2022年高中数学基础知识详解.pdf

学习必备 欢迎下载第一章集合与简易规律、推理证明:一、懂得集合中的有关概念1、集合中元素的特点：确定性、互异性、无序性;2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的详细问题留意：区分集合中元素的形式；如:A x|y x22x 3；B y I yx2 2x 3；C(y)|x2 2x 3X,y3、常用数集的符号表示：自然数集N；正整数集N、N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；复数集C4、集合与元素的关系用符号表示:5、空集是指不含任何元素的集合；0、和的区分；o与三者间的关系）.、集合间的关系及其运算（能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算）1、符号“”是表示元素与集合之间关系的，在立体几何中的有来描述点与直线（面）的关系符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的表达面与直线（面）的关系；2、A B x|x A且 xB；x|x A或xB；Cu A x|xU 且x A3、交换律:ABBA：A；结合律:(A B)B)(BC安排律:A(BCC)C)(A(AC)(AB)B)A(A(A B)A；(ABAB)；(Cu A)(Cu A)B A；A)IQ(CuB)(AB)(CuA)(CuB)G(A B)A BABABCABABBcAAABCAABAA B；ABUAB；B:、集合中元素的个数的运算:1、如集合 A中有n个元素,就集合A的全部不同的子集个数为 2、全部真子集的个数是2n1,全部非空真子集的个数是 2n 22、A B中元素的个数的运算公式为：Ca r dAB)Ca r dACa r dB Ca r d A例：50名同学做物理、化学试验，已知物理试验做得正确的有 40人，化学试验做得正确的有31人，两种试验都做得错误的有 41人,问这两种试验都做对的有几人;四、全称量词：“全部的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”（含有全称量词的命题叫做全称命题）存在量词：“存在一个”、“至少个”、“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”（含有存在量词的命题叫做特称命题）全称命题的否定p：xM,P x)的否定 p：X M,P(x)特称命题的否定p：xM,P(x)的否定P:M,PX)x五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价否命题和命题的否定不是同一概念，假如原命题是“如p就q，那么命题的否定是“如 p就 q表示命题，即只否定结论;六、简洁命题和复合命题规律连结词或“、且、非”（“或、“且”、“非”与集合的“并“、“交、“补”有联系）对于“p qp qp”形式的复合命题用口诀：”有真或为真、两真且才真、真非假、假非真”七、充分条件、必要条件、充要条件的概念（判定步骤:“p能否推出q _”以及“q能否推出p”、区分出p和q是条件仍是结论）A x I x满意条件p，B x I x满意条件q,如pq且qP，就p是q的充分非必要条件（从集合与集合的关系上看A B）；如qp且pq,就p是q的必要非充分条件（从集合与集合的关系上看A B）；如qp且pq，就p是q的充要条件（从集合与集合的关系上看AB）；*+C.aAUecuuuuununuuucncunnunnn nnununu nncuncuGn=6 ucunuu+nV3V33VV AV Aa二学习必备 欢迎下载如q=，P且p=q,就p是q的既非充分又非必要条件(从集合与集合的关系上看 Aq B且A)；八、合情推理与演绎推理1、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2、类比推理是由特殊到特殊的推理3、归纳推理和类比推理都是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理；4、演绎推是由一般到特殊的推理(其模式是“三段论”)九、直接证明与间接证明1、综合法：执因索果2、分析法：执果索因(在使用分析法时，要留意表达“要证，只须证明”)3、在解决具问题时，分析法与综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”会使问题轻易解决；4、反证法：当证明”如 P,就q 感到困难时，改证它的等价命题“如 _q就_p”成立步骤：假设结论反面成立；从这个假设动身，推理论证，得出冲突；由冲突判定假设不成立，从而确定结论正确；冲突的来源：与原命题的条件冲突；导出与假设相冲突的命题；导出一个恒假命题；十、数学归纳法：1、数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，如是起始值 n0,就no是使命题成立的最小正整数；n=n02、用数学归纳法证明题目时，其步骤如下：归纳奠基：当n=时，验证命题成立；归纳递推：假设当 n=k(k n。k w N*)时，命题成立，推证 n=k+1时，命题也成立，从而推出对于全部 nn0的正 整数命题均成立；(在证明过程中，肯定要用到归纳递推，否就就不是数学归纳法例：数学归纳法证明贝努利不等式：f ix)n 1,nx(x、x 0,n为大于的正整数)其次章 函数一、映射与函数：1、映射的概念：设 A、B是两个集合，假如依据某种对应法就 f,对于集合 A中的元素，在集合 B中都有唯独的元素和它对应，这样的对应叫做映射，记作 f：A B 映射的三要素：集合 A、B,以及从 A到的对应法就f,三者缺不行；映射是一种特殊的对应，映射中的集合 A、B可以是数集也可以是点集或其它集合，这两个集合有先后次序，从 A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的；只有“多对一”或“一对一”的对应，能够成映射，一对多对应不能构成映射；2、函数的概念：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射；.、函数的三要素：定义域、值域、对应法就；1、相同函数的判定方法：相同的定义域；相同的对应法就(两点必需同时具备)2、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量 x的不同取值区间，有着不同的对应法就，这样的函数通常叫做分段函数；3、函数的表示法：图象法、列表法、解析法4、函数解析式的求法：定义法(拼凑)；换元法；待定系数法；赋值法；消去法；利用函数的性质例（1）已知f/诙 1,x 2,关，求f+）=+JX的解析式;(2)假如f,X、为一次函数且f r f.X i 2X 1,求f/X、的解析式()L()J=()(3)设f x是R上的函数，满意f 0 1,对任意实数x、y,有fx y f x y 2x y1,求f x()()=(-)=()-(-+)(学习必备 欢迎下载1设f x是定义在1,上的一个函数，且有 f x 2 f x 1,求f xX 已知函数f X是以2为周期的偶函数，当X 0,1）f X 1，求f X在 的解析式;时，（x）（1,2）已知函数f x是奇函数，且当x 0时，f x x2 2x,求当x 0时，f x的解析式；5、函数定义域的求法：当函数y f X用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合：分式的分母不等于零；小于零；对数的真数大于零；指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于 1偶次方根的被开方数不当函数y f x用图象给出时，函数的定义域是指图象在 x轴投影所掩盖的实数的集合当函数y f x用表格给出时，函数的定义哉是指表格中实数 x的集合对于实际问题，在求出函数解析式后；必需求出其定义域，此时的定义域要依据实际意义来确定;已知原函数的定义域求复合函数的定义域;已知复合函数的定义域求原函数的定义域；已知一复合函数的定义域求另一复合函数的定义域;已知函数定义域求参数的取值范畴；例（1）已知函数v f（x）的定义0,4）求 1 f 1 x1）f 1）的定义域;域是 x）（x2 X2已知f x 3）l g 2，求f（x）的定义域x 6（3）已知函数y f（3、）的定义1,2,求函数y f（l o g 2 x）的定义域 域是3 3x 1（4）已知函数f 2 的定义域是R,求实数a的取值范畴；（x）a x a x 36、函数值域的求法：观看法：即通过观看函数式直接得出函数的值域，此忖常常需要运用如下结论：x2 0 x 0 x 0 ax 0(a 0)x2 a a0(k 0)x其本不等式法：转化成型如：y x1kX22x x 1例：求函数y 的值域x 1），利用平均值不等式ab2 a b求值域;利用函数的单调性：如函数为单调函数，可依据函数的单调性求值域;x2 5例：求函数y 的值域x2 4例：f x）是定义R在上的函数，且满意以下两个条件:（I）对于任意的x、y R，有f xy）fy)(x)（II）当x 0时，f 0,且f 2,求函数f（X）3,3上的最大值和最小值；1 X（1）在ex d分别常数法：对于形如 y 的函数，我们常采纳将其分别出一个常数，即函数式变形为：y Aa x bB(A、B 为 a x b常数），故函数的值域为 y|yR且y A2x 1例：求函数y的值域+学习必备 欢迎下载配方法：对于含二次三项式的函数，利用二次函数的特点来求值；常转化为型如：f=a x2+bx+c xe m,的形式来求值域；(x)n)例：(1)求函数y=x?4 x+6 xW&,5)的值域；(2)求函数y=、5+4 x-x 2的值域换元法：对些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域 求出；(实质上是通过变量代换转化为能求值域的函数，采纳化归思想)例：y=x-v2x-4的值域三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；例：求函数 y=c o s 2x+x 3 c o sx si n x的值域方程法(判别式法)：利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法；我们知道函数的值域是由函数的定义域与对应法就所确定的，依据这一道理，我们可将函数式看作关于 x的方程，再由方程有解的条件求出y的范畴；或解出 x再由函数的定义对 x的限制条件，建立关于 y的不等式，从而可求出函数的值域，这种方法称之为方 程法；2x2-8x+3例：求函数y=的值域J 2x-4 x+5数形结合：依据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域;例(D求函数y=x2+2 x+2+X。一 2x+2 的值域;(2)实数 x、y 满意，x?-y2-2x-4 y+1=0,求一及 y-x x+2导函数法：例：求函数f=l n(%LX2(x w 0,2)的值域(x)4di)已知函数值域求参数取值范畴例：已知函数y=x2-2x,3在区间0,m上有最大值3,最小值2,就m的取值范畴例：已知函数 y=l g 一1)+1)+1,2 2a x x(I)如函数的定义域为 R,求实数a的取值范畴；(II)如函数的值域为 R,求实数a的取值范畴；:、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性1、单调性：(留意定义是相对于某个详细的区间而言；)定义：假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个变量区间上是增函数；假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个变量()()()Xi、X2，当Xi X2时，都有f Xi f X2，就称f X在这个()()%、X2 1当Xi X2时，都有f Xi f x2 1就称f X在这个区间上是减函%)函数f(X)在区间m,n上是单调递增函数，且 f f(a)(b)就由n b =()+()()()()-=1=()=()=-_+=+()=-+()-f-b卜,就-a b为函数f x的周期；(X a b)f x),就其图象关于直 X 对称)(线 2b()-(-)=()()(-)=-()()()+-=()+-=_()-一()=()(一)=一()=J+J _=一+L:-=-+i ()函数y(f)(x上的图象关于=x f()丫代替丫)_函数y轴对称的图象是函数 v X)()e=y()的图象关于原点轴对称的图象是函数y f(x)(用 x代替X、用 y代替y)()e=()-函数yf,)的警关于有线 x对称的图变是函数 y f j(交换x、y,反解)涉及反函数，明白即可函数y的图象关于直=m对点的图表是函娄厂y f(2mx)(，用2m x代替x)线 X函数yf(x)的伊尊关(a,b)对不辎图象是函数+2b=y-f(2a x)()米代替x、Rb y代替y 于点(用2a如函数y f(x)满意f f(a x)t?,就yx)=(于点3、翻折变换 一 a bf(x)的图象关(,)对称 2 2+学习必备 欢迎下载函数y|f x)|的图象是将函数 f x)的图象x轴及x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称函数y y f(x)的图象y轴及y轴右边的图象保留，并且将y轴右边部分关于 y轴对称f|x|)的图象是将函数y4、伸缩变换：y 将y f(x)的图象上各点的纵坐标变为原先的a(a 0)倍，而横坐标不变，得到函数y a f(x)的图象 代替y)(用 ax x将y f(x)的图象上各点的横坐标变原先的b(b 0)倍，而纵坐标不变，得到函数 y f)的图象 代替x)(用bby A f(x)的图象可由y f 1 x)经伸缩及平移得到，详细参照三角函数的图象变换；五、反函数：(明白即可)指数函数y ax(a 01)与对数函数y l o ga x(a目a 1)互为反函数；它们的图象关于直线且a0y x对称；具有相同的单调性；指数函数六、常用的初等函数：y a 的定义域与值域分别是对数函数y l o g a x的值域与定义域;1、一元一次函数：f a x b0时，是增函数；当 a0时，是减函数;为使f a x x)b在区间m,n上的值恒为正，就只要保证0同时成立刻可1 x)1a0),当a0和f(m)n2、一元二次函数：一般式：f a x2(x)顶点式：f a(x)(xbbx c 0)；对称轴方程是x、顶点为(a 2ah)k；对称轴方程是x h、顶点为h,k)；b 4 a c b2,)2a 4 a两点式：f a(X)(XXi)X2);对称轴方程 X(X 是Xi x2；与x轴的交点为(Xi,0)(X2。)一元二次函数的单调性：f a x2 bxb(X)b当a 0时，)为减区间、1(,2a2ac(a 0)区间；为增当a0时,2a 2a为增区间、b求：次函数f x)a x2 在区间m,n的最值问题：先采纳配方法，化为 y a)bx c(x 2ab1、如顶点的横坐标在给定的区间上，即 m,n,就2ab)为减区间4 a c b的形式4 a2b当a 0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当a 0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；b11 如顶点的横坐标不在给定的区间上，即 m,川，就2a当a 0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当a 0忖：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得;有三个类型题型:(1)顶点固定，区间也固定；例：求2=y x x 1 x 1,1的最值(2)理点含参数(即顶点变动)鸣固定，这忖要争论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外;2例：已知函数f 2x(1x)2a x33在区间,2上的最大值为 2(3厂顶点固定，区间变动，这时要争论区间中的参数；例：为2y x x 1 x1,求实数a的值；a,a 1的最值=3 +3*+_0且a x 1）指数运算法就及根式与指数式的互化：m n mj B m n m n c,m、n-mna a=a a+a=a-(a=O,mn)(a)=an 口(a b J=gn，bn 伫=3(b.0)a0,01,ne N*,且n 1),b bn o,m,n*N*n1)(4 =aan=|I=,a(a-0)Q=当n为偶数时：a a-(5、对数函数：y l o g a x 0,a 1)f a对数运算法就及换底公式：=+l o g a MN=l o g a M l o g”l o g a M n l o g a M(n R)=Jo g a 1 0.l o g a a 1-=Ml o g a _ l o g aM.l o g aN N=al 09a N N a _0 且 a 1)l o g mN换底公式：l o q aNl o g ma以e对数函数:称为自然对数；以10为底的对数记为：Ig x,称为常用对数2.M828 为底的对数记为H Inx，yl o g a x(a 0 且 a 才)a +3、定积分的几何意义：在区间a,b上，如f 既可取正值又可取负值时，曲线 y f(x)的某些部分在x轴上方，而其他部分在1 x)b=+=-X轴下方，假如我们将在 X轴上方的面积给予正值，在 x轴上方的面积给予负值，那么在一般情形下，定积分 f(X)dx的几何意 义=+oO a是曲线y f(x)以及直 a、x b与x轴所围成的曲边梯形的面积的代数和；线x=+f=-l fI-=JJ 土=J 土JJ=J+J V ab 1|_dx=i n x|=0b|1dx=x a=b_aab 1 r xndx=xnJa n+1b a1n+1b舟1-;a n+1ba=In b _l n ab x:Xbc o sxdx=si na e dx=eba=sin b_sinaax bab a=e _eb si n xdx=_aba=_ c o sb+c o sa6、定积的应用:平面图形的面积：假如平面图形由连续曲线by J 1 x)、=gy(x，与直线x=a、x=b所围成，那么这块图形的面积为:a由曲线=7T-V即：-g(x)|dxf(X以及两条直Xox)dxa、x b和x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周面成的旋转体的体积分式为:变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程S等于其速度函数v(t)(V(t)0)在时间区间a,b上的定积分,S v(t)dxa变力作功：一物体沿变力F(x)相同方向从 xa移动到x b时，变力所作的功为:W F(x)dxa一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数;项公式a n；前n项和公式S等差数列；等差中项;.、基本公式：1、一般数列的通项 an与前n项和Sn的关系:写”；如不满意，就数列的通项应分段封;2、等差数列的通项公式：=ana iIn1)and、第四章 数列有穷数列与无穷数列；常数列、递增(减)数列、摇摆数列、循环数列；通等比数列；等比中项S(n USn Sn1(n，如满意由a n Sn Sn 1推出的2)an.就需要统一“合ak(nk d+-)(其 中a1为首项、a k为已知的第k项)当d 0时，a n是关于n的一次式；当d 0时,a n是一个常数;3、等差数列的前n项和公式:Snn an)Snr i a 1n 2(ndo n(nSn nan221)d学习必备 欢迎下载当d 0时，Sn是关于n的二次式且常数项为 o；当d。时（0）,Sn r i a 1是关于n的正比例式;4、等比数列的通项公式:3n a iqn1ank（其为首项、a k为已知的第k项，a n 0）中5、等比数列的前 n项和公式:当q 1时,Snna i（是关于n的正比例式）；三、有关等差数列的结论1、等差数列a j中，如m2、等差数列a n的任意连续3、4、5、6、7.当q 1时,Sna i(11n、q）Sn3ianqq1qn p q,就 a mm项的和构成的数列Sm、S2m S3m分别是等差数列 小J的前两个等差数列a n与bn的和差的数列a nanapanqSm、Sm、S2m、S4 m S3 m、仍为等差数列;m项和、前2m项和、前3m项和，就Smm、an0仍为等差数列;等差数列a j的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列a n为等差数列，就在等差数列 3n 中:如项数为2n,就如项数为ca ncs偶S.可2n 1就，S奇s偶8、两个等差数列a n与bn的前9、看到形如：ana。1d0）是等比数列;nda n 1s市 s奇S偶n项和分别为Sn、2 2&Sn1 d11d、四、有关等比数列的结论1、等比数列a j中，如2、3、4、5、6.anmnPan2an，11Snq，就Sn 1ann 1S2n1 a ni(2n 1)nTn，就d、d、a n等比数列a n的任意连续m项的和构成的数列 Sm、两个等比数列a n与bn的积、商、倒数组成的数列等比数列a n的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列;bn(bn在等比数列如项数为anap 3nanbnananaqSm、bn、S2n 121ananbnd、.二 snSn0）是等比数列,就l o g cbn)0且c1）是等差数列;can中:2n)就s偶如数为2n 1就，s奇S奇qa i7、看到形如:ans偶qq an 1、(a n 1a n)q1 a2an1)S2m2mS-Sn2S3 m、1仍为等比数列;bnanan1nS3m也成等差数列3md、SnSn 1 d、应能从中找出相应的等差数列:仍为等比数列;1、(an 1 t)q(ant)、sn1应能从中Snq*找出相应的等差数列+H卜+学习必备 欢迎下载五、求数列a j的最大、最小项的方法:021、比差法：an4 4-an=.=j=0 如 an=-2n+29n 3l1 n2、比商法：(an 0)如 an=?_)an I d 10；0、d 0时，满意1 八I am-0当0时，满意包。一 0的项数m使得Sm取最大值.的项数m使得Sm取最小值.2、利用Sn（d=0时,Sn是关于n的二次函数）进行配方七、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等；关键是找数列的通项结构;1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和;例：已知数列a j的通项为：a n=2n+3，求Sn2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和;例：已知数列a j的通项为：an=(2-1)2n,求 S n n3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾如干如n ink J.n k n k n k k(n=例：已知数列a j的通项为：an，求Snn n 1=+一+-+4、倒序相加法：利用等差数列前 n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加；例：已知|g xy a,Sn|g xn Ig xn 1 y Ig xn 2 y2 Ig y n（x 0、y 0）求 Sn 在解含确零值的整列最值问题时，留意转化思想的应用；八、由数列赢关系式求通项公式；=-+=+1、形如a ni_a n+f（nJ型（用累加法）例：已知赢J a j满意1、a e an n，求a n 2、形如a n 1 c an d=1）型邛介差法、参裁法）；（c 1例：如数列a n满意1，an1 an 1,求a n23、递推关系中既含有 an,又含有Sn型（统一为仅含有项或仅含有和的关系，然后再作处理，依据是+=N=一1例：已知数列a j的前n项和为Sn-且满意an 2Sn Sn 1 0 2），f nan_ _ NSi Tn 1)Sn Sn1(n 2)2学习必备 欢迎下载（1）求证：是等差数列；（2）求a n的表达式九、有关的思想方法1、从方程的思想上看：利用通项公式和前 n项和公式及等差数列的五个量：a i、d、a n、n、Sn（等比数列的五个量：、q、a n、n、Sn）中的三个量可求其余两个量，即知：求二,基本能解决数列的常规考题；2、从函数的思想上看：等差、等比数列的通项公式、求和公式都可以看作是 n的函数，所以等差、等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.a 1 q“）3、从分类争论的思想上看：用等比数列求和公式应分为 S 1-义）及 na r 北）；已知S求a时，也=-（。a=q i=要n q n 1 n n1 q进行分类；4、在解数列问题时，应留意观看题目中给出条件中“下标”的特点，有时可以更简便的运算5、在解答有关的数列应用题时，要仔细地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列学问和方法来解决；解答此类应用题是数学才能的综合运用，决不是简洁地仿照和套用所能完成的.特殊留意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错；第六章不等式一、不等式的基本性质：2、传递性：如a b b c，就a c+3、加法单调性：如 a b，c为任意实数，就a c b c 4、乘法单调性：如 a b，c 0为任意实数，就a c be 如a b，+5、不等式相加（指同向不等式）：如a b c d，就a c b d V 一6、不等式相减（指异向不等式）：如a b,c d,就a c b d 7、不等式相乘：如 a b 0 c d 0，就a c bdc 0为任意实数，就 9、乘方法就：如a b 0 10、开方法就：如a b 0 ，o C A 部 a b a,就,c dw n n N 且 n 1,就 a 二 bW 7 n N 且 n 1,就 n ann b11,倒数法就：如 V a b 且 a 就 1 1 a b二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数;-a_b 7=1、如a、b 0,就 a b（当且仅当a b时取等号）2/-+n 厂基本变形：a b；a b c 3 a be2 2 基本应用：放缩，求函数最值（常用的方法为：拆、凑、平方；）留意确保“一正二定三相等”积定和小，和定积大学习必备 欢迎下载例：（1）函数y4 x91）的最小值（2）如正数三、确定值不等式:变式：假如a、四、柯西不等式:X2 4 x2x,y满意x 2y|a|b|ab、c为实数，就1、柯西不等式的向量形式:2、(a2b2f c2d2)a c1,就1X1的最小值y3、二维形式三角不等式:Xib|aI I|a Ic|a b|留意：上述等号“=”成立的条件;|b c|,当且仅当（aI（当且仅当 时取等号）b)(b c)。时取等号bd2X2）（当且仅当a dbe时取等号）)2V2yi)2x2x)V3y2)2XiX3)(2yiysl五、证明不等式常用方法:1、比较法：作差比较:0a ba bb、aab0ab、ab0作差比较的步骤：作差（对要比较大小的两个数（或式）作差）；变形,（对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和）；判定差的符号，（结合变形的结果及题设条件判定差的符号）；得出结论;留意：如两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小；此外，有时也用到比商法2、综合法：执因索果；3、分析法：执果索因；基本步骤：要证 只需证，只需证4、反证法：正难就反；5、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的；放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：a2 1 a：将分子或分母放大（或缩小）n 1)n(n利用基本不等式，如：l o g3 Ig 5 幻53 22利用常用结论：l g 15 l g 16 Ig 4;n 1n1)(n1)2(i)k 1 k1k k 1)1k2 1 k(ii)1k2(iii)1k21k 1 k1 1k 1 k11)(k1)12 k1 1 1k 2k 1)k(k1 1.1 J(k 12 k 11k 16、换元法：换元的目的就是削减不等式中变量,以使问题化难为易，化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元；如:2 2 2已知 x y a,可设 x a c o s、y a si n 已 知x22y1,可设X2 已知X。2ar c o s、r si n y；-0 rN2 1,可设 x a c o sb、y b si n_+一 +a P a-P a P+2+=J-+J n-v u u 一=u+=8e学习必备 欢迎下载已知x t可设 x=a sec o、y=bt a neb27、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；六、不等式的解法：1、一元一次不等式：b b a x b=o）：（i）如 0,就 x ；（2）如 a 0，就 x _；（a a a ab b a x 0,就 x_；如 a _；（a a aa2、一元二次不等式：留意二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三个二次之间的联系；能依据二次函数的图象解元二次不等式；会解简洁的含 参数的不等式，要应用分类争论的的思想；对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；=+=_=2例：已知二次函萼f、a x2 bx c（a、Jd、c _ R）满意J 1且f（1）0，对于任意实数x都有f 1 x）0、（x）-一（1）证明a 0,c 0（2）限函演g f mx（R）：m的副范畴，使函数g 上是单调函数；一 x）（x）1 X）3、确定值不等式：如 a 0,就|x|a a x a；|x|a x a或x a；确定值的几何意义：|x|、|x m|解有关确定值的问题，考虑去确定值，去确定值的方法有：=Q c o sp 上c o s01si n 0（2）正弦的差角公式：si n J _ 0）=si n a c o s p _ c o s&si n 0（3）余弦的和角公式：c o s j+0）=c o s,）c o s _ sin?si n o（4）余弦的差角公式：c o s J _ p）=c o s%c o sp+$111,3 si n b（5）由/得正切的和角公式：yn,上 口=t a na+t a n B（1 _ t a na t a n Po cc-t a n P（6）由/得正切的和角公式：t a na-P）=Ta f i-万（J 1+t a n01 t a n 0ot+B=a+B+ol B注：公式有变式：t a n-t a n-t a n T（1 t a n-t a n）2、二倍角公式：a=B=8 A=A 8（1）对公式令 可得正弦的二倍角公式：si n 2 2sin c o s 学习必备 欢迎卜,载变式1:（万能公式）si n 28=2 t a nO1+t a n2 0变式2：（1与正弦的配搭）、1 sine=+sinJ2 一20 COS2*,0 si n _2（2）对公式令a=P=e可得余弦的二倍角公式:e=c o s 22e _2COS0,2 si n变式1：e（万能公式）cos2-1+t a n1t a n0202变式2：o=ec c 2c o s 2 2 c o s10=c o s 21 2sin20变式3：（降塞公式）由公式、变形可得降幕公式:.2 si n0=10c o s 22(II)COS29=+01 c o s 22变式4：（1与余弦的配搭）1（3）对公式令00=2 c o s 2 si n2+001COSc 22 c o s2a=B=B可得余弦的二倍角公式：（也可以由公式/再经过变形）可得:0=t a n 2102 t a n 小 ut a n2正切的半角公式:t a n23、积化和（差）在和（差）角中,由在和（差）角中,由在和（差）角中,由在和（差）角中，由6564、部/本）生积a令/和6 _ si n一 2c o s2+P+得:得:+得:-得:-P=,A B A B si n.c o sg2 _CO SA BsinA B22si nsi na+Pac o sc o sa2c o s2c o s216c o s-dsi n+si n)si n+B+aB,就a-P)a P2 si n c o sa 即si nPc o sa+Ba-Paa P2 c o s si n即a Pac o ssi nasi n+a)sin(2 a+B-si n)c o s)c o sa-PP)2c o s c o s即c o sc o saap2sin si n即si nsi nA B 和_ 2A B2.，分别代入芈）、（15）、（17）得:bill M bill D A.rc.Aa A Q即 si n A si n B 2sin A B A B7 _=g c o s 2si n si n BA si n B-a r a r即 si n A 2 c o s A B.A b2 2 o i i i 2-P)(14)a-P)si n(19a+B+a-Pc o s)COS(a+B 2 a-Pc o s(18)(19)c o s(2%22学习必备 欢迎下载A+B A-B c o s A+c o s B c o s-c o s-=-即222c A+B A Bc o s A+c o s B=2 c o s-c o s 2 2,A+B,A-B sin-sin-2 2c o s A-c o s B5、帮助角公式：a si n 0+b c o sO=v;a2+b22a.A+B.A B即 c o s A-c o s B=-2 sin-sin-(21)22bsi n 8+）（其中帮助角3的终边与点（a,b）在同一象限，t a nc p=一）a五、正弦函数y=s inx、余弦函数y=c o sx、正切函数y=t a n x的图像及性质且y=si n xy=c o s x五点7T(0,0)1,1)(r、-1)、q)o(2(0,、T 江,一1)、，0)、/)i i,0)、z 3 o草图2j2(2、一尸、I J J定义域-R一R值域It n-4 1,11 7T 713珅L调区问增：2k,2k2减：2k,2k 2=兀 2 2增：2k,2k J _ 唯2k,2k J周期性T 2T 2奇偶性7T=冗+一奇函数=71偶函数对称轴X K（经过2，最高或最低点且与 X轴垂直的直线）X K(经过2最高或最低点且与 X轴岷，的有:线）（图像与x轴的交点）（1）能用五点法作正弦函数、余弦函数的草图；利用图像把握函数的二域三性，能找出对称轴、对称中心；能利用三.角函数的图象解2简洁的三角方程、三铺不等式;3 +9co(2)明白函数y Asin t x)j 0,3）0、电物理意义能作出其科图像，依据其图象了把握其性质:(3)例；(4)振幅A,=周期T.+页率函数 y Asin(x1,相位 Tx,初相）的图像是由函 数y si n x经过平移、=-伸缩变换得到的;要得到函数y sin2x的图像，只需将函数正切函数71yy c o s(2x4的图像进行怎样的平移？t a n x的图象：利用正切函数的图像把握其二域三性,冗7T能找出对称中心；7T+=n定义域：x k2值域：R；奇函数;增区间:(k,k 22周期：T六、三角函数何强值+W2 2一次型y a si n x bc o sx c(引入帮助角，化为 a b si n(xc,再由正弦的取值范畴求之）学习必备 欢迎卜.我例：求函数y 2 si n2x 4si n x c o sxo5 c o s x的最值;例：求函数2y 2 si n xc o s x 2 3 c o sx 3,x r 1的最值;414二次型ya si n 2x b sinx c(设 tsinx，化为二次函数 y a t2 bt c在闭区间t1,1上的最值求之）例：求函数y 2 c o s2x4 c o s x 5的最值;形如：ya si n x b（1、由si n x的有界性来限定；2、分别常数法；3、数形结合；）例：求函数形如：yt2,例：求函数c si n x d3c o sx yc o sx1的最值;2a si n x c o sx2上求之）ysi n x c o sx七、三角变换:化函数名变换:（1例：化简化角变换（ab(sin c o sx)c(设 t si n x c o sx,化为二次函数 y x十1）bt c,在闭区间2si n 2x的最值;通过变换，化异名函数为同名函数，或削减函数名，变函数名可依据同角变名或异角变名;2t a n10)2 t a n21 t a n 1021012（如切割化弦法）2 si n 65)例：已知:3si nsi n(2,且k2（k z）求证:t a n2 t a n公式变换：两角和的正切公式的变形:t a nt a nt a n)t a nt a n1例：求值 t a n 12 t a n33 t a n 12t a n33升降嘉的变换：倍角公式及其变形3 例：化简81c o s2x21c o s4 x8例：化简sin6si n 42si n 66si n 78例：求证函数 ysin2x)12c o s2(x)121的最小正周期是：T“1”的三角代换;1例：求证：1.6 sin.4 sin6 c o s4COS八、公式、结论1、弧长、扇形面积公式:弧2、同角三角函数值的大小比较si n 与c o s 的大小关系如图32|RnR180s扇形1 IR2；r2|In2R