湖南省郴州市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题.doc

湖南省郴州市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

湖南省郴州市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题

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湖南省郴州市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题
注意事项：
1、本试卷分试题卷和答题卡。试题卷共4页，有四道大题，共22道小题，满分150分。考试时间120分钟。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目。
3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.设i虚数单位，复数z＝1＋2i，则|z|＝
A. B.5 C.1 D.2
2.已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝
A.7 B.11 C.9 D.18
3.“0<x<2”是“－2<x<3”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab。若椭圆的离心率为，面积为2π，则椭圆的标准方程为
A.或 B.或
C.或 D.或
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，则c＝
A. B.3－ C.3 D.2
6.下列可能是函数f(x)＝x2(ex－e－x)的图象的是

7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”。如：甲、乙、丙、丁“衰分”得100，60，36，21.6个单位，衰分比为40%，今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，衰分比为20%，已知乙衰分得100石，则丁衰分得
A.90石 B.80石 C.51.2石 D.64石
8.设动直线x＝m与函数f(x)＝x2，g(x)＝2lnx的图像分别交于M，N，则|MN|的最小值为
A. B.1 C.1＋ln2 D.1－ln2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是
A.若a>b，b>c，则a>c B.若a>b，则ac2>bc2
C.若a>b，c<d，则a－c>b－d D.若a>b，c>d，则ac>bd
10.已知等轴双曲线C过点(2，1)，则下列结论正确的是
A.双曲线C的方程为x2－y2＝3 B.双曲线C的离心率为
C.焦点到渐近线的距离为 D.双曲线C的焦距为
11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是
A.异面直线AC与BC1所成的角为
B.是平面ABC1D1的一个法向量
C.二面角A－B1C－B的正切值为
D.正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的体积为π
12.已知函数f(x)＝x3＋x2－2在区间(a－2，a＋3)上存在最小值，则整数a可以取
A.－2 B.－1 C.0 D.1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)＝的定义域是 。
14.已知＝(2，－1，3)，＝(－4，2，x)，且⊥，则x＝ 。
15.已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2－2ax＋4＝0。若命题p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是 。
16.已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且|AB|＝16，则p＝ ；若直线y＝k(x＋1)与抛物线C相交于M，N两点，满足|FM|＝2|FN|，则k＝ 。(本题第一空2分，第二空3分。)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在①a＝11，a1a5＝a22；②S3＝9，S5＝25；③Sn＝n2。这三个条件中任选一个补充在下面的问题中。已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，若 ，
(I)求数列{an}的通项公式；
(II)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)
在锐角△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinA＝(ccosB＋bcosC)。
(I)求角A；
(II)若△ABC的面积为，且b＋c＝5，求a。
19.(本小题满分12分)
如右图，在四棱锥P－ABCD中，∠CAD＝，且AD＝CD＝1，PA＝，△ABC和△PBC均是等边三角形，O为BC的中点。

(I)求证：PO⊥平面ABCD；
(II)求CB与平面PBD所成角的正弦值。
20.(本小题满分12分)
垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称。分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用。垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理。为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年底投入100万元购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。
(I)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；
(II)问：该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少万元？
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xlnx－aex＋a，其中a∈R。
(I)当a＝0时，求函数在(e，f(e))处的切线方程；
(II)若函数f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1(－，0)，A2(，0)，P为椭圆上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为－。
(I)求该椭圆的方程；
(II)已知Q(－4，0)，过Q的直线与椭圆交于D，E两点，求△DEF1面积的最大值。