广东省深圳实验学校2020-2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题.doc

广东省深圳实验学校2020-2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题

广东省深圳实验学校2020-2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题

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广东省深圳实验学校2020-2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题
时间：120分钟 满分：150分
第一卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数在区间内可导，且若，
则=（ ）
A． B． C． 　 D．不确定．
2．已知等差数列满足，，则它的前项的和（ ）
A．84 B．42 C．21 D．14
3．在中，点、 点，且是和的等差中项，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4． 数列的前2020项和等于
A． B． C． D．
5．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入元（一年定期），若年利率为r保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ）
A． B．
C． D．
6．是的导函数，的图象如图所示，
则的图象只可能是（ ）

A B C D
7．已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A. B. C. D.
8．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的，得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分
9．在等差数列，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知不等式恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
11．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点, 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有
A. B.
C. D.

12．将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
11 9 7
13 15 17 19
29 27 25 23 21
． ． ． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，前n 行（n ≥3）下列结论正确的是（ ）
A．若n是偶数，第n 行从左向右的第3 个数是
B．若n是奇数，第n 行从左向右的第3 个数是
C．若n是奇数，第n 行从左向右的第3 个数是
D．前n 行所有数的和是

第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．曲线上的点到直线的最短距离是_______．
14．在等差数列中, 若，，成等比数列, 则_____．
15．已知数列满足，则数列的前项和为 ．
16．在等差数列中，若，则有等式
成立．类比这一性质，相应地在等比数列中，若，则有等式
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知，函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．

18．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，已知 ()．
(1) 求数列的通项；
(2) 求数列的前n项的和．

19．（本小题满分12分）
一个正三角形被等分成4个相等的小正三角形，将中间的一个涂黑（如图（1）），在将剩下的每一个正三角形都分成4个相等的小正三角形，并将中间的一个涂黑，得图（2），如此继续下去……，若设第(nÎN*)个图共涂黑了个三角形，可以发现第个三角形比第个三角形多了个涂黑的小正三角形．

……
（1） （2） （3）
（1）试将用和表示出来 ；
（2）将用和表示出来，并求数列的通项公式．

20．（本小题满分12分）
已知直线（）与抛物线 相交于，两点，且以弦为直径的圆恒经过坐标原点．
（1）证明直线过定点，并求出这个定点；
（2）求动圆的圆心的轨迹方程．

21．（本小题满分12分）
设数列的首项,前n项和为满足关系式：,
．
（1）求证数列是等比数列；
（2） 设数列的公比为,构造数列，使 ，求数列的前n项和.

22．（本小题满分12分）
已知动点P到直线的距离是动点P与定点，距离的倍
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于，和，，求的最小值．

高二数学答案
一、选择题： ACBCD DBD
二、多选题：9.ACD 10.AB 11. BCD 12. ABD
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13． 14． 或 15．
16．在等差数列中，若，则有等式
成立．类比这一性质，相应地在等比数列中，若，则有等式
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知，函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
解：（1）…………………………1分
， …………………………………………………3分
曲线在点处的切线方程为……………………………4分
（2），…………………………………………5分
（1）若 ，
函数 在区间单调递减
（2）若 ，
函数 在区间单调递增
（3）若
当时，，
函数 在区间单调递减
当时，，
函数 在区间单调递增
所以1）若，函数 在区间单调递减
（2）若，函数 在区间单调递增
（3）若 ，函数 在区间单调递减，
函数 在区间单调递增 …………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知 ()．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项的和．
解：（1）当时
　　　　　　　 …………………………………………………1分
当时
…………………………………………………4分
…………………………………………………5分
（2）数列前3项都小于0，第4项等于0, 从第5项开始都大于0
当时
…………………………………………7分
当时

…………………………………………………11分
…………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
一个正三角形被等分成4个相等的小正三角形，将中间的一个涂黑（如图（1）），在将剩下的每一个正三角形都分成4个相等的小正三角形，并将中间的一个涂黑，得图（2），如此继续下去……，若设第(nÎN*)个图共涂黑了个三角形，可以发现第个三角形比第个三角形多了个涂黑的小正三角形．

……
（1） （2） （3）
（1）试将用和表示出来 ；
（2）将用和表示出来，并求数列的通项公式．
解：（1）=+3(-) …………………3分
（2）=+3(-)； …………………………………………………6分
由-=3(-)， …………………………………………………7分
∴{-}是以为首项，公比为3的等比数列，
∴ …………………………………………………8分
当时

累加得：- =∴=. …………………10分
当时,也满足=
∴=. …………………………………………………12分
(注:少了时的说明扣2分)
20．（本小题满分12分）
已知直线（）与抛物线 相交于，两点，且以弦为直径的圆恒经过坐标原点．
（1）证明直线过定点，并求出这个定点；
（2）求动圆的圆心的轨迹方程．
解：（1）直线，设，，，，
则以弦为直径的圆恒经过坐标原点．……1分
由得，所以，．… 3分

． ………………………………4分
所以，解得或（舍去） …………5分
所以恒经过定点，． ………………………………………6分
（2）设,，，，
…………………………………………7分
两式相减得 ………8分
由已知条件， 点是的中点且过定点， ……………………………9分
…………………………………………10分

动圆的圆心的轨迹方程是 ……………………………………12分
21．（本小题满分12分）
设数列的首项,前n项和为满足关系式：,
．
（1）求证数列是等比数列；
（2）设数列的公比为,构造数列，使 ，求数列的前n项和.
(1) 当时
,代入已知得，解得，
所以， …………………………………………………2分
当时
又
两式相减得到，所以 …………3分
又已证，所以{an}是以1为首项, 为公比的等比数列. ………4分
（2）由题意， …………………………5分
得，所以数列是以３为首项，以3为公比的等比数列。
故，即. …………………………………………………8分

相减得

…………………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知动点P到直线的距离是动点与定点，距离的2倍
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，求的最小值．
解 ：（1）设，由已知可得…………………2分

化简可得
所以椭圆的方程为．…………………………………………………4分
（2）设：， …………………………………………………5分
将其代入方程，
整理，得， ……………………………………6分

设，，，，则，是此二次方程的两个根，
所以
…………………………………………………8分

设：
同理可得 ………………………………………9分

当时，取得最小值． ………………………10分
若直线斜率不存在时，,此时
,
的最小值是 ………………………………………12分
（2）（法一）由已知椭圆的左焦点为，，左准线为：离心率，
作于，于，与轴交于点（如图）．
因为点在椭圆上，
所以
，
所以，………………6分
同理
所以．…………………8分
（法二）当时，记，则：，
将其代入方程，整理，得，
设，，，，则，是此二次方程的两个根，
所以
将代入上式，得．………………………………………6分
当时，仍满足上式．
所以．……………………………………………………………8分
设直线的倾斜角为，由于，由（2）可得
，，…………………10分
所以．
当或时，取得最小值．………………………12分