2022年高考数学一轮复习专题 专题35 立体几何初步复习课件.pdf

立体几何初步复习课件面积一体积_圆锥的侧面积：S=7irl圆台的侧面积：S=%(/+r)/球的表面积：S=47?2柱体的体积：v=sh锥体的体积：V=Sh d J台体的体积：/=Y(S+7s5+S)h J正方体和正四面体是立体几何中的“万花筒n.对棱长为。的正四面体应该记住一些结论：1。.高为逅。；2。.体积为走3 122。d _76 _ a/634切球=jy；4 次外接球X I这些结论可以帮助我们提高解题速度.空间几何体的三视图和直观图L中心投影投影-T行投影一 厂正视图 厂三视图一一侧视图 俯视图 一直观图一斜二测正投影我们从不同的 方向观察同一物体 时，可能看到不同 的图形.其中，把从 正面看到的图叫做 正视图，从左面看 到的图叫做侧视图,从上面看到的图叫 做俯视图.三者统称 三视图.从左边看到的才FT、从正面看到的图正视图 侧视图匚俯视图L确定正视图方向;2.布置视图;侧视图方向视 图 的 作骤3.先画出能反映物体-f 实形状的一个视图（一般 为正视图）；4.运用长对正、高平 齐、宽相等原则画出 其它视图；正视图方向5 检查,要求俯视图书丽 排在正视图的正下方F认皿侧视图侧视图安排在正视图的正右方.匚俯视图星由正一侧视图方向正视图:侧视闻 7-N宽 正视图方向俯视图 长对正一宽相等一I真题体验I L（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）.A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱答案：D 球的三视图都是圆；三棱锥的三 视图可以都是全等的三角形；正方体的三视 图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上,则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选 D.3.（2012新课标全国）平面。截球。的球面所得圆的半径为1,球心。到A./6ji B.4小兀 C.4、柘兀 D.64兀答案：B 利用截面圆的性质先求得球的半径长.如图，设截面圆的圆心为M为截面圆上任一点，则。9，=隹 O M=1,；OM=叱啦）2+1=小，即球的半径为小，v=%（6）3=4371.I j/【突破训练1】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是dl_ AP=$,H）答案小3.（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所该石材切肖1成球口惟得到的最大球的半径等于（)A.1B.212C.3D.4正视图 侧视图不解析俯视图此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6,8,10的直角三角形,侧棱为12,故其最大球的半径为底面直角三角形内12s 2X-X6X8 切圆的半径,故其半径为r=入=4=2)故选B.+b+c 6+8+104.（2014天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为 m3.解析根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m,高为2 m的圆锥,下部是一个底面直径为2 m）高为4m的圆 柱.207r斜二测画法的步骤在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴）两轴相交于0点.画直观图时）把它画成对应的x轴、y轴）两轴交于0,使/匕如=45。（或135。），它们确定的平面表示水平平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于X,轴或轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段,长度为原来的一半.1.对几何体三视图，下列说法正确的是：（）A.正视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高C.侧视图反映物体的高和宽D.正视图反映物体的高和宽2.若某几何体有一种视图为圆，那么这个几何体可能是 球O)B1。的面积是（答案D解析如图为实际图形，建立 如图所示的平面 直角坐标系xOy.图图(2)方法规律小结、1.在直观图中，原来与轴平行的线段仍然与轴平行,角的大小一般都会改变2.一个平面图形的面积为S,在斜二测画法下，直 观图的面积等于手（直观图面积=原图面积）3.为了增强立体感，画直观图时，被挡住的部分通 常用虚线来画.，、平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直两两相交且不过同一个点的二条直线必在同一平面内.已知如图所示，i2i3=b.An/3=c.求证直线东，2、，3在同一平面内.证明，n/2=4和，2确定一个平面.72n/3=55:.bi2.火,：l?X。，:.BRa.同理可证Ca.大：BH3,Ce/35：.h Uq.二J：线L L.人一同一年画内公理2懈果两个平面有还有其点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.a/3-Pa/3-/且P e I 作用I1、用来判定两平面是否相交；2、画两个相交平面的交线；即A e B.小、，1 2 n直线48为交线.3、证明多点共线.知识探究：公理定理的简单应用址明多点批我问题例2 已知W3C在平面“夕卜，ABa=P.zc n“=A,5c n“=2，如图所示.求证：P、。、A三点共线.分析 解答本题可先证明尸，Q,火三点在面48。内，又在面内，再利用公理3从而证得三点共线.点评证明多点共线的方法：利用公理3,只需说 明这些点都是两个平面的公共点,则必在这两个面 的交线上.推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。17.如图，已知平面a、/?,且0/?=/.设梯形4BCD求证：AB、CD,/共点（相交于一点）.证明:梯形4BCD中，AD/BC,：.AB,CD是梯形4BCD的两条腰：.AB,CD必定相交于一点，设 Z6nCD=M.又CD 等,：.Ma,且拉/?,，M a n/?.又“0/?=/,即4B,CD,/共点.一二、空间两直线的位置关系平行/（两直线没有公共点）I共面相交/（两直线只有一个公共点）1J、异面/（两直线没有公共点）1、异面直线不同在住回一个平面内的两条直线叫做异面直线。（也就足既不相交又不平行的两条直线）如图：已知E,F分别是所在棱的中点通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面的特点如图所示，a、b是两条异面直线，在空间中任选一点O,过O点分别作a、b的平行线a，和则1和b，所成的锐 角伉（或直角），称为异面直线a,b所成的角，也叫异 面直线a,b的夹角。若两条异面直线所成角为90,则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a，bI/已知正方体的棱长为a,M为AB的中点，N为 BBi的中点，求AM与3 N所成角的余弦值。解:如图，取A/1的中点E,连BE,有BE AM取CC的中点G,连BG,有BGgN则NEBG即为所求角。在4EBG中 幺-GBG=BE*a,GE 二7a 由余弦定理，cosZEBG=2/5AiE BNBGCJI 1J人力圮|上公理4平行于同一直线的两直线互相平行若21),b/c,贝ljac例1：在正方体ABCDAiBigDi中，直线AB与CXDX,AD1与BQ是什么位置关系？为什么？，队以I易为a的正方体ABCDAf Bf Cf Df 中，M、N分别为 CO、40的中点.求证：四边形MAN C是梯形.证明如图所示，连接4GN分别为CD、40的中点，：,MN 4 AC.由正方体性质知NC2H C,1:MN!M C,，四边形C是梯形.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。知识探究：公理定理的简单应用等角定理的应用例5在三棱锥/一5CD中，E、F、G分别是棱43、AC.ZD上的中点.求证：AEFGs XBCD.证明,?EF是AABC的中位线，J.EF/BC.同理，GF/DC.又丁/EFG与/BCD的方向相同，ZEFG=/BCD.同理，ZEGF=ZBDC.A 口口Cs A dcc填空：一1、空间两条不重合的直线的位置关系有平行、相交异面三种。2、没有公共点的两条直线可能是平行直线,也有可能是 异面直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有相交、异面。4、过已知直线上一点可以作无数 条直线与已知直线垂直。5.、过已知直线外一点可以作无数 条直线与已知直线垂直。三、直线和平面平行的判定和性质定理L直线和平面的位置关系有哪些?=laI-L aI-线不在多,重在相交!判断对错quocbu aI La n/J_ crlib3.直线和平面垂直的性质定理:性质1性质2如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直 线垂直于平面的任意一条直线.a b如果两条平行线中的一条与平面垂 直,那么另一条也与这个平面垂直a”b/aa X.a如图，圆o所在一平面为a,疣面TO 百且PA 1 AC,PA MB,求证:(1)PA IBC(2)BC1 平面PAC解：v AB u aAC u%且 48cze=ZPAI AC,PAI AB(2).C为圆O上一点,AB为直径:.BCACPA a 又/BC u a:.PA IBC曲1)得5 C:4又P4nze=4:.BC1PAC101例，点分是平行四边形力他 所在平面外一U,U是为用以肥与即的乂煮求证：RU平面力证明.尸/二尸。,点。是的中点:.PO1AC又PB=尸。，点。是AD的中点:.PO1BD又/。C8。=。.尸。，平面/BC。五.两个平面平行的判定和性质1,空间两个平面的位置关系两个平面平行、两个平面相交4.2,两个平面平行的判定定理如果一个平面的两条相交直线都 与另一个平面平行，那么这两个平面平行。q ua/all p.bH p=a II/31.如果两个平行平面和第三个 平面都相交，那么交线互相平 行a II 13yna=a=allb=b2.如果两个平面平行，那么其中 一个平面内的任何一条直线都 平行于另一个平面。a/3Q U。2.已知正方体ABCD-ABDi，求证:平面ABR/平面3BD.证明：因为ABCD-AiBigDi为正方体，所以 BD II BWi又BiDiS 平面ABW1，从而BD II平面ABWi同理可证BC”平面ABQ.又直线BD与直线Bq交于点B.因此，平面ABD”平面3BD.Eisl5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是PBC、APAC的重心，求证：平面DEF/平面ABC.证明：连接PD并延长交AB于点M p连接PE并延长交BC于点N,连接PF并延长交AC于0,连接MN,M0 VD,E分别为APAB、PBC的重心 J DEMN又二DE3 面ABC,MN龌 面ABC DE面ABC,同理：DF面ABC B又 DE n DF=D 面DEF 面ABC六.两个平面垂直的判定和性质1.两个平面垂直的定义(1)二面角平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分叫做半平面,从 一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的 面如图,二面角及表示方法.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角来度量 注意：二面角的平面角必须满足：Y 1）角的顶点在棱上/夕2）角的两边分别在两个面内-3）角的边都要垂直于二面角的棱4）二面角的范围是0-180 J-4-/平面角是直角的二面角叫做直二面角/（3）两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就称这两个平 面互相垂直.103.作棱的垂面.1.利用定义.75/是底面RtABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC=母,求二面角P-AB-C的正切值。解：取AB的中点为E,连PE 0E、，-Z|C v 1U J J 八、2尸T刀一。的 0为 AC 中点，ZABC=90-:OEBC且 OE=”C 1 0E1AB,由三垂线定理知PE_LAB.：/PEO为二面角P-AB-C的平面 在Rt/PBE中，BE=PB=L PE=在Rt/POE中，0E=*,PO=；0 2 2/.tanZPO=2两个平面垂直的判定定理：定理6.2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直.注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直转化为线与面垂直例：如图，AB为。的直径，PA垂直于。所在的平面，C为。上异于A,B的一点.求证：平面PAC_L平面PBC.证明：设。0所在平面为a,由已知条件）有PA_Loc,BC在oc内,所以，PA1BC.因为，点C是不同于A,B的任意 一点，AB为的直径，所以，ZBCA=90,即BC_LCA.又因为PA与AC是 PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC_L平面PAC,所以，平面PAC_L平面PBC.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.C如何用符号语言描述这个定理?a.l 1 m，平面与平面垂直的性质的应用问题1：若CL,过平面CL内一点A作平面0的垂线,垂足为B,那么点B在什么位置？说明你的理由.平面PABJ_平面PBC,求证：BCAB 证明：过点A作AE_LPB垂足为E p;平面PAB，平面PBC,平面PABCI平面PBC=PB,A二AE，平面PBCCBVBC 基平面PBC.AEBC 平面ABC,BC 基平面ABC.e.PABCPAnAE=A,平面 PABAB TffiABC AB一、选择题1.已知平面a与平面/?、可能的交线有A.1条或2条C.1条或3条都相交，则这三个平面(D)B.2条或3条D.1条或2条或3条2.已知、/?为平面，力、B、M、N为点、,为直 线，下列推理错误的是（C）A.4金小/?,BRa,注0B.Me/,NRa,Nfi=afi=MNC.4“，AU0naC0=AD.A,B、M“，A.B、M。,且力、B、M 不共线=a、/?重合角星析 9：Aa.A”由公理可知aC0为经过4的一条直线而不是4 故a C=Z的写法错误.3.两平面重合的条件是（c）A.有两个公共点B.有无数个公共点C.有不共线的三个公共点D.有一条公共直线解析根据公理2,不共线的三点确定一个平面,若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重 合.4.空间两个角“、/的两边对应平行，若”=60。,贝为（D）A.60 B.120C.30 D.60。或 120。解析 由等角定理不难知Q,相等或互补.所以 =60。或 120.5.若/ZOB=N4O用i，且 OA/OXA OA 与 OXAX 的方向相同，则下列结论中正确的是（D）A.OBO由1且方向相同B.OB/OXBXC.06与O/i不平行D.05与0由1不一定平行解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不 一定成立，08与。/1有可能平行，也可能不在 同一平面内，位置关系不确定.6.对于命题：若。，与c成等角，则。；若。，与C均垂直，则4；若。，与C都平行，则。；若4,在两个相交平面内，则。与不可能 平行.其中正确的命题个数为（A）A.1 B.2 C.3 D.47.如图，已知平面、夕，且设梯形4BCD中，AD/BC,且 4B 至a,CD?.求证：AB、CD、/共点（相交于一点）.7.如图，已知平面a、/?,且0/?=/.设梯形4BCD求证：AB.CD、/共点（相交于一点）.证明:梯形4BCO中，AD/BC.：.AB,CD是梯形4BCD的两条腰，：.AB,CD必定相交于一点 设460仔=u 入,：AB a,CD 人，Ma,且拉人，M a A/?.又“0/?=/,，MH 即4B,CD,/共点.直角梯形，ABCD,CD=2AB,E为PC的 中点，求证BE平面PAD.证明：取PD的中点F,连接EF，AF,由E,F为中点，所以EF CD且EF=CD；又AB II CD,CD=2AB,故EF AB,且EF=AB,从而四边形ABEF为平行四边形，所以，BE II AF,BE至干面PAD,AF呈平面PAD,根据线面平行的判定定理可得BE II平面PAD.5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别 B.PBC、APAC的重心,求证：平面DEF平面ABC.证明：连接PD并延长交AB于点M p连接PE并延长交BC于点N,连接PF并延长交AC于0,连接MN,M0VD,E分别为APAB、PBC的重心 J DEMN又二DE3 面ABC,MN龌 面ABCDE面ABC,同理：DF面ABC B又 DE n DF=D 面DEF 面 ABC例2如下图，已知四边形ABCD是平勺四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在解 如右图，连结AC,设AC交BD于0,连结M0./四边形ABCD是平行四边形，二0是AC的中点.又tM是PC的中点,/.MO II PA.又.5()金由BDM,PA 平面B3/.PA II 平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,/.AP II GH.如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线 平行.已知Qa,6,aCl夕=6.求证：a/b.证明：过。作平面（5,6cB=c,/q 夕，.a/c,过Q作平面一 yPa=d,a/a,/.a/d.由公理4得。d.：d a,c a,/.c/a.又,：c 6,aC0=b,/.c/又cqb q6.例：如图，AB为。的直径，PA垂直于。0所在的平面，C为。0上异于A,B的一点.求证：平面PACJL平面PBC.例1,如图，在正方体4BCD H6UD中，分别为三条对角线,证明：(1)连接又四边形，所以.在正方体，所以为正方形，所以，从而中，(2)同理可证，而所以例2、正方体ABCD-AiBED中，EF与异面直线AC、Ap都垂直且相 交，分别交AC、AD于E、F求证：EFBD证明：连接Ai。、CJ）、BQ、ACAiCi 且EFLAC.EFA1C1又 EF，AD，EF，平面 AigDVABXA 且AD JAp，AiD，平面ABD1，BDi，AiD 同理可证BDiAQi 平面A/AEF#BD1 证明：设。0所在平面为oc,由已知条件，有PA，oc,BC在oc内，所以,PA1BC.因为，点C是不同于A,B的任意一点，AB为。的直径，所以，ZBCA=90,即BCLCA.又因为PA与AC是 PAC所在平面内的两条相交直线,所以，BC，平面PAC,又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC1平面PBC.例：如图,K方体幺BCEJ/gCD中.跚在平面内,MN1BC千度再斯加V与册的位置关系.并说明理由.解目显皴,平面力QC微 平面僮CD”费翳覆成因为颁在平丽3CCP内.旦 MM13C.所嗷MN 平面4熨7Q。又妪气平面WBCD.从而MvlW乩B如图，已知PA，平面ABC,平面PAB_L平面PBC,求证：BCAB证明：过点A作AELPB垂足为E平面PABL平面PBC,平面PABCI平面PBC=PB,AE,平面PBCV BC 平面PBC Z.AE BCPAL平面ABC,BC 平glABC.PABCBABV PAAAE=AC AB如图所示，P是四边形4BC。所在平面外的一点，*&噂45-60。且边长为a的菱形一则而记4D 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD 边的中点.求证：庞_1_平面；(2)求证：ADLPB.证明(1)由题意知为。为正三角形，G是40的中点,：.PGAD.又平面平面ABCD,PG_L平面 4BCD,：.PGBG.又二四边形48CQ是菱形且NQ48=60%48。是正三角形，：.BGAD.又4DAPG=G,4G，平面 HID.(2)由(1)可知 5GJ_4D,PG LAD,BGCPG=G)一所以4D，平面PBG.所以-4.如图，已知正四棱锥P-ABCD的底边长为6、侧棱长为5.求正四棱锥P-ABCD的体积和侧面积.解:设底面ABCD的中心为0,边BC中点为E,连接PO,PE,0E.不在RtaPEB中，PB=5,/BE=3,则斜高PE=4./京,在RtaPOE 中，PE=4,二 匚0E=3,则高PO=J?.”所以 V=-SABCD-PO=L 62 X e=12上间直线和平面-平行位置关系判定判定性质线线垂直性质判定垂直线面垂直性质判定面面垂直