甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三数学上学期第五次检测试题-理.doc

甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三数学上学期第五次检测试题 理

甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三数学上学期第五次检测试题 理

年级：
姓名：

12

甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三数学上学期第五次检测试题 理
考生注意：
1．本试卷考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合，逻辑，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何。
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．112 B．126 C．142 D．156
6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期．现有一杯80℃的热茶，放置在30℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要6分钟，则欲降温到40℃，大约需要多少分钟？（，）（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
7．函数（，，）的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（ ）

A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
9．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．设函数，若函数有3个零点分别为，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点是边长为2的等边三角形所在平面上一点，满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．对任意实数，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题．
13．已知（），则最小值为______．
14．若，函数为增函数，则实数的取值范围为______．
15．在三棱锥中，平面，是棱的中点，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
16．已知数列满足，（），则数列的通项公式为______．
三、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．
17．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
18．已知函数在上为增函数．
（1）求实数的值；
（2）若在上为减函数，求实数的取值范围．
19．已知平面向量，，，函数图象的两相邻最高点之间的距离是．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最值．
20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，．

（1）证明：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．
21．已知是数列的前项和，，．
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．已知函数，（）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，球求正整数的最大值．
甘肃省甘谷第四中学2020-2021学年高三级第五次检测考试理科数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
因为，又，所以．
2．D
3．C
∵，两边同乘以，∴，故A错误；，，故B错误；两边同乘以，∴，故C正确；两边同乘以，∴，故D错误．
4．D
，，且与共线，∴，解答．
5．B
因为，所以，所以．
6．B
根据题意有：，
∴．
7．C
由的图象，可得，，即，则，所以，由，可得，所以（），则（），又，所以，故．将的图象向左平移个单位长度得到函数，故函数，令（），解得（），所以的单调递增区间为（）．
8．A
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，∴该几何体的体积为．

9．D
由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形．
10．D
不妨设，则，则，即，结合图象可得，∴．
11．A

建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．设，则，，，，
由题意知：，即，
∴点在以为圆心，半径为的圆上，
又表示圆上的点到的距离，．
12．D
记，则的周期为，

，
由得，由此知在，上都是增函数，在上是减函数，，，∴最小值为，
∴，∴，，∴或．
13．6
，当且仅当，即时等号成立．
14．
，∴．
15．
取中点，连接，．∵是棱的中点，∴，∴或其补角即为异面直线，所成的角．∵平面，∴，，又，，，，∴，，，∴，，，，在中，，∴异面直线与所成角的余弦值为．

16．
由得，设，则有，即，又因为，所以数列为首项为以，公差为的等差数列，所以，则，所以．
17．解：（1）由正弦定理及．
∴，
由于，∴，
则，即，
由于，所以，
由于，∴．
（2）∵，，，∴．
∴．
18．解：（1）∵为幂函数，∴，∴或，
又在上为增函数，
∴∴．
（2）由（1）知，，
∵在上为减函数，二次函数的对称轴为：，
∴∴．
即实数的取值范围为．
19．解：（1）
．
由于图象的两相邻最高点之间的距离为，即，
由于，所以．所以．
令，解得，
所以的单调递增区间为（）．
（2）因为，所以，
所以，，．
所以在区间上的最小值为，最大值为3．
20．（1）证明：在线段上取一点，满足，
又因为，所以，故，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取的中点，连结，依题意得，则．
如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得，，，

，，
设是平面的一个法向量，
则得令，解得，
同样可求得平面的一个法向量为，
所以，
又平面与平面所成角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
21．（1）证明：由，当时，，
两式相减得（），
当时，即，∴，∴，
∴时都有，
∴数列是首项为5，公比为2的等比数列，∴．
（2）解：由（1）知，，∴，
①
②
由②①得：
，
即，

；
综上所述，．
22．解：（1）．
令，得；令，得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）∵，，∴，
令（），则由题意对任意的，，
而，，
再令（），则，
∴在上为增函数，
又，，
∴存在唯一的，使得，即，
当时，，，∴在上单调递减，
当时，，，∴在上单调递增，
∴，
∴，
又，∴，
∵为正整数，∴的最大值为4．