2022年春九年级数学下册湘教版版：第2章圆.pdf

01 基础题第2章圆2.1圆的对称性知识点1圆的有关概念1.下列说法正确的是（。）A.直径是弦，弦是直径3.过圆心的线段是直径C.圆中最长的弦是直径D.直径只有一条2.下列命题中正确的有（A）弦是圆上任意两点之间的部分；半径是弦；直径是最长的弦；弧是半圆，半圆是弧.A.1个3.2个C.3个0.4个3.如图，已知AB是。的弦，且AB=OA,则乙AOB=效度.4.如图，。中，点A,O,D以及B,O,C分别都在同一条直线上.（1）图中共有几条弦？请将它们写出来；（2）请任意写出两条劣弧和两条优弧.解：（1）2条，它们是弦AE,AD.答案不唯一，如：劣弧有，等，优弧有，等.知识点2点与圆的位置关系5.（梧州中考）已知。的半径是5,点A到圆心。的距离是7,则点A与。的位置关系是（C）A.点A在。上 3.点A在。内C.点A在。外。.点A与圆心。重合6.已知。的半径为6，点P在。内，则OP的长可能是（A）A.5 B,6 C,7 D,87.圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是（。）A.（3,4）8.（4,4）8.（4,5），（4,6）8.已知。的半径为R,点P到圆心。的距离为d,并且d R.则点P与圆O的位置关系是点P在。上或。外.9.（教材习题变式）已知。的半径为5 c”,A为线段OP中点，试判断点A与。的位置关系：（1）OP=6 cm;（2）OP=10 cm;（3）OP=14 cm.解：（1）点A圆内.（2）点A在圆上.（3）点A在圆外.知识点3圆的对称性10.（三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是0）11.如图，。与。是任意两个圆，把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，请你作出这个图形的对称轴.解：如图所示.02 中档题12.已知一点到圆的最小距离为1 cm,最大距离为3 cm,则圆的半径为（0A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.1 cm 或 2 c m13.如图，点A,D,G,M在半圆。上，四边形ABOC,DEOF,HMN。均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是（B）A.a b cB.a=b=cC.c a b）.b c a14.（连云港中考）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）.如 果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，贝h的取值范围为（8）A,2r B.r3C.r5D.5r 提示：从图中可计算出到点A的距离最近的是二,其次是=,这样的点有两个，再次是=3，恰好只有三 个点在A内，则半径r的范围为：r 3,故选择B.15.已知一个点到圆上的点的最大距离是6,最小距离是1,则这个圆的直径是7或5.16.如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和为2H.（结果保留TT）17.如图，在。O中，AB为弦，C,D在AB上，且AC=BD,请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由.解：等腰三角形有两个：AOAB,aOCD.理由：.6=08,.OAB是等腰三角形.,-.aA=aB.又.AC=BD,OA=OB,:.aOACaOBD.,-,OC=OD.OCD是等腰三角形.18.由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400攵加的B处，正在向西北方向转移，如图，距沙尘暴中心300攵加的范围内将受其影响，问A市是 否会受到这次沙尘暴的影响？解：过A作AQBD于点C,aABC=45,-,AC=BC.又 AB=400 km,AC2+BC2=AB2,-.2AC2=4002,可得 AC=200 km CD B.AB=CDC.ABCD D,不能确定6.如图，已知在中，BC是直径，=,MOD=80,贝1吐ABC等于(8)7.如图所示，在。O中，AC,BC是弦，根据条件填空：若 AC=BC,贝IJ=,乙AOC=与BOC;(2)若=,则 AC=BC.乙AOC=BOC；(3)若乙AOC=乙BOC,则=,AC=BC.8.如图，在。中，点C是的中点，乙A=50,则乙BOC等于皿.第8题图 第9题图9.如图所示，在。中，=,aB=70,则乙A=4Q2.10.(贵港中考改编)如图所示，AB是。的直径，=，乙COD=34,求乙AEO的度数.解：；=,乙COD=34,-.aBOE=102.,OA=OE,乙 AEO=乙 EAO=乙 BOE=51.02 中档题11.如图，AB是。O的直径，BC,CD,DA是。O的弦，且BC=CD=DA.则乙BCD等于A.100 B,110 C,120 D.13512.如图，在。O中，已知弦AB=DE,OCAB,OFDE,垂足分别为C,F,则下列说法中正确的个数为(Q)(DOE=z_AOB;=;OF=OC;AC=EF.A.1 B.2 C,3 D,413.已知，是同圆的两段弧，且=2,则弦AB与2CD之间的关系为(8)A.AB=2CDB.AB2CDD.不能确定提示：如图，在圆上截取二，连接DE,CE,则有二.：.AB=CE.又CD+DE=2CDCE=AB,-.ABOF=r-1.,OEAB,-,AF=AB=x 3=1.5.在 7?mOAF 中，OF2+AF=OA?,即(r-1)2+1.52=解得=.即圆。的半径为m.02 中档题10.如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为（。/、一,A.2 cmB.cmC.2 cmD.2 cm11.（西宁中考）如图，AB是。的直径，弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,乙APC=30。.则CD的长为（0DCA,.AJB.B=45.C=75.由=2R,得R=l.周周练（2.1 2.4）（时间:45分钟 满分：100分）一选择题（每小题3分，共21分）1.已知。是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（-3,4）,则点M与。O的位置关系为（A）A.M在0。上 3.11在00内C.M在。外 D.M在。O右上方2.（黔西南州中考）如图，ABC的顶点均在。上，若乙A=36,贝bBOC的度数为（Q）A.18 8.36 C,60 D,723.如图，AB是。O的直径，点C,D在。0上,且点C,D在AB的异侧，连接AD,OD,OC.若乙AOC=70。，且 AD|OC,贝bAOD的度数为（0A.70 B,60 C,50 D,404.如图，在半径为5的。O中，弦AB=6,OPAB,垂足为点P,则OP的长为（OA.3 B,2.5 C.4 D,3.55.如图，四边形ABCD内接于。，AB=AD,连接BD,若乙C二120。，AB=2,贝QABD的周长是（。A.3 B,4 C,6 D,86.一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（。A.30 B,150C.30。或150 D,不能确定7.（南宁中考）如图，AB是。O的直径，AB=8,点M在。上,乙MAB=20。，N是弧MB的中点，P是直径AB上 的一动点，若MN=1,则VMN周长的最小值为（3）二 填空题（每小题4分，共32分）8.（重庆中考）如图，OA,OC是。O的半径，点B在。O上，连接AB,BC,若乙ABC=40。，则乙AOC=S02.9.已知。的半径为5,点A在。外，那么线段OA的取值范围是.10.如图，已知AB是。O的直径，AB垂直弦CD于点E,则在不添加辅助线的情况下，图中与乙CDB相等的角是4 DAB或乙BCD或乙BAC（写出一个即可）.11.如图，AB,CD 是。的直径，AB|DE,AC=3，贝 ijAE=3.A第11题图第12题图12.（益阳模拟）如图，。0的半径为4,aABC是。的内接三角形，连接OB,OC,若乙BAC和乙BOC互补，则弦B C的长度为4.13.如图，ABC中外接圆的圆心坐标是（6.2）.第13题图第14题图14.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10m加，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB的长度为15.（十堰中考）如图，ABC内接于。0，乙ACB=90。，乙ACB的平分线交。于D,若AC=6,BD=5,贝ij BC的长 为8.三 解答题（共47分）16.（8分）如图，是ABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24,求。O的半径.解：连接OA交BC于点D,连接OC.AB=AC=13,.ABC是等腰三角形.,-.AOBC,CD=BC=12.在放ACD 中，AC=13,CD=12,AD=5.设。的半径为r,则在 RhOCD 中，OD=r-5,CD=12,OC=r.,-.（r-5y+122=F.解得 r=16.9.17.（12分）如图，A,B,C是。O上三点，MOB=120,C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由.解：AOBC是菱形.证明：连接OC,.（是的中点，.乙 AOC=乙 BOC=x l 20=60.,CO=BO,.OBC是等边三角形.OB=BC.同理CA是等边三角形.-,OA=AC.又.OA=OB,-,OA=AC=BC=BO.AOBC是菱形.18.（12分）如图，AB是。O的直径，CDAB于点N,点M在。O上，”二乙C.求证：CB|MD;（2）若 BC=4,sinM=,求。O 的直径.解：证明：1=aC=aM,-.CB|MD.Q）连接AC.,ab是。的直径，.乙 ACB=90.又CDj_AB，:二.z_A=z_M，二 sin A-siM.在 7?mACB 中，sin A.=.：sinM=,.=.又；BC=4,.AB=6,即。的直径为6.19.（15分）如图，BD是。的直径，A,C是。上的两点，且AB=AC,AD与BC的延长线交于点E 求证：aABDaAEB;（2）若 AD=1,DE=3,求 BD的长.解：证明：3=AC,:./.ABC=z_ADB.又乙BAE=DAB,ABDsAEB.ABDsZAEB,_ AD=1,DE=3,-.AE=4.；,AB2=ADAE=Ix 4=4.-,AB=2.BD是o O的直径，.乙 DAB=90。.在 Rm ABD 中，BD2=AB?+AD?=22+12=5,/.BD=.微课堂2.5直线与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系01 基础题 知识点1直线与圆的位置关系的判定1.（白银中考汜知。的半径是6 c m,点。到同一平面内直线I的距离为5 c m,则直线1与。O的位置关系是（A）4.相交 B.相切C.相离。.无法判断2.（湘西中考）在放 ABC中，乙C=90。，BC=3c m,AC=4c m,以点C为圆心，以2.5 c m为半径画圆，则。C与 直线AB的位置关系是（A）A.相交 B.相切。.相离 D.不能确定3.如图为平面上。与四条直线L,12,13,L的位置关系.若。的半径为2 c m,且。点到其中一条直线的距离 为2.2 cm,则这条直线是（。A.h B.12C.13 D.14第3题图第4题图4.（永州模拟）如图，已知点A,B在半径为1的。上，乙AOB 二 60。，延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为1,则下列说法正确的是（。）A.当BC等于。.5时，1与。相离B.当BC等于2时，1与。相切C.当BC等于1时，1与。O相交D.当BC不为1时，1与。O不相切5.在平面直角坐标系x Oy中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的圆（。A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离-b6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,。是以AB为直径的圆，则直线DC与G。的位置关系是相离.7.在心ABC中，aC=90,AB=4c m,BC=2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出 判断过程.（l）r=1.5 cm;（2）r=cm;（3）r=2 cm.解：（1）相离.判断过程略.相切.判断过程略.（3）相交.判断过程略.知识点2直线与圆的位置关系的性质8.已知，。的直径等于12 c m,圆心O到直线1的距离为5 c m,则直线1与。O的交点个数为(。A.0 B.1C.2 D.无法确定9.(广州中考)已知。的半径为5,直线1是。的切线，则点。到直线1的距离是(OA.2.5 B,3 C,5 D.1010.已知。半径为4,直线1与。不相交，则圆心到直线1的距离d一定满足(。A,d 4 8.d=4C.d 4 D.d 402 中档题11.(益阳中考)如图，在平面直角坐标系x Oy中，半径为2的0P的圆心P的坐标为(-3,0),将。P沿x轴正方向 平移，使。P与y轴相切，则平移的距离为(3)A.13.1 或5C.3D.512.(百色中考)以坐标原点。为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与。相交，则b的取值范围是(0A.0b2 B,-2b2C.-2b2 D,-2br,此时直线m与。相离；当d=4,r=5时，d r,此时直线m与。O相交.(2)当直线 m 与。O 相切时，d=r,(x-X2F=。=(X1+x2)2-4X1x2,即 16-4p=0,解得 p=4.16.如图，在ABC中，aB=30,aC=90,AC=6,O是AB边上的一动点，以O为圆心，OA为半径画圆.(1)设OA=x,则x为多少时，。与BC相切？(2)当。与直线BC相离或相交时，分别写出x的取值范围.解:在放MBC中,-.-aB=30,aC=90,AC=6,-.AB=12.若。O与BC相切于点D,过点O作OD_lBC,则OD=OA.OB=12-x.又.zB=30。，OD=OB=6-x.6-x=x.解得x=4.当x=4时，。0与BC相切.当。与直线BC相离时，0 x 4；当。O与直线BC相交时，4x 6.03 综合题17.设边长为2a的正方形的中心A在直线1上，它的一组对边垂直于直线1,半径为r的。的圆心O在直线1上 运动，点A,O间距离为d.图1 图2 图3如图1,当r a+r0d=a+r1ar d a+r2d=a-r1d ar0所以，当r a+r0d=a+r1a d a+r2d a4所以，当r=a时，与正方形的公共点个数可能有0.1.2.4个;(3)如图3,当。与正方形有5个公共点时，试说明r=a.解：连接OC.则OE=OC=r,OF=EF-OE=2a-r.在R/OCF中，由勾股定理，得 OF2+FC2=OC?即(2a-r)2+a2=r2,4a2-4a r+r2+a2=r2,5a2=4a r,5a=4r.,.r=a2.5.2圆的切线第1课时切线的判定01 基础题 知识点圆的切线的判定1.下列直线中，能判定为圆的切线的是（。）A.与圆有公共点的直线3.过圆的半径的外端点的直线C.垂直于圆的半径的直线D.经过直径的一个端点，且垂直于这条直径的直线2.如图，A是圆O上一点，AO=5,PO=13,AP=12,则PA与圆O的位置关系是（。A.无法确定3.相交C.相切D.相离3.如图，ABC的一边AB是。的直径，请你添加一个条件，使BC是。的切线，你所添加的条件为ABBC4.如图，A,B是。上的两点，AC是过A点的一条直线.如果乙AOB=120。，那么当乙CAB的度数等于皿时，AC才能成为。O的切线.5.如图，延长。O的半径OA,使OA=AB,过点A作弦AC,使AC=OA.求证：BC是。O的切线.证明：血功人二。,_aOCA=aOAC=60.又OA=AB,.收=砥.,aACB=aOAC=30.aOCB=乙 OCA+乙 ACB=90.BC是。的切线.6.如图，AB为。O的直径，C是。O上一点，D在AB的延长线上，且乙DCB=A.求证：CD是。的切线.A证明：连接o c,AB是。O的直径，._z.ACB=90.乙A+乙ABC=90.又.OB=OC,.-.aOBC=aOCB.又.z DCB-A,乙 A+乙 ABC=乙 DCB+乙 OCB=90.-.OCiDC.CD是。O的切线.7.(梅州中考)如图，在ABO中，OA=OB,C是边AB的中点，以。为圆心的圆过点C.求证：AB与。0相切；若乙AOB=120,AB=4,求。O的面积.解：证明：连接CO.AO=BO,MOB是等腰三角形.C是边AB的中点，,-.OCAB.o c是。的半径，.AB与。相切.在等腰OB中，乙AOB=120,.-.z.A=aB=30.C 是边 AB 的中点，AB=4,-.AC=2.在/?mACO 中，a ACO=90,乙 A=30。，AC=2,-,OC=AC=2._S=ttx22=4tt.02 中档题8.如图，AB是。的直径，BC交。于点D,DE_AC于点E,要使DE是。的切线，还需补充一个条件，则补 充的条件不正确的是(A)cDEBA.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC|OD9.如图，AB为。O的直径，点C为。上的一点，若乙BAC=CAM,过点C作直线1垂直于射线AM,垂足为点D.试判断CD与。的位置关系，并说明理由.解：直线CD与。相切.理由如下：连接OC.-_ OA=OC,-.aBAC=aOCA.,aBAC=aCAM,:.乙 OCA=aCAM.-.OC|am.,CDAM,-.OCCD.OC为半径，.直线CD与。相切.io.(1)如图1,aABC内接于。O,AB为直径，乙CAEB,试说明AE与。相切于点A;(2)在图2中，若AB为非直径的弦，乙CAE=B,AE还与。相切于点A吗？请说明理由.图1 图2证明：解：AB为直径，,-.aACB=90o.乙B+乙BAC=90.而乙CAE=B,乙CAE+aBAC=90,SPaBAE=90.-.OAAE.AE与。相切于点A.(2)AE还与o O相切于点A.理由如下：作直径AD,.乙D+乙 DAC=90.,/aB=aD,而乙CAE=B,乙CAE+乙DAC=90,即乙DAE=90.-.OAAE.AE与。O相切于点A.03 综合题”.(常德中考)如图，已知。的直径为AB,AQAB于点A,BC与。相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.求证：ED是。的切线；(2)当OA=3,AE=4时，求BC的长度.解：证明：连接OD.ACAB,.-.ABAC=90,艮乙 OAE=90。.在AOE与mo E中，AOEDOE(SSS).aOAE=乙ODE=90,g p ODED.又OD是。的半径，.ED是。的切线.(2)；AB是直径，,-.aADB=90.乙 ADC=90。.a ADE+aCDE=90,乙 DAE+乙 ACD=90.AE=DE，:.a ADE=乙 DAE.z_CDE=z_ACD.,-.DE=CE.又 AE=DE,:.AE=CE.；,AC=2AE=8.,OA=3,-.AB=6.在RsABC中，BC=10.BC的长度是10.小专题（三）圆的切线的判定方法（教材变式）怎样证明一条直线是圆的切线例（教材夕5习题72）如图，AB是。O的直径，直线MN过点B,zABC内接于。O,乙CBM 二 A.求证：MN是。的切线.【解答】:AB是。O的直径，.=90。.乙A+乙 ABC=90.又.CBM=乙A,.乙 CBM+乙 ABC=90.MN是。的切线.【方法归纳】证明一条直线为圆的切线，主要有以下两种方法：直线与圆有点：要判断是不是圆的切线关键 看直线和圆是不是有公共点，若有（但没说唯一），那么就连出这条半径，如果能够证明该直线和这个半径垂直，就 说明直线是圆的切线（简称为“连半径证垂直”）;不确定直线与圆是否有公共点：若题目中没有告诉直线和圆有公 共点，那就算算圆心到直线的距离是不是等于圆的半径.若等，则该直线就是圆的切线.（简称为“作垂直证半径”）针对训练1.如图，已知AB是。O的直径，点C,D在。上，点E在。O外，aEAC=aD=60.（1）求乙ABC的度数；（2）求证：AE是。的切线.aABC=aD=60.证明：AB是。的直径，,-.aACB=90o.,-aBAC=30.,-.aBAE=乙 BAC+乙 EAC=30+60=90.即BA_lAE,.AE是0。的切线.2.如图，以ABC的边AB为直径的。O交AC边于点D,且过点D的。O的切线DE平分BC边，交BC于E.求证：BC是。的切线.证明：连接OD,OE,O为AB的中点，E为BC的中点，.OE为ABC的中位线.,_OE|AC.二.乙DOE=z_ODA,z_BOE=z_A.-,OA=OD,-.aA=ODA./.DOE=z_BOE._ OD=OB,OE=OE,:.ODEOBE./.ODE=z_OBE.DE是。的切线，,-aODE=aOBE=90.,-.OBBC.BC是。O的切线.3.（衡阳中考改编）如图，AB是。的直径，点C,D为半圆O的三等分点，过点C作色AD,交AD的延长线于 点E.求证：CE为。的切线.证明：连接OD.点C,D为半圆。的三等分点，z_BOC=/.BOD.-,aBAD=aBOD,:.z_BOC=/.BAD.,AE|OC._ ADEC,-.OCEC.CE为。O的切线.4.如图，AB为。直径，C是。O上一点，CCUAB于点O,弦CD与AB交于点F,过点D作乙CDE,使乙CDE 二 D FE,交AB的延长线于点E.过点A作。0的切线交ED的延长线于点G.求证：GE是。O的切线.证明：连接OD,0C=OD，二乙C=乙ODC.,OCAB,.-.aCOF=90,.-.aOCD+aCFO=90.,-.ODC+aCFO=90.,:乙EFD=Z.CFO,乙EFD=z_CDE,.乙 CDO+乙 CDE=90.GE是。O的切线.5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以。为圆心，OA长为半径的。与BC相切于点M,与AB,AD 分别相交于点E,F.求证：CD与。相切.证明：连接0M,过点。作ONCD,垂足为点N.与BC相切于点M,.-.OMBC.正方形ABCD中，AC平分乙BCD,X/ONCD,OMBC,.-.OM=ON.,.点N在。上.CD与。相切.6.(张家界中考)如图，AB是。O的直径，C是。上的一点，直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线，垂足 为点D,且乙BAC=CAD.(1)求证：直线MN是。的切线；(2)若 CD=3,乙CAD=30。，求。的半径.解：证明：连接o c.-,OA=OC,:.z_BAC=/.ACO.又.乙BAC=乙CAD,:.z_ACO=2.CAD./.OC|AD.X ADMN,-.OCMN.直线MN是。O的切线.(2).在 RhACD 中，aCAD=30,CD=3,；,AC=2CD=6.,aBAC=乙CAD,乙CAD=30,.-.aBAC=30.AB是。O 的直径，乙ACB=90。.在放aACB 中，AC=6,乙BAC=30,.-.AB=4,即。的直径为4.。的半径为2.7.如图，在放ABC中，乙B=90。，AC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点，DE=DC,以D为圆心，DB 长为半径作。D,AB=5,EB=3.(1)求证：AC是。D的切线；(2)求线段AC的长.解：证明：过点D作D&AC于点F.,aABC=90,.-.ABBC.AD平分乙BAC,DFAC,.,BD=DF.-.AC是。D的切线.在RhBDE和欣FDC中，BD=DF,DE=DC,-./?mBDE/?mFDC(/L).;.EB=FC.AD 平分乙BAC,DBAB,DFAC,-,AB=AF.:.AB+EB=AF+FC,即 AB+EB=AC.,-.AC=5+3=8.8.已知ABC内接于。O,过点A作直线EF.如图1所示，若AB为。O的直径，要使EF成为。的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：乙 BAE=90。；、EAC=.ABC:(2)如图2所示，若AB不是。O的直径而是弦，且乙CAE=B,EF是。O的切线吗？试证明你的判断.图1解：出是。的切线，证明：作直径AM,连接CM,贝bACM=90,aM=aABC.艮乙 M+乙 CAM=a ABC+乙 CAM=90.,.1 2.CAE=/.ABC,.乙 CAM+乙 CAE=90.AEAM.am为直径，.EF是。O的切线.01基础题第2课时切线的性质知识点圆的切线的性质1.如图，PA是。的切线，切点为A,OP=4,aAPO=30,则。的半径为（OA.1 B.C.2 D.4第1题图第2题图2.如图，AB是。的弦，BC与。相切于点B,连接OA,若乙ABC=70。，贝b A等于（。4.10。B,15 C,20 D,303.（邵阳中考）如图，aABC的边AC与。O相交于C,D两点，且经过圆心O,边AB与。相切，切点为B.已知乙A=30,则乙C的大小是（A）4.如图，两个同心圆的半径分别为4 c机和5 c m,大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（OA.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm5.（自贡中考）AB是。O的直径，PA切。于点A,PO交。O于点C,连接BC.若乙P=40,则乙B等于6.如图所示与AC相切于点A,且AB=AC,BC与。相交于点D,下列说法不正确的是（0A.乙C=45 B.CD=BDC,乙 DAB=乙 DAC D,CD=AB8.（永州中考）如图，已知ABC内接于，BC是。O的直径，MN与。O相切，切点为A若乙MAB=30。，则乙8=6 02.9.如图，等腰aOAB中，OA=OB,以点。为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC=BC.证明：:AB切。O于点C,-.OCAB.,OA=OB,-.AC=BC.10.（株洲中考）如图，已知AB是。的直径，直线BC与。相切于点B,乙ABC的平分线BD交。于点D,AD的 延长线交BC于点C.求乙BAC的度数；（2）求证：AD=CD.解：(1)；AB是。O的直径，,-.aADB=90.BD平分乙ABC,二.乙 ABD=乙 CBD.直线BC与。O相切于点B,.ABC=90。.乙 ABD=45.乙BAC=180-90-45=45.(2)证明：.zBAC=45,MBC=90。，45。.,-,AB=CB.X/BDAC,;.AD=CD.02 中档题”.（嘉兴中考）如图，aABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则。C的半径为（8）A.2.3 B,2.4 C,2.5 D,2.6第11题图第12题图12.（枣庄中考）如图，已知线段OA交。于点B,且。B=AB,点P是。O上的一个动点，那么乙OAP的最大值是A.30 B,45 C,60 D,9013.（益阳中考）如图，四边形ABCD内接于。0,AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点.若乙P=40。，则乙D的度数为CAiy第13题图 第14题图 习题解析14.(自贡中考)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与。O的直径相等，。与BC相切于点C,与AC 相交于点E,则CE的长为3c制.15.(娄底中考)如图，在。0中，AB,CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD,BC,BD.求证：ABDCDB;(2)若乙DBE=37,求乙ADC的度数.解：证明：:AB,CD是直径，,-.aADB=aCBD=90.在ABD和CDB中，:BE是切线，.ABBE.-.aABE=90.乙 ABD+乙 DBE=90.A8为。0的直径，.乙 ABD+乙 BAD=90.乙 BAD=乙 DBE.：OA=OD,：,/_OAD=/_ODA.乙40。的度数为37.16.(益阳模拟)如图，AC是。的直径，四边形ABCD是平行四边形，AD,BC分别交。O于点F,E,连接AE,C F.(1)试判断四边形AECF是哪种特殊的四边形，并说明理由；(2)若AB与。相切于点A,且。的半径为5c加，弦CE的长为8c m,求AB的长.解：四边形AECF是矩形.理由如下：AC是。O的直径，,-.aAEC=aAFC=90.四边形ABCD是平行四边形，AF|EC.-_ 乙 EAF=乙 AEC=90.四边形AECF是矩形.(2)：AB与。O相切于点A,.-.aBAC=90.1.,z_ ACE=z_BCA.；.RgCAJRgCBA.,-.CA:CB=CE：CA,艮 10：CB=8：10.AB=.03 综合题17.(丽水中考)如图，在maABC中，乙C=90。，以BC为直径的。O交AB于点D,切线DE交AC于点E.求证：M=ADE;(2)若 AD=16,DE=10,求 BC的长.解：连接OD,DE是。的切线，.乙 ODE=90。.乙 ADE+乙 BDO=90.-,aACB=90o,.乙A+乙B=90.-,OD=OB,/.乙 B=aBDO.a ADE=l_A.连接CD,/z_ADE=z_A,；,AE=DE.BC是。O 的直径，MCB=90,区是。O的切线.DE=BC.-,AE=EC._ DE=10,-.AC=2DE=20.在RsADC中，DC=12.设BD=x,在心BDC中，BC=x2+122,在 RsABC 中，BC2=(x+16)2-202,x2+122=(x+16)2.202.解得 x=9.BC=15.微课堂25.3切线长定理01 基础题 知识点切线长定理1.如图，PA,PB分别切。于A,B两点.如果乙PAB=60。，PA=2,那么AB的长为(8)A.1 B,2 C,3 D,42.如图，PA,PB是。O的两条切线，切点分别是A,B.如果0P=2,OA=1,那么PB等于(OA.1 B.2 C.D.23.如图，PA,PB是。的切线，切点为A,B.若OP=4,PA=2,贝bAOB的度数为(。A.60。B.90 C,120 D.无法确定第3题图 第4题图4.如图，AB为。O的直径，点C在AB的延长线上，CD,CE分别与。相切于点D,E.若AD=2,乙DAC=JDCA,则CE=2.5.如图，PA,PB是。的两条切线，A,B是切点.若乙APB=60。，PO=2,则。的半径等于.6.如图，四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 和。O 相切，且 AB=8 c m,CD=5 c m，贝AD+BC=13c m.7.如图，PA,PB分别切于点A,B,连接PO与。相交于点C,连接AC,BC,求证：AC=BC.证明：:PA,PB分别切。于点A,B,-,PA=PB,aAPC=aBPC.又；PC=PC,APCBPQSAS).,-.AC=BC.8.如图，PA,PB是。的切线，A,B为切点，AC是。0的直径，乙P=60。.求乙BAC的度数；(2)当OA=2时，求AB的长.解：（1）;PA,PB是。的切线，,-,AP=BP,乙PAC=90.又.zP=60,-.aPAB=60.乙BAC=乙PAC-乙PAB=30.Q）连接OP.在 RsAOP 中，OA=2,a APO=30.OP=4.由勾股定理，得AP=2.-,AP=BP,a APB=60,.APB是等边三角形.;.AB=AP=2.02 中档题9.(邵阳中考)如图所示，AB是。O的直径，点C为。O外一点，CA,CD是。的切线，A,D为切点，连接BD,AD若乙ACD=30。，则乙DBA的大小是(Q)A.15B.30C.60D.7510.如图，。0内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为A.8 B,9 C.10 D.11第10题图 第11题图11.如图，AE,AD和BC分别切。于点E,D,F.如果AD=20,那么ABC的周长为(。A.20 B.30 C.40 D.5012.如图，PA,PB分别切。于点A,B,连接P。，与AB相交于点D,C是。上一点，乙C=60。.(1)求人APB的大小；若PO=20c”,求AOB的面积.解：(l).zC=60。，.-.MOB=120.丑八，8分别切。于点八，8,.,aPAO=aPBO=90.乙 APB=60。.PA,PB 分别切。于点 A,B,-,PA=PB.点P在AB的垂直平分线上.同理，点。在AB的垂直平分线上.r.P。垂直平分AB.,aAPB=60,MOB=120,.乙OPB=乙OPA=30,乙POB=aPOA=60.-PO=20 cm,-.OB=10 cm.OD=OB-c o s乙POB=5 cm.BD=OB-5Z/1Z.POB=5 cm.:.AB=2BD=10 cm.,.Sa Ao B=x l 0 x 5=25(c m2).13.如图，直线 AB,BC,CD 分别与。0 相切于 E,F,G,且 AB|CD,OB=6 c m,OC=8 cm.求：乙BOC的度数；(2)BE+CG 的长；(3)。的半径.解：连接OF.根据切线长定理得：BE=BF,CF=CG,AOBF=AOBE,乙OCFOCG.AB|CD,.乙 ABC+乙 BCD=180.乙 OBC+乙 OCF=90.,-.aBOC=90.由知，aBOC=90.OB=6 cm,OC=8 cm,.由勾股定理，得BC=10 cm.;.BE+CG=BC=10 cm.OElBC,由面积相等相得。F=4.8 cm.03 综合题14.如图，AD|BC,ABBC,以AB为直径的。O与DC相切于E.已知AB=8,边BC比AD大6.求边AD,BC的长；(2)在直径AB上是否存在一动点P,使以A,D,P为顶点的三角形与BCP相似？若存在，求出AP的长；若 不存在，请说明理由.A D解：过D作DFJBC于F,在 RhDFC 中，DF=AB=8,FC=BC-AD=6,-,DC2=62+82=100,艮|DC=10.设 AD=x,贝 DE=AD=x,EC=BC=x+6,-.x+(x+6)=10.:.x=2.AD=2,BC=2+6=8.存在符合条件的P点.设AP=y，则BP=8 _ y,ADP与BCP相似，有两种情况：ADPiBCP时，有=，艮口=,)=ADPiBPC时，有=，即=.y=4.故存在符合条件的点P,此时AP=或4.2.5.4三角形的内切圆01 基础题知识点1三角形的内切圆、内心及作图1.已知ABC的内切圆。和各边分别相切于点D,E,F,则点。是WEF的（0A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的中垂线的交点2.关于三角形的内心：到三边的距离相等；到三顶点的距离相等；是三边垂直平分线的交点；是三内角 平分线的交点.其中正确的说法有（3）4.1 个 B.2个 C.3个 0.4个3.如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公 路的距离相等，则应建在（A）A.ABC的三条内角平分线的交点处B.aABC的三条高线的交点处C.a ABC三边的中垂线的交点处D.ABC的三条中线的交点处4.若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是（。）A.直角三角形 B.等腰直角三角形C.等腰三角形。.等边三角形5.制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆.（保留作图痕迹，不要求写作法）解：。即为所求作的圆.知识点2三角形的内心、内切圆的有关计算与证明6.（眉山中考）如图，在aABC中，乙A=66。，点I是内心，则乙BIC的大小为（C）A.114B.122 C.123D.1327.如图，00内切于ABC,切点分别是点D,E,F,且乙EDF=50。，则乙4的度数是（C）A.60B.70C.80D.908.等边三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为(A)A.1 B.C.D,29.如图所示，是a ABC的内切圆，分别切AB,BC,CA于点D,E,F,设。的半径为r,BC=a,CA=b,AB=c.求证：Saabc=r(a+b+c).0。是ABC的内切圆，OD=OE=OF=r.SaABC=SaAOB+SaBOC+SaCOA,S.abc=c r+a r+br=r(a+b+c).10.如图，ABC中，乙C=90,。是aABC的内切圆，D,E,F是切点.(I)求证：四边形ODCE是正方形；(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆。O的半径.解：证明：。是ABC的内切圆，；.ODBC,OEAC.又乙C=90。，四边形ODCE是矩形.-,OD=OE,四边形ODCE是正方形.(2)vaC=90,AC=6,BC=8,;.AB=10.由切线长定理，得AF=AE,BD=BF,CD=CE,:,CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4,贝ij CE=2.即。的半径为2.02 中档题11.九章算术中“今有勾七步，股有二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角 边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形的容圆(内切圆)直径是多少？