆有四个顶点，双曲线有 两个顶点不同。4、离芯率抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线 的离心率。由定义知，抛物线 2=2px 俗0）的离心率为e=L抛物线俨=20 x(p0)的开 口方向向，y2=2px+X,x轴正半轴，向右y P(x,y)。明 0)Xy2=2pxX,x轴负半轴，向左x2=2 py2X=-py+y,y轴正半轴，向上y,y轴负半轴，向下L抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸，但它没有渐近线；2.抛物线J 条对称轴，没有 y*对称中心；3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；4.抛物线的离心率是确定的，为1;X-h:棚.物纬标沿方班山的“血珊物纯越大方程图形准线隹占7Tx/w对称轴y2=2Px(p 0)y2=-2px(p 0)yto-Xp x=_.yLo-XpX 尸6,0)X轴X2 二 2py(夕)VX2=-2pyo)yt二二尸刍*g,0)o尸(0,f)(0,-f)X轴y轴y轴方程焦点准线开口方向y2=6x厂G，o)丫-3%-2开口向右y2=-4%/(TO)X=1开口向左x2=4y尸(0,1)y=-i开口向上2x2+7=0厂(0厂y=l开口向下（二）%的：抛物俵的人何俊展5、由很过焦点而垂直于对称轴的范 AB,称为抛物线的通径，|AB|=2p 三利用抛物线的顶点、通-T 径的两个端点可较准确二二|：画出反映抛物线基本特 征的草图.2。越大，抛物线张口越大.P越大，开口越开阔1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 16.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线上，其中一个顶点为坐标 原点，则这个三角形的面积为48五。6、信有役连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式:PF|=x0+p/2抛物线上一点到焦点的距离P（x（p yo）在y2=2px上，|尸厂|二 X。+P（x（），y（）在y2=-2px上，|P尸|=一/P（x（p yo）在x2=2py上，PF=y+-P（Xo，y（j）在x2=.2py上，|FF|=-y0归纳：(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条 准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为1,、抛物线的通径为2P,2P越大，抛物线的张 口越大.例1.已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且过点M(2,-2后)，求它的标准方程.解：由题设抛物线方程为黄=2.=(2a/2)2=27,2=p-2，所求抛物线方程为=4%.焦点R且与抛物线相交于4 B两点,求线段的长.小-解这题,你有什么方法呢？F CB法1：解出交点坐标；计算弦长（运算量一般较大）；一法2：设而不求,运用韦达定理，计算弦长（运算量一般）;广=4X且与抛物线相交于A,B两点，求线段令B 解法一:由已知得抛物线的焦点 fy为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1代入方程P?=4x,得(x I)2=4x,化简 6x+l=0._ _I%1+x2=6X+x2=1BXAB=2(%!+x2)2-4%1%2=8夕+X+迎且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的匕 解法二:由题意可知,P=2,f=1,准线/:x=-1.设4(芭 J1)产(%2,%),4 6到 准线/的距离分别为/4 由抛物线的定义可知，yXAF=dA=X+1,忸司=dB=x2+1,所以=|4F|+忸.=项+8+2=8练习：令y=0,得到焦点坐标1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，I 焦点在直线3x4y-12=0上，那么抛物线的标 准方程/=i6x.I2.过抛物线尸=疝的焦点，作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为 163.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4，求直线AB的方程.X3例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个点 在抛物线y2=2px(p0)上，求这个正三角形的边长.解：由题可设一个顶点(V3,a)贝 ll 由 I?-2p3a=q=2np n三角形的边长为瓦.例6.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),0为抛物线的顶点,OA OB,则A AOB 的面积为()A.8P2 B.4P2 C.2P2 D.p2解：由题可设一个顶点(/。)贝1J 由a?=2 pa=a=221、范围：2、对称性:3、顶点：4、离心率:5、通径：6、光学性质:一、直线与抛物线位置关系种类1、相离；2、相切；3、相交（一个交点,直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线y=x+2与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相离。术It2、直线与抛物线相切，交与一点。例:判断直线y=x+l与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相切。例：判断直线y=6与抛 物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一 元一次方程，容易 x解出交点坐标4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。例：判断直线y=xl与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一 一元二次方程，需计 x算判别式。相交。判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的 对称轴平行计算判别式0 A=0 A贝W()2=6 4x0 d=1 43%+46|=2 V16+9将殉=”代入得：642一生+o+46/2+48%+16 x 465 804x0+3%+46.当K=24时,2mhi=2 此时P(9,24)另解:设直线4%+3歹+加=0与抛物线相切4x+3y+m=0 16由A=0得:m=36交抛物线于4 3两点,通过点z 和抛物线顶点的直线交抛物 线的准线于点。，求证:直线/用平行于抛物线的对称轴.分析我们用坐标法证明即通图2.3-5过建立抛物线及直线 帧程，借 助方程研究直线，出与抛物线对 称轴之间的位置关系建立如图2.3-5所示的直角坐标系只要证明点。的纵坐标与,黜的纵坐标相等即可证明 如图2.3-5,以抛物线对称轴为X轴,它的顶点为原 点，建立直角坐标系 设抛物线方程为/=2K2、f yAX图2.3 5点4的坐标大丁/02P)线04的方程郑二红x,，则直抛物线的准线方程为x=-)2与/=22遇关立，可得5点的纵 图2.3-52坐标为尸上.次由（4）、（5%昆）5 x轴，故Z用平行于抛物线的对称轴例3、已知过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于y2=2px（p 0）两点。（1）再-2是否为定值？乃.为呢?1 1（2）+是否为定值FA FB这一倍徐薇希奇眇，变中嗡系变，劭中劣系劭，一 已知过抛物线/=2px（o）的焦点厂的直线/交抛 物线于力（*1，1）/（*2办）两点.问题 1：求证:|AB=xx+x2+pAB AF+BF=（xi+f）+（x2+f）-xx+x2+p丛书62页12题点/时且我/父地物线于4（%必）/（*2，%）两点问题2:若/的倾斜角为。，则|482P sin2 6解：若3则阿=2”此时45为抛物线的通径，结论得证若工，设直线/的方程为：y=（X-）ta n氏即x=3二十2 2 ta n 0 21代入抛物线方程得：/2加 -p2=0,ta n。x已知过抛物线r=0）的焦点方的直线校抛物线于）/（*2,y2）两点.问题3:焦点弦中，通径最短.解：由问题2知：48 一sin2 6sin2 0 2,sin2 0.Z叫的最小值为2p,即通径最短.通径的性质：通径的长度：2p;（3）通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.oFKB Bx已知过抛物线r=2内（00）的焦点F的直线/交抛 物线于）,刀（*2，2）两点.2问题4：求证：x1 x2=丁,%y2=p2-解：由问题2的解法知：y2=-p发现一个结论：T.4An g 2 /占A 2=上 AA 击12”出物我y-=/用（刃try育忌圳余旦 线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为弘、y2,贝 p2a逡一辂卷旌多奇枕变中嗡系或KN几何解释,就是|m|-|a|=|af|2已知过抛物线/=2内（00）的焦点方的直线/交抛物线于4（知必）/（电，%）两点,问题5:求证：以为直径的圆与准线相切解：设48的中点为M,过4四/分别作准线的垂线，P已知过咖物线y2Pp O）的蕉点产白勺百线交咖2 物线+N（事 乂）A（“2，,2）两点，1 12|句逾6:求证：1+=三 g FB p 一 “I 解法1：过4,5作x轴的垂线，垂足分别为A,S,直线的倾斜角为8,1m|=|七川+|口|=P+|AF|cos8=AF a.4F=1-cos81 1 cos8=丁m 1 l+cos8 1 1 2=-同理 1一i=-+i-(=-af P bf p fa fb p已知过咖物线y2=2 px（p o)的焦点产的:线交咖物线+N（事 乂）A（“2，,2）两点，1 12问逾6:求证：1+=三IJFL4I FB d解法2:若直线曲斜率不存在，结论显然成立,若直线布悻存，设为A,则2 A(9已知过旃?线的线，交抛 物线于N(X/与(2/2)两点2问题0Si=五%万.C=C I C AOAB *NOBF 丁 AOAFOF BF sinO-OF AF sinS2 2=-OF2.(|力歹+忸歹|卜山9OF AB sin。21 P 2P2 i sin2 62 sin。sin。0)1 AB|=x,+x2+p(2)恪=4yly2=p24(3)1 1 2-+-=AF BF P（4）4 o,星三点共线S o,4三点共线例4、已知抛物线C：y2=4x,设直线与抛物线 两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1),求直线/的方程.说明：中点弦问题的解决方法：联立直线方程与曲线方程求解 点差法例4、已知抛物线C：y2=4x,设直线与抛物线 两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1),求直线/的方程.-解：设交点坐标为为)，B(x2,y2),代入抛物线方程，得力=4菁，二缶 将两式相减，可得(必 一+为)=4(七一.)=-因为+)2=2七一工丁 y+F所以斜率k=2直线方程为：y-l=2(x-2)即 2x-y-3=0例5、已知抛物线y2=2x,过Q（2,作直线与抛物线 交于A、B,求AB中点的轨迹方程.解：设4,耳）,笈（不弘），/冰点（兀y由4=2%相减得包二里=x2JM=2%2 玉一%yi+y2-k=-一ABy又3 V x-2a n，=-即y 2yx+2=0 y x 2当X=/=2 时,(x j)为(2,0)满足y2y、+2=0中;迹方程为Vy x+2=0ITJ，必修手yX,3幺AD日、J H力，）个AD T 孙土4小日、J 取，J、1且。解法二：设4（七,弘）,32歹2/6中点位（工0，歹0）2MN=AE+BC,MN=+yQ=-+yQ,O|皿|+BC=2（；+Jo）电二一一D N CAD=AFBC=BFAF+BF=2（+y0）M.BFAF+BFA=2利用定义解题设尸和2.4(%尸到点(0,1)的距离与点尸到y轴的距离之和的最小值是?解：曲为2=4(、1)表示顶点在(1,0)焦点到准线的距离为的抛物线所以抛物线的准线：X=0,焦点:尸(2,0):.d=PF%又|尸川+|尸E闫AF40当4 P,尸共线时(10/1+1 PF|)min=|AFI，当 =9 时尸 C|min=W 2 111111 2
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