2022年高中数学基础知识整理篇.pdf

高中数学基础学问整理篇一、集合与简易规律一、懂得集合中的有关概念(1集合中元素的特点：确定性，互异性，无序性；集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A A空集是任何集合的子集，记为 A空集是任何非空集合的真子集；(3集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图.说说以下集合的区分：A x|y 2x 1.B y|y 2x 1C(x,y)2x 1,D x|x 2x 1|yE (x,y)2x 1,x Z,y Z)|y(4)空集是指不含任何元素的集4口，0、和 的区分；。与三者间的关系;A留意：条件为AB,在争论的时候不要遗忘了的情形;如：A x|ax22x 1 0,假如 A R求a的取值.:、集合间的关系及其运算(1)符号“，”是表示元素与集合之间关系的,如立体几何中的表达点与直线(面)的关系：符号”，”或“”或”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达面与直线(面)的关系(2)交、并、补的运算性质:对于任意集合A、B,就:(见课本)切记：A BA,A BABB“交的补等于补的并,Cu(AB)CuA Cu B”“并的补等于补的交,Cu(AB)Cu A Cu B”A B即即(3)集合中元素的个数的运算:含有n个元素的集合的子集有 2r l个.含有n个元素的集合的真子集有 2n 1个.Un含有n个元素的集合的非空真子集有c ar d UB)=c ar d+c ar dA a)(4)韦思图的运用：三、规律联接词与真值表1.规律联接词：或、且、非(命题的否定)2n _2 个._ c ar d i B)(A2.真值表:APq育p q育火火火IIXIIXI改-I双假VP育q百p q百只火伸火声I改 或q”命题的真假判定：一真为真；-1命题“P”与命题P的真假间的关系：如P是真命题，就 P必是假命题;-1如P是假命题，就 P必是真命题;四、四个命题与充要条件1.四个命题及其关系-P.Mq.且q”命颍的真假判定:，假方假-P-M_吐假 真(1写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时，第一要分清条件 p(题设)和结论 q；其次要正确写出非 p和非q；再次，有时命题带有大前提，在写逆命题、否命题和逆否命题时，大前提不能变化；(2)留意否命题与命题的否定的区分，不能将两者混淆；2。或q”命题的否定：P且P；。且q”命题的否定：P或-p（3互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性；2.充要条件（1）定义：命题：如 p,就q.如p _ q,但q r*p；就p是q的充分非必要条件;如p q,但q p*n如p q,且q p就p是q的必要非充分条件;就p是q的充要条件；如pq,且q p；就p是q的既非充分又非必要条件在判定P是q的什么条件时，由定义，一般要考察命题 p q（充分性）和命题q p（必要性）的正确性，后者是前者的逆命题；而判定一个命题的正确与否，可以用其等价命 题（逆否命题）来解决，特殊命题是否定性的结论时，即原命题与逆否命题，否命题与逆命 题具有相同的真值.（2）证明充要条件时，第一要弄清晰充分性和必要性是指什么命题成立，再分别去证明，从而下结论，这样证起来层次分明，条理清晰.（3判定充要条件的常用方法：定义法、逆否法、集合法；五、反证法1.步骤：假设结论反面成立；从这个假设动身，推理论证，得出冲突（与定理、定义等冲突、与假设冲突、推出自相冲突）；由冲突判定假设不成立，从而确定结论正确;2.当证明 如p,就q 感到困难时，改证它的等价命题 如P就P”成立；3.适用与待证命题的结论涉及“不行|言”、“不是”、“至少”、“至多”、“嚼虫”等字眼时；原词谙=是都受口 k.I:至多但一个 至多1K-At-,Ai n个至少有A tl.上江士一个仕总白片-ft：个J 都是杳无可谙T卜六 W；./I、E 至少两11至少侑n+1I-I iH/x W仔仕 I3、函数一、函数的定义及其表示1、函数的定义、映射的概念；2、函数的三要素：定义域、值域、对应法就；3、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法、分段函数等；:、函数的性质1.定义域(自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域、复合函数的定义域 等)；2.值域(求值域的方法：配方法、分拆法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元 法、判别式法等)；定义域和值域只能用集合或区间表示；3.奇偶性(在整个定义域内考虑)(1)定义：(2)判定方法：定义法一一步骤：求出定义域并判确定义域是否关于原点对称；求f Lx)，比f x)f x)f x)_ fx)的关系；图象法较 与 或 与(3)常用的结论已知：H f(x)g(x)1 x)如非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，就在公共定 H(x)为偶函数;义域内如非零函数f(x),g(x)的良偶性相反，就在公共定 H(x)为奇函数;义域内如f(x)是奇函数；且。定义域，f 0)0.就4.调性(在定义域的某一个子集内考虑)11)定义：(2)证明函数单调性的方法：定义法步 X3X2 A且X2；作差骤：设N W=f(Xi)f(x2)般结果要分解为如干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清晰地判定出)；判定正负号;(多项式函数)用导数证明：如fX)在某个区间A内有导数，f 0(x A)f(x)就=x)在A内为增函数；f o(x)x A)f x)在A内为增函数.(3)求单调区间的方法:a.定义法；b.导数法；c.图象法；d.复合函数y fgx)在公共定义域上的单4调性：如f与g的单调性相同，就fg(x)为增函数；如f与g的单调性相反，fg(x 为就减函数；简称：同增异减；留意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.(4)些有用的结论:奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反;一个重要的函数；函数y x b 0)在 Ab或b,)上单调递增;在b.O)或(0,b上是单调递减.(对勾函数或NIKE函数)5.函数的周期性(1)定义：如T为非零常数，对于定义域内的任一X使f(x T)f(x)恒成立,f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数f(X)的一个周期.三、函数的图象1.基本函数的图象:(要求把握并能娴熟应用)(1)(7)函数y一次函数、三角函数、b x0)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函数、(5)对数函数、等;(b x2.图象的变换(1)平移变换函数ya)f a0)的图象是把函数yf X)的图象沿x轴向左平移a个单 位得到的；函数a)(a0的图象是把函数f(X)的图象沿右平移a个单X轴向yxyx位得到的;函数ya0)的图象是把函数yf(x)的图象沿y轴向上得到的；函数y(x)平移a个单位aa(x)(a0)的图象是把函数yf(x)下平移的图象沿a个单y轴向位得到的;2)对称变换函数y f(x)与函f(x)的图象关于直线x 0对称;数y函数y f x)与函 数yf(x)的图象关于直线 0对称；y=+9 5+函数y f x)与函fx)的图象关于坐标原点对称;数y假如函数y f x)对于一 R,都有f 3x)f切 xaX 那么y f X),的图象关于直线x a对称；函数y f x)与函数(y aax)的图象关于直线Xa对称;y f y If(x)y f y f(|x|)(x)I(x)同底数的指数函数与对数函数互为反函数，他们的图像关于直线 y x对称；熟识分式函数的图象：例：y 2x 1 7 定义域x|x 3,x R,值域y|y 2,y Rx 3 4 x 3x 3与y 2是函数的两条渐近线(3伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中)四、函数、方程与不等式1.”实系数一元二次方程 ax2 bx c 0有实数解转化为“b2 4ac 0，你是否注意到必需a 0,当a。时，“方程有解”不能转化为 b2 4ac 0.如原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？2.:次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系(见课本)3.利用二次函数的图象和性质，争论一元二次方程实根的分布；留意：依据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件；留意端点，验证端点；4.把握二次函数在闭区间上最值问题的求法；处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用两看法”：看开口方向；：看对称轴与所给区间的相对位置关系；5.函数的零点与方程的根.(1)函数零点的概念;对于函数卢fX（x）D），据-f-。成立的实数X叫做函数y f X）D）的零点.使（X）XW+=6o-7+(2)函数零点的意义:函数y f(x)的零点就是 f 0实数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交 方程(x)点的横坐标.即：方程 f。有实数根 函数y f(x)的图象与x 轴有(x)交点 函数y f x)有零点.(3)函数零点的求法：求函数y f(x)的零点：(代数法)求方程 f 0的实数根；(x)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.6.用二分法求方程的近似解(1对于在 a,b上连续不断，且满意 f f 0的函数y f(x),通过不断区间(a)(b)地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求 f(x)的零点近似值的步骤如下：函数1)确定区间 a,b,验证f f 0,给定精度.(a)(b)2)求区间(a,b)的x 1.中点3)运算 f(Xi)如f 0,就人就是函数的零点；(%)如f f 0,就令b X(此时零点Xo(a,X)(a)(%)如f f 0,就令a%(此时零点Xo Xi,b)(b)4)判定是否达到精度e即如I a b|E,就得到零点零点值 a(或b)；否就重复步骤24.五、指数函数与对数函数(-)基本初等函数7 干干 中干e=芋=-C+oO+”00+oc单调性减函数增函数减函数增函数定点 9,1）1,0）x 0 时，y 1 x。时，0 y 1 0 x 1 时，y 0 0 x 1 时，y 0 函数值分布X。时，0 y 1 x 0 时，y 1 x 1 时，y 0 x 1 时，y 03）有用的结论函数y a与y l og a x。且a 0）图象关于直线y x对称；函数 y a与（ay a(a。且a 1）图象关于y轴对称；函数y 1。1*与丫 l oga xaa0且a 0)图象关于x轴对称.记住两个指数（对数）函数的图象如何区分？（争论底的大小与函数的关系）（1）基函数（要求会画图像）基函数性质归纳.（1）全部的募函（）都有定义，并且图象都过（1,1）；数在 0,点（2）。时，基函数的图象通过原点，并且在区间0,）上是增函数，特殊地，当 1时，基函数的图象下凸；当 0 1时，基函数的图象上凸；。时，募函数的图象在区间（）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向0,原点时，图象在y轴右方无限地靠近 y轴正半轴，当X趋于 时，图象在X轴上方无限地靠近x轴正半轴.三、导数1.导数的定义:设是函数y（x）定义域上的一点，假如自变量x在处有增量 x,就函数值y也引起相应的增量y f X）f）比值丫（x（Xo X 00在点x到x X之间的平均变化率；假如极限 l im yX f&称为函数y f（x）X 0）l im f x）f 存在，就（X X。）0X 0 y称函数y fx）&处可导，并把这个极限叫做 y f x）在设处的导数,在点 记作f（小）或ylxx。，即f(x q)i-yx hm0 vl imX f0 f)f(Xo)XoK2.导数的几彳h物理意义：9 wa a a =+AA_+A +Ar-)Ar-)A+A-A(1)函数yf（x 几处的导数的几何意义就是曲线 y fix（x f（x o）在点 在点 0）处的切线的斜率,也就是说，曲线yf（X）在点P f(Xo)Xo,斜率是）处的切线的f（Xo）,切 线方程为y y01X。)Xg).(X3.(2)Vs（t）表示瞬时速度，Va求导数的四就运算法就:(uv)u vy i(x)(t)表示加速度.21 X)fn y11 x)(,fl(x)f2(x)fn（X）（UV）vu vu（CV）c v c v c v,(c 为常数)U()vu vu2 V(v 0)V4.几种常见函数的导数（8个公式）c o C为常数)、(m (l X)mxm 1 Q)、x)c osx、(sin x)(c os sin xm(ex e、(a ax In a(x)、(l ogX)In X)x1 l og x5.复合函数的导数：yx yuux6.导数的应用：1）函数单调性:（1）函数单调性的判定方法：设 函数y fx）在某个区间内可导,假如f 0,就(x)v fx）为增函数；f。，就y假如（X）（X）为减函数.（2）单调区间的求解过程：y f（x）已知分析y fx）的定义域；求 y f（x）导数解不等式f（x）0,解集在定义域内的部分为增区间；解不等式f 0,解(x)集在定义域内的部分为减区间.(或用列表法，见课本)=2)求极大、微小值：已知 上f(X)分抄y f 的定义域枣导数y f(x)=10=+=+=+=-e=+a-i+a n n _ 23.前 n 项和公式：Sn=.=nai+r.=An+Bn2 n(n d4.重要性质举例 2a与b的等差中项A a+b：一 2如 m+n=p+q,就 am+an=ap+aq；特殊地：如 m+n=2 p,就 am+an=2ap奇数项成等差数列，公差为2d；偶数项a2,a4la6)-成等差数列，公差为2d.在等差数列aj中:-八,$偶 1i.如项数为2n,就S偶一及】=nd,=+S奇HS偶 n 1ii.如项数为 2n+1,就 5奇 _ 5偶=an,S奇S2”=+1).a”2n、l=+=+=+设 A 81 32 an,B 8n 1 3n 2 a2n,C a2nl a2n 2 a3n,_+就有2B-A C;等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m Sm、S3m S2mS4m S3m 仍为等差数列;用一次函数懂得等差数列的通项公式；用二次函数懂得等差数列的前 n项和公式.在等差数列a。中，有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解:当为 0,d 0时，Sn有最大值；当a1 O.d。时，Sn有最小值.r a-0I当 0,d 0时，满意 的项数m使得Sm取最小值.、am 1 0三、等比数列 v*1.定义：a-q _ 2,an 0,q 0)aj成等比数列；n 1(fl=-2.通项公式：an a,qn 1;推广 an 3mq”m；(n m)12nai（q=1）3.前n项和Sn=，ai-Q 11）-；（留意对公比的争论）（；。3 不1）-q-1 卬q4.重要性质举例a与b的等比中项G G2 ab G ab（a,b同号）；+=+=+=如 m n p q,就 am an 3p aq 特殊地：如 m n 2 p,就 am a。a：=+-+=+-+=+=设 A a2 an,B an t an2 a2n,C a2n1 a2n 2 a3 就有 B?A C等比数列aj的任意连续m项的和构成的数列Sn、S/、S3m S2m、S4m S3ms仍为等比数列.在等比数列4中：i.如项数为9n就痂一口，如数为2n 1，就 s 偶用指数函数懂得等比数列（当&0,q 0,q 1时）的通项公式.四、等差数列与等比数列的关系举例1.4成等差数列二卜3成等比数列；2.an成等比数列J l og ban成等差数列.五、数列求和方法1.等差数列与等比数列求和（公式法）2.几种特殊的求和方法-4-=-(1)裂项相消法：+1r k han B)(An C B An B An CAn C)如：an1 1 1 1 111(n 1)p 1 n (3)4 4n 3 4n 1J4n 14nl)错而减弦 Cn,其行是等差数列，孰+是等比玄列一an=+记 Sn biG b2c2 bnGi bnCn；就 q Sn C2bn&bnCn 1（3）通项分解法：an bn cn（4）倒序相加法.六、等比数列的前 n项和公式的常见应用题:13(1)生产中有增长率的总产量问题，例如，第一年产量为 a,年增长率为r,就每年的产量成等比数列，公比为 1 r,其中第年产量为a r)且过n年后总产量为:1a a Mr)a r)(21、a a(1r)nar)(n1 1(1 r)1(2)银行部门中按复利运算问题，例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r,每月利息按复利运算，就每月的a元过n个月后便成为a1)口元，因此，其次年年初可取款;a x a s a(r J r r J rl 12 J 11 J1 1 1(3)分期付款应用题：m为m个月将款全部付清;a(1r)r)1 r)121(11(1 r)a为分期付款方式中贷款为 a元;r为年利率，a r)x m m 11 1ar(1 r)mx(1 r)m 1m 1x r).x(1 r)x a r【m2(m1 1X(1五、平面对量一、向量的基本概念1.向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量(平行向量)、相等向量、直线的方向向量.2.关于单位向量.3.关于直线的方向向量.二、向量的线性运算(-)加法与减法运算1.代数运算11)A2 A3 An 1 Ap An.AA如al x,yj,b丫2),就 a bX2 j(%x2,V】y2).3A，M),B,y：),就(x1)y2 yU I AB I(x)(y)“9 2取 l x 1 x2 AB x2 X2 1y2 1+*+-=2.几何表示：平行四边形法就、三角形法就-+14+=-一 十+=+-+=+=-+以向量AB a、AD b为邻边作平行四边形 ABCD,就两条对角线的向量 AC a b,BD b a,D B a b,且有|a|b|a b|a|b|3.运算律向量加法有如下规律:a（交换律）；(b c)（ab）c（结合律）；aaab b0a（-）实数与向量的积a,a)ba)0a(b),b)c a c b c 等等(aab b a1.实数与向量a的积是一个向量.2.|aIIHal(1)。时，a与a的方向相同；当。时,a与a的方向相反；当。时,a 0.当如ay），a（x1（）就三、两个向量共线的充要条件:1）向量b与非零向量有一个实数，使得ba共线的充要条件是:a.有且仅(2)如a,a/bXiy2x2yi 0.(Xi,yJ,b(x2,y2)就3 设)A l x,)B x3,y3),就A、B、C三点共线X2,丫2),CAB/ACABAC0)x2 M,y2Xi,y3 yj 0yi)X3 向量 x2%(y3OA、OB不共线,yiX3X)()y2OP mOA nOB,就A、P、B三点共线的充要条件是 mn 1.四、平面对量基本定理1.如e、亳宠闻二平面丙的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量旦只有2寸田数 TTz一便得 a _2e2-*-三一+-15+-=+=+=X =X+=,+一/=)1 i九 Av 九 九=%=九.=九 九X=X=u-=U U=九 九手 =A 入u-一=一=+=A九=九 十九指出：(1)我们把不共线 3、4叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；向量(2)基底不惟一，关键是不共线；(3由定理可将任一向量a在给出基底3、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟。，二是被a,en e2唯独确定的数量一一 A A2.有过的结色如 0、02是同一平面内的两个不共线向量，如一对实数 1,2,使得X+入=X=?.=1 1 2 0，就 1 2 0.五、向量的数量积1.向量的夹角：一=Z=0 0/+a+919a 4-P=a+P-a-Pa+P=a=B a=Pa P 上+-a a=-a a a-a+o一 Vt an 75 c ot15 2 3.三、三角函数的图象与性质1.列表综合三个三角函数y sin x,yc osx,y t an x的图象与性质:定义域值域周期性 奇偶性单调性留意:yyysin xR1,12奇函数 2k,2 2上为增函数；32k2为减函数sin x 与22k2kk Z)2.函数y期是TX留意:y c osxRI x|xyRMxt an xk1,k Z 21,12偶函数1),2k 上为R奇函数2k增函数l 2k,(2 k1)上为2 减k,2k)上为增函数（k Z）函数（k Z）y sin x的单调性正好相反;c osx与y c osx的单调性也同样相反.一般地，如Asin(x2ky频率是(1)k 2最值的情形;（2）会求f（x）在a,b上递增（减），就yfx）在 a,b上递减（增）BZ),(其中A 0,o）的最大值是A B,最小值是B,相位是 x2凡是该图象与直线明白周期函数和最小正周期的意义,初相是,其图象的对称轴是直线yy单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,（3）会从图象归纳对称轴和对称中心;y sin x的对称轴是x ky c osx的对称轴是x kB的交点都是该图象的对称中心Asin x）的周期，或者经过简明白加了确定值后的周期情形;（k 对称中心是 0）z）;Z）,对称中心是 kk,0)okZ2y=t an x的对称中心是（-八0 fk2，留意加了确定值后的情形变化.（4）写单调区间留检 0.3.明白正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用五点法”画正弦、余弦函数和函数y=Asin&X+Q）的简图，并能由图象写出解析式.道点法”作图的列表方式（看课本例题）（2）求解析式=Asin x+。）y时相位p的确定方法.=8+54.正弦型函数v Asin（x）的图象变换=G）+3 C0 一般地，函数y Asin（x）R的图象（其中 A 0,0）的图象，可看作由卜面的方法得到：=9 0 v cp把正弦曲线y sinx上全部点向左（当 0时）或向右（当 0时）平行移动|个单位长度；co co V再把所得各点的纵坐标伸长（当 A 1时）或缩短（当0 A 1时）到原先的 A倍（横坐标不变）.即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换如先作周期变换，再作相位变换，就y=A sin ti）x-=A sin（sx+p切记：四、解三角形1.几个重要结论-=-=-=o K p（1）正弦定 2R（2R为三角形ABC的外接圆直径）或写成理：sin A sin B sinCa:b:c sin A:sin B:sinC,在应用正弦定懂得决 已知两边和其中一边的对角，求解三角形时应留意解曲个数；2 2u u 2 23.三角形 ABC 中，a b A B sin A sin B.a TT 冗+-2 2 24.锐角 ABC 中，A B,A B,sin A c os B,c os A sin B,a b c 2 2附：三角形的几个心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 内心：三角形三内角的平分线相交于一 点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.七、不等式-、不等式的基本性质与定理1.实数的大小次序与运算性质之间的关系：u-=:-U（1）a b ba或 ab b a（对称性）n =+ab a c b c+=-推论1：a b c a c b（移项法就）；=+推论2：a b,c d a c b d（同向不等式相加）22/a b,c 0=ac be,a b,c 0=ac b 0,c d 0=ac bd推论 2：a b 00 an bnE a b 0=ya；b 即 N,n 2 2）1 1E ab 0,a b=?0,|a|0,当且仅当 a=0取“=”（2）a,be R就a?+b2 2 2ab（当且仅当 a=b“=”）（3）a,be r+,就 a+bN2、WB（当且仅当=13时取“=”）a+b 一汪：-算术平均数，、ab 几何平均数.2算术平均n几何平均（&、a2*an为正数）：&+a2+an、n 石？g-（a a.a 时取等）-n-V =1 2 n 1 2 na2 _ b2 a,b:l2（当且仅当a=b时取“=”）2 25）平方平培算术平均2几何平均之调和平均（a、b为正数）：a+b a_b _2_（当a=b时取等）（调和平均作为参考）2-2-v ab-1 1+a b9 9 9 9 9 3 b6+b）+d 2+bd）（当且仅一=一时取=”）（柯西不等式作为参考）（a（c（当 c d夕C+214、最值定理：设=x,y 0,由x y 2以得+（1）如积+虺为定值，就当且仅当 x 以寸，x y有最小值2x ys（2）如 y S为定值，就当且仅当 x y时，X y有最大值（）和 x 2.2即：积定和最小，和定积最大.+注：运用最值定理求最值的三要素：正二定三相等.5.含确定值的不等式性质：|a|b|a b|a|b|（留意等号成立的情形）23:、不等式的证明方法1.比较法：作差比较：A-B 0-A 7 (1)添加或舍去一些项，a2 1|a|,n fn 1)n如：(2)将分子或分母放大(或缩小)(3)利用基本不等式-=J 丁 如：l og3 Ig5 rl g l g 5)|g 15 Ig 16 Ig4,n 1n1)n 1记)23 2 乙/-厂 2(4)用输球+一+/二F1 1 k 1 k,一 R_=-1 1 1 1,1 1 1 1(程度大)B b 壬 0：0,x|x ,(1)a a a用+2.一元二次不等式 ax2 bx c 0,(a 0)=(2k0.x|x 班+2 O重要结 ax bx c 0 0)解集为R ax bx论：(即0对京 R恒成立)，a就a 0,0(注:J口二码数系数含蓼数且未指明不为零时，需验证I-3.确定值不等式=a a 011)零点分段|a|争论 a a 0丁比 一 a 0)(2)转化 法：(x)I f a 或 f(a 0).a(x)x)3|f 1 x)|a f a a 0)a(x)3TW 结合u.4.高次不等式 根轴法(穿针引线法)5.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式：f(X)0gx)g(x)1 x)o；f x)(2)0 f gx)0;g(x)x)fx)Of g。且g9(X)(x)(x)(x)f(x)0;0g(x)g 0且g(x)0(x)(x)6.解含有参数的不等式:解含参数的不等式时，第一应留意考察是否需要进行分类争论，假如遇到下述情形就一般需要争论:不等式两端乘除一个含参数的式子时，就需争论这个式子的正、负、零性.在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，就需对它们的底数进行争论25在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的-元:次方程根的状况（有时要分析）,比较两个根的大小，设根为 Xl,x2（或更多）但含参数，要分 X1 X2、Xi=X2、Xi 氏正，262.空间几何体的直观图(1)斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取相互垂直的 OX,OY,建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的OX,OY,使nXOY=45。(或135)，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于 X轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 丫轴的线段，在直观图中画成平行于 丫轴，且长度变为原先的一半;擦去帮助线，图画好后，要擦去 X轴、丫轴及为画图添加的帮助线(虚线)(2)平行投影与中心投影平行投影的投影线是相互平行的，中心投影的投影线相交于一点；:、空间的直线与平面1.异面直线(1异面直线所成的角的(J_.范畴 2(2)求异面直线所成的角平移：中位线平移法、几何体补形平移法、向量法.2.直线与平面(1)直线与平面平行的判定方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据；直线与平面平行判定定理：假如平面外-条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(线线平行，线面平行”)直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(线面平行，线线平行”)(2)直线与平面垂直的证明方法有哪些？直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面(线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.(3)三垂线定理及其逆定理：三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系(特殊是异面垂27直）与空间图形的度量；如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的 垂线.3.平面与平面1）把握平面与平面平行的证明方法和性质.两个平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面相互平行；平行于同一平面的两个平面平行.两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（布面平行，线线平行”）（2）把握平面与平面垂直的证明方法和性质定理；特殊是性质定理：已知两平面垂直,一般是依据性质定理，可以证明线面垂直;两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，就两个平面垂直.两个平面垂直判定:：假如一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（线面垂直，面面垂直”）两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 也垂直于另一个平面.（3）两平面间的距离问题问题.三、简洁几何体一点到面的距离1.棱柱1）直棱柱侧面 S=Ch（C为底面周长，h是高）积：二 S CJ 7 c l是斜棱柱直截麻长，I惑斗棱柱的侧棱向 斜棱柱侧面积：直画程修 C平行六面体=直平行六面体）.棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，全部的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.28（4）平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处相互平分.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这样的面围成 的几何体.注:一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的二个三棱锥；所以 v棱柱=Sh=3M麦锥（1）正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.ii.正四周体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正4,侧棱与底棱不肯定相等正棱锥的侧面积：S Ch（底面周长为 c,斜高为h）=2（2）棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3.球：（1）球的截面是一个圆面.（2）球心与截面圆心的连线垂直于截面4.常用面积、体积公式（1）多面体的面积和体积公式名称侧面积（Sm）全面积（S全）体积V）棱 柱棱柱各侧面积之和Sfi+2S 底S底h=Si1截面二用-h棱 锥棱锥各侧面积之和S侧+S底nS 1 11S仗h 3正棱锥1ch O棱 台棱台各侧而积之和S侧+S上底+S下底正棱台1(c+c)h o一h（S上底+S下底+S上底$下底）3表中S表示面积，c，、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，hz表示斜高，I表示侧棱长.（2）旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球29S 2 r l r l(n r2)I2S求4 RV r2h:Jh 1 h（r 审2 r2?r33 2 o3表中I、h分别表示母线、高，i表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，门、上分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径.5.几个基本公式：弧长公式：I r（是圆心角的弧度数，0）1扇形面积公式：S I r2圆锥侧面绽开图（扇形）的圆心角公式：,2；（1为圆锥母线，为圆锥底面半径）I圆台侧面绽开图（扇环）的圆心角公式：R r 2（I为圆台母线，r为圆台上底I面半径，R为圆台下底面半径）九、直线与圆一、直线的基本量(x,y),就 I AB|1.两点间距离公式：如A(x,y),B2.3.特殊地：ABx轴,直线|：y kx消去y得ax2就：|AB|就 I AB|X1b与圆锥曲线C：fbx c(1 k?)直线的倾斜角与斜率(1)斜角0,X2I，X,y)（务必留意AB 丫轴，就|AB|y y2|0相交的弦AB长公式设 A yi),B,y2)Xi(X2)U k2)(xx)4XiX22 1时，直线的斜率2t an k（2）式：斜率公V2x2yiXiX2(x x)2(yy)1 1 2020),2 12 1倾(x):2X21当2常见问题：倾斜角范畴与斜率范畴的互化（右图）4.直线在x轴和y轴上的截距（定义见课本）截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形5.直线的方向向量(1)如:是里线的余烂为k,就直线的方向向曼。,附+=JT71一冗71+30H=a aae=71a 7TTt a手一0=na，12)如直线的方程为+By+C=O,就直线的一个方向向量是(-A).Ax B,二、直线的方程五种形式：点斜式y 一 y0-k 一 比)、斜截式一 kx b、两点式匕”一。一：一+=+=x截距式X y 1、一般式Ax By C 0.留意每一种形式的适用条件 a b三、两条直线的位置关系1.判定方法：系数判定法、斜率判定法、方向向量判定法.2.有用的结论：+=+=u两条直线Ax+By Cr 0、鸟X B2y=C2 徒直 AA 台3 0.-两条直线 Ax B1y C1 0、4x B2y C2 0平行 AB2 0 且 AC?A2c l 0四、点到直线的距离+=L1点 P(Xo,y0)到直线 By C。的距离；d 1Ax。By。C|Ax+=+=AB=J*2.平行线间距离：如 Ax By G。、Ax By C2 0,就d e 2 1A2 B2留意点：x,y对应项系数应相等.五、圆1.确定圆需三个独立的条件+=(1)标准方程:(X(2)一般方程:+a 9-(yb)+r2=其中圆合为 Ta,b半径为r-V+-.x2 y2 D x E y F 0 E2 4F(D2D2 E2 4FD0),其中圆心为(二 22半径为r(3)圆的直径端点式,造+(X 0Xp=+O%)丫2)。，其中 A(Xi,(y y1)，B f x2,y2)为直径的端点(4圆的参数方 程：x a r c os y b r sin(为参数)，其中圆心为(a,b),半径为r.2点和圆的位置关系的判定转化为点到圆心的距离与半径的大小关系的判定.313.4.5.6.7.点P(Xo假如(Xq假如(X。假如(Xo直线d圆的方程:y0a2a2a2Xyoy0yoAxByc相离b2b)b)2。与圆(xda222 22a2相切位置关系判定方法：半径比较法求圆的弦长方法:求圆的切线：用2-个结论：过圆 X垂径定理.)(yb)r22点P,y0)在圆外;(Xq点P，米)在圆内;(Xo点P,y0)在圆上.(XO)(yb)2的位置关系 2d相交(首选)、判别式法.“d r”求 k.2 2y r上的点P(Xo,y0)的切线的方 x x o yy0 程为过圆外一点作圆的切线，肯定有两条，假如只求出了一条，那么另外一条就是与直的直线.圆与圆的位置关系，常常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系设两圆的圆心距为 d,两圆的半径分别为r,R2X轴垂dR 两圆相离|R r|dR 两圆相交d|R r|两圆内含两圆相交弦所在直线方程的求法:圆Ci的方程为：x2 y2 DxE iydddR 两圆相外切|r r|两圆相内切0,两圆同心.0.圆C2的方程为：X2 y2 D2XC20.把两式相减得相交弦所在直线方程为:D1d2x)(E1E2 y六、空间直角坐标系1.会求空间点关于线、点关于面的对称点坐标;2.空间两点间距离公式：|AB|X12022x)y)2乙z 3-=+U+u一 V V+u一=+十、圆锥曲线一、椭圆1.定义：如 匕下2是两定点，P为动点，且I PF/+I PFz|=2a|FF2 I(a为常数)就P=1 b 0a；fab2y x2+-t aT.2 b。)点的轨迹是椭圆.2.标准方程：(1)焦点在x轴上：(