2022年高考数学一轮复习专题 专题46 解三角形复习课件.pdf

解三角形b=2A(其中A为A4与。夕栩圆的半径)siib4 sia B sinC正弦定理的变形：(l)a=2RsinA,b=2RsinB c=2RsinC;(2).a:b:c=sinA:sia B:sinC;a b c(3).sin/=,sinB=,sinC=;2R 2R 2R a b b c c a(4).-=-,-=-,-=-；sint sia S sia S sinC sinC sin 力例 1、在ZU5C中，已知/=15,5=45,a=10c m,解三角形解：根据三角形内角矛疣理，C=180(/+5)=180(15+45)=120根据正弦定理，办=竺出=曰吧=10(1+6)(。根)sin A sin 15根据正弦定理，。二竺巧0=弛萼=5后(1+6)(。加)sin A sin 15已知两角和任意边，求其他两边和一角 练 1 在ABC中，已知。=10(:叫人=45,C=3 00 求 a,解上s in/sinCc-sinA 10 x s in45 s inC sin 3 0=10 Ji(c m)b c _,sin B sin C且 B=180P-(A+C)=105b.c a=.b=1255。.5(始+.)sinC sin 3 0(c m)例2 已知*16,b=16V3,4=30.求角6,。和解：由正弦定理总=皿得 sinB=bsinA 16a/3 sin3 0 V3a16.0 B 180.B=60,或B=120 16枚A已知两边和其中一边 的 对角，求其他边和角 C216B1630B）当 B=6 附，0=90。=32.当 B=12。时，C=3。，。二嘿1二6变式1:a=,b=,A=3 0求角B,C和边c（参 Ps in 260解：由正弦定理二 b s in/3 0得 sinB=6sin/26 sin 3 0a.0 B 180,.B=26,或B=154vba,/.B A,故B=26。，C=124 c=s，n =49 s in/正弦定理的常见变形(l)q=2Rsin/,b=2RsinB,c=27?sin C；a b c(2)sin/=诋 sinB=,sin。=亚(3)asinB=bsinA,bsin C=csmB,asm C=csmA；(4)。：6：c=s in/：s ins in C.3判断三角形的形状I在48。中，已知/t a n5=*t a n/,试判断4g。的形状规范作答由已知得回萼=8*.c o s B c o s A由正弦定理的推广得q=2心in/,b=2Ksin 5(A为LABC的外接圆半径),.4Ksid/sin 5_4Rsin2 5sin/c o s B c o s ABP sin Acos A=sin 5c o s B,sin 2A=sin 2B,又力、5为三角形的内角，2/=25或2/=兀一25,即或/+5=字 AABC为等腰三角形或直角三角形.2.在Z5C 中】若 sin 2=2sin Bcos C,且 sin24=sin25+sin2C,判断48。的形状.a he解析：根据正弦定理得号=号=.siil4 siiw smC因为 sin24=sin25+sin2G所以/=居+2,所以N4是直角，Z5+ZC=90%所以 2sin8c o sC=2sin8c o s(90-B)=2sin25=siiL4=La/2所以sin5=学.又因为0 NB 0)sinu4=33 在Z3 C 中，sin(c4)=1,sin5=1.(1)求s in/的值；(2)设4。=戊，求45。的面积.(2)由正弦定理得AC sin 5BC sin ABCZCsinZ sin 53又 sin C=sin(4+B)=sin Acos B+c o s 4sin B=j 22 J6 1=63 X 3 3 X3 3 5c o s A=v?bj3.（1）求sin C的值；（2）求48。的面积.解析：（1）/4、/B、NC为48。的内角，JLN571 4y COS A=J,.NC=3-sin4=p.仅兀.sm C=sml-A)3.在4SC中，角/,B,。的对边分别为q,b,c,B(1)求sin C的值；(2)求48。的面积.一心 3 3+4小(2)由(1)知 sin/=不 sin C=rx)JL Vx又/5=1b=G.在45。中,由正弦定理，得。=啜*=*1.e A ABC 的面积 S=absin C3+4 3 36+9 310502.泉救生理余弦定理的变形:/s/b2=c1+a1-2cacosB c1=a2+b2-2abcosCc o s/二b2+c2-a22bc;c o sB=2 2 12a+c-blac;c o sC=a2+62-c2lab当4 B、。分别为90。时，上面帙弑制化为 a2=b2+c2;b2=a2+c2;c1-a1+b2例1、在AABC中，已矢电=3,0=2行,44=30,求角5、。和边的值解：由余弦定理知，a2=b2+c2-2bc c o s A=32+(273 y-2x 3 x 273(X)83 0=3:.a=43 由正弦定理2一得1 sin A sin B c b sin A 9.去,./d 乙八。sm B-i b C,.o Oa J3 2.C=18，一%=90ba变式：A；一1、若b=3，c=1,/=60,贝l a=_2_2、在AABC中，AB=Vi BC=l,c o sC=l jAC=)4-例2、在AABC中，已知a二 解三角形。,b二2,c二a/3+1解：由余弦定理得A _ I2+/2 一j _ 于+I_ ICS-2bc 2x 2x(/3+l)-2.A=602,2 12 a+c-bcosB=-2ac(向2+函+1)2_22 2x V6x(V3+l)25=45。C=18(l/3=18a601 4管=701.在三角形48。中，若。=6/=1,。=2,则/=602.在三角形48。中，/。2+=,贝|j角。的大小为A460。345。或 135。C.120D3 02 7 2 _ 2解析“F/AcB2 2 7 2 7 c ab9：a-c+b=abc o sC=-2ab 2-:.C=60三角形三边长分别为4,6,8,则此三角形为A、钝角三角形 C、锐角三角形B、直角三角形D、不能确定3 三角形面积公式1 一、S=a儿（儿表东4边上的高）21 1(2)S=-absinC=-acsinB=2 2一加 sin/2(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.c o sH+B)=-c o s。;.A+B Csin-二 c o s;2 2A+B Ct a n-二 c o t(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式 sin(4+力)=sinC;t a n(4+B)=-t a nC;A+B.C c o s-=sin;2 2(5)A4HC中，A、B、C成等差数列的充要条件 是 B=60(6)在Az46cti,Z5o a/?o s inZs inA(7)sin a=s in/?o a=/?或 a+/?=若。、笈是三角形的内角则有z=P(8)在45C中,三边分别为匿b,c(abc 2,则ZBC为锐角三角形.(2)若/+/=。2,则45。为直角三角形.一(3)若+则力3为钝角三角形.一2.实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的(2)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如B点的方位角为a北(如下图)方向角.正南方向：从原点。出发的绎过目标射线与正南的方向线重合，即目标在正南的葡向线上.任次可类眸正北方向、正东方向和正四 与八E乐 南 图东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南的夹角平分线（如 图）.北偏东a：从正北向正东方向旋转a角度（图）南偏西B：从正南向正西方向旋转B角度（图）考点一：利用正、余弦定理判断三角形解的个数问题LJ已知4BC 中，AB=5,AC=1,且万=30,则4BC的面积等于（D）点评：在三角形中，ab A B smA sinB 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘.点一：拓展训A在中，角/、B、。的对边分别为、b、c,且=九 点评：注意 sin皮1,没有意义,卜=小见0）,4=45。，则满足此条件的三角形个数是（）A.0 B.1 C.2 D.无数个 注意二角函数的有界性。4+%JjLAXajL考点一：能力提升:在 A45C中，N/=60。，a,6=3,则 A45C解的情 况（A）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定D考点一：利用正、余弦定理判断三角形解的个数问题_(1)常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数,(2)注意三角函数的有界性求解.(3)利用余弦定理解方程的根。(4)与高比较。考点二：利用正、余弦定理判定三角形的形状.判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边 具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数符号的空断及正余弦函数有界性?勺讨论 I已知边之间的关系主要题型I-1已知角的三角函数关系例5.根据所给条件，判断ZU5的形状(l)a c o s/=bc o s2根据正弦定理存上；=工用牛 sm A sm Ba c o s/=bcosB n sin 力 c o s力=sin 5-c o s5 sin 24=sin 2B:.2A=25或者2Q+5)=181即 A=B 或 A+B=-2A43 C是等腰三角形或直角三龟形例5.根据所给条件，判断ZU的形状法二：由余弦定理得b2+c2-a2 a2+c2-b2a c o s/=/?c o s8=a (-)=b(-)2bc lac=a2 c2 a4 b2c2+b4=0(a2-Z)2)(c2-a2-b2)-0/.a2-b2=0或c?-a2-b2=0/.a=6或c?=a2+b2.A48C是等腰三角形或直角三ft形(l)acosA=bcosB一二：拓展训练(2010上海)若AABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13,WJAABC(C)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形（2013陕西）设AABC的内角A,B,C所对的边分 别为。，b,c,若bc o sC+c c o sB=a sinA,则AABC的形状为（B）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定考点二：拓展训练3：（2012上海）在ZXABC中,若sin2A+sin2BVsin2C,则AABC的形状是（C）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定点三：利用正、余弦定理解三角形例1.在入45押，已矢匹=血,=45,求边c解：方法（用正弓靛理）a b sinA sinBsinZ=asinB 73 x sin45b又力.4=60电2(!当4=60时，C=75/.cbsinC V2sin75 V6+V1sinB sin45 2当4 二 129时，C=15.c=力 sinC&sin15 Ji 行sinB sin45 2翔去理）b2=a2+c2-2accosB.2=3+c2-2V3cos45即 C?-yJ6C+1=0解之，得V6V22点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。考点三：利用正、余弦定理解三角形（高频考点）典例探讨例3：(1)(2016全国卷ni文9)AABC,5=贝Ijs%/=(DaT6 席旧 c 3 V10C.-L).-510(2)(2016全国卷ni理8)AABC,5=上的高等于贝Uc o sZ=(n4 3 3 V10 V10 屈 八 3 V1010 10 10 10例2.M8C41，已加=60。/=4行,为使此三角形只有什一个M满足的条件是（）VA.0 a 或。=6 D.0 a b的情 况，以后做题时要注意。例4.在4BC中，71=60,b=L 其面积为小，则_-+c_秋sin 4+sin 与+sin。寸(B)R枷30位2A.3小J 1解析 S=bcsiny4Xl Xc Xsin 60=4,，c=4.,=必+。22cc o z=l+162义1义4义!=13,即 a=y/13,a_b_c+csin A sinB sin C sin y4+sin JS+sin C 存2故选B.五、解三角形中的交汇问题在知识交汇处命题是高考考查的热点，体现了多考一点“想”，少考一点“算”的 理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重 点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、三角函数、三角变换、数列、解析几何、立体几何等几个方面知识的结合。例6.已知在A45ca、b、c分别是角4B、。所对的 Mfc ft 形的sinn=(1,一1),且加-77=V3-1.(1戌角3的大小；(2)若角B为锐角，。=6,5=6方,求6的值.解：由 mn=43-l 得 2sinB1二行12(2)由=6,3=6仃，得/.sin 37T 1由2=/+/-2c c o s=3 6+162x 6x 4x =28b=V28=2V7.已矢口向量帆=3，sinx,n=(l,sinx+a/3cosx),函数/(X)=T.(1)求的最小正周期及值域；(2)已知4BC中，角N、B、C的对边分别为a,b,c,若凡4)=0,a=由，bc=2,求4BC 的周长.3解 由题知 危)=一，一小sinx c o sx+21(山=c o s2x3 sin x c o s x+2 c o s 2x+j+1,27r所以/W的最小正周期为T=n,(71、因为 所以一Kc o s 2x+t Wl,已矢口向量帆=3，sinx,=(1,sinx+小c o sx),x R,函7数/(X)=T.(1)求人2的最小正周期及值域；(2)已知4BC中，角N、B、C的对边分别为a,b,c,若凡4)=0,a=由，bc=2,求4BC 的周长.(疳=c o s 24+1=0,7T)c o s 2N 十3=1,7T由 NR(0,7t),得 N=.在4BC 中,由余弦定理得 a2=b2-c2 2c c o s5=(b+c)2 3bc,又 a=行，bc=2,所以+c=9,b+c=3,三、解答题(共15分)6.(2013河北承德二模，17)已知向量，二H=COS2,函数/(1)=/(1)若/(H)=1,求ro s(算一次)的值；(2)在锐角.48C中，角.4,8,C的对边分别是a,j且满足nc o s。+；。=以求/(28)的取值范围.。解析/(a,)=7Tsil l c o s+(u)s(1)由f=1,可得sin(21T (7T 仃、1c o s X J-c o sx+j=2sin 1 1 二 一-(2)利用余弦定理，由 a c o s C+=，得=be,+c1 c o s A=-=2bc 2TT2 ITA=，.=B+C=一3 3,48C是锐角三角形Be(看，；).IT IT 27r-/7T 1.B+X/(2B)=sin B4-,5 o 3 o/Zi+A-T-/(28)W32/(2 B)的取值范围是1匕0 2