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第一章 §1 第2课时
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系
B．把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法
C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系
D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决
[答案] A
[解析] 此题考查解决线性相关问题的基本思路．
2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y/百吨
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－0.7x＋a，则a等于( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
[答案] D
[解析] ＝＝，＝＝，a＝－b＝＋0.7×＝5.25.
3．由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝x＋，则下列说法不正确的是( )
A．直线＝x＋必过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)(x2，y2)……(xn，yn)中的一个点
C．直线＝x＋的斜率为
D．直线＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线
[答案] B
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
[答案] D
[解析] 代入检验，当x取相应的值时，所得y值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．
5．下列数据符合的函数模型为( )
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2
2.69
3
3.38
3.6
3.8
4
4.08
4.2
4.3
A.y＝2＋x B．y＝2ex
C．y＝2e D．y＝2＋lnx
[答案] D
[解析] 分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.
6．设由线性相关的样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，求得的回归直线方程为＝bx＋a，定义残差ei＝yi－i＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，残差平方和m＝e＋e＋…＋e.
已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[答案] D
[解析] r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D.
二、填空题
7．在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是______________；相关系数是度量______________的量．
[答案] 从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合 两个变量之间线性相关程度
8．若回归直线方程中的回归系数b＝0时，则相关系数r的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．无法确定
[答案] C
[解析] 若b＝0，则iyi－n ＝0，∴r＝0.
9．若x、y满足
x
0.1
0.2
0.3
0.5
1
2
3
4
5
y
20
9
6
4
2
0.94
0.65
0.51
0.45
则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为________．
[答案] y＝
[解析] 画出散点图，观察图像形如y＝，通过计算知b≈2，∴y＝.
三、解答题
10．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量，可用函数y＝aebx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x的关系，求模拟函数．
[答案] y＝e－0.066 1＋0.010 24x
[解析] 设μ＝lny，c＝lna，则μ＝c＋bx.
月份x
1
2
3
4
产量y(万件)
1
1.2
1.3
1.37
x
1
2
3
4
μ
0
0.182 3
0.262 4
0.314 8
i＝10，i＝0.759 5，＝30，≈0.201 2，
iμi＝2.411，＝2.5，≈0.189 9，相关系数r＝
≈
≈0.959 7，相关程度较强．
b＝≈＝0.102 4，c＝－b≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1，
所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x，y＝e－0.066 1＋0.010 24x.
一、选择题
11．我国1990～2000年的国内生产总值如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
产值/亿元
18 598.4
21 662.5
26 651.9
34 560.5
46 670.0
57 494.9
年份
1996
1997
1998
1999
2000
产值/亿元
66 850.5
73 142.7
76 967.1
80 422.8
89 404.0
则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为( )
A．y＝aekx B．y＝a＋bx
C．y＝axb D．y＝ae
[答案] B
[解析] 画出散点图，观察可用y＝a＋bx刻画国内生产总值发展变化的趋势．
二、填空题
12．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则作变换t＝________才能转为y是t的线性回归方程．
[答案] (x＋)2
[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，
∴令t＝(x＋)2，则y＝at＋，此时y为t的线性回归方程．
13．若x，y满足
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
y
0.27
0.45
0.73
1.21
1.99
3.30
5.44
则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为________．
[答案] y＝2ex
[解析] 画出散点图，形如y＝a·ebx，其中a≈2，b≈1.
∴y＝2ex.
三、解答题
14．下表所示是一组试验数据：
x
0.5
0.25
0.125
0.1
y
64
138
205
285
360
(1)作出散点图，并猜测y与x之间的关系；
(2)利用所得的函数模型，预测x＝10时y的值．
[答案] (1)散点图略 y与x不具线性可能成反比例型函数关系 (2)－7.605
[解析] (1)散点图如图所示，从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系．
根据已有知识发现样本点分布在函数y＝＋a的图像的周围，其中a，b为待定参数．令x′＝，y′＝y，由已知数据制成下表：
序号i
xi′
yi′
x′
y′
x′iy′i
1
2
64
4
4 096
128
2
4
138
16
19 044
552
3
6
205
36
42 025
1 230
4
8
285
64
81 225
2 280
5
10
360
100
129 600
3 600
∑
30
1 052
220
275 990
7 790
′＝6，′＝210.4，故′－5(′)2＝40，′－5′2＝54 649.2，r＝≈0.999 7，由于r非常接近于1，
∴x′与y′具有很强的线性关系，计算知b≈36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3，
∴y′＝－11.3＋36.95x′，
∴y对x的回归曲线方程为y＝－11.3.
(2)当x＝10时，y＝－11.3＝－7.605.
15．如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震次数为N，试建立N对x的回归方程，并表述二者之间的关系.
震级
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
地震数
28 381
20 380
14 795
10 695
7 641
5 502
3 842
2 698
震级
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6
地震数
1 919
1 356
973
746
604
435
274
206
震级
6.2
6.4
6.6
6.8
7
地震数
148
98
57
41
25
[答案] ＝10－0.741x＋6.704
[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出，震级x与大于或等于该震级的地震次数N之间呈现出一种非线性的相关性，随着x的减少，所考察的地震数N近似地以指数形式增长．于是令y＝lgN.得到的数据如下表所示．
图1
x
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
y
4.453
4.309
4.170
4.029
3.883
3.741
3.585
3.431
x
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6
y
3.283
3.132
2.988
2.873
2.781
2.638
2.438
2.314
x
6.2
6.4
6.6
6.8
7
y
2.170
1.991
1.756
1.613
1.398
x和y的散点图如图2.
图2
从散点图(2)中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a≈6.704，b≈－0.741，故线性回归方程为y＝－0.741x＋6.704.因此，所求的回归方程为：lgN＝－0.741x＋6.704，故＝10－0.741x＋6.704.
[点评] 在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合
16．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x
(万元)资料如下：
x
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
y
6
4.6
4
3.2
2.8
x
19.5
21.5
23.5
25.5
27.5
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
[答案] ＝－0.1875＋ 所求流通率约为16.875%
[解析] 设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：
u
0.105 3
0.087 0
0.074 1
0.064 5
0.057 1
y
6
4.6
4
3.2
2.8
u
0.051 3
0.046 5
0.042 6
0.039 2
0.036 4
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
进而可得n＝10，≈0.060 4，＝3.21，
－102≈0.004 557 3，
iyi－10 ≈0.256 35，
b≈≈56.25，
a＝－b·≈－0.187 5，
所求的回归方程为＝－0.187 5＋.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.
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