四川省成都七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题.doc

四川省成都七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题

四川省成都七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题

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四川省成都七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知复数，则 ( )
A. B. 1+2i C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义易得.
【详解】解：复数，
则.
故选：B.
【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.
2.在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A. （2,1,3） B. （﹣2,﹣1,3）
C. （2,1,﹣3） D. （2,﹣1,﹣3）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间坐标对称的性质求解即可.
【详解】在空间直角坐标系O﹣xyz中,
点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题.
3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
点对应的直角坐标为，则直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程：.
4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )

A. 在区间内，是增函数
B. 在内，是减函数
C. 在内，是增函数
D. 在时，取到极小值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.
【详解】解：由图象知当x＜2或x＞4时，，函数为增函数，
当或2＜x＜4时，，函数为减函数，
则当x或x＝4函数取得极小值，在x＝2时函数取得极大值，
故ABD错误，正确的是C，
故选：C.
【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.
5.函数在上取最大值时，的值为（　　）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得最大值的的值为，故选B.
考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.
【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.
6.已知实数满足，则最小值是( )
A. B. 3 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由柯西不等式得， 即可算出答案.
【详解】由柯西不等式得，
则，
当且仅当“”时取等号.
故的最小值是.
故选：C
【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.
7.把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为S(x)==(x2-+16).令
S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.
8.若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A. （﹣∞，0] B. （﹣∞，0） C. [0，+∞） D. （0，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
f(x)在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于>0在(1,+∞)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.
【详解】f(x)2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,
只需>0在(1,+∞)上有解即可.
由已知得,该函数开口向下,对称轴,
故在(1,+∞)上递减,
所以=2a>0,解得a>0.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.
9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2，类似地不难得到＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.
【详解】令，即，即，解得(舍)，故
故选：C
【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.
10.二面角为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面内，，，且AB＝AC＝，BD＝，则CD的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式，对于本题中，，，，，故．
考点：异面直线上两点间距离空间想象能力．
11.已知函数f（x）的导数满足f（x）+x＞对x∈R恒成立，且实数x，y满足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），则下列关系式恒成立的是( )
A. B. ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C. D. x﹣y＞sinx﹣siny
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得f（x）+（x+1）＞0，令g（x）=（x+1）f（x），得到函数的单调性，由
xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x）得到x＞y.再逐一分析判断每一个选项的正误得解.
【详解】因为f（x）+x＞，
所以f（x）+（x+1）＞0，
令g（x）=（x+1）f（x），
则=f（x）+（x+1）＞0对x∈R恒成立，
∴g（x）在x∈R时单调递增.
又由题得实数x，y满足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，
所以g（x）＞g（y），
∴x＞y，
取x=1，y=，则有成立，故A选项错误；
又当x=1，y=时，有ln（1+x2）=ln（1+y2），故B选项错误；
令h（x），则h′（x），
当x＜1时，＞0，此时h（x）单调递增，当x＞1时，＜0，此时h（x）单调递减，当y＜x＜1时，有h（x）＞h（y）成立，即有成立，故C选项错误；
令t（x）=xsinx，则=1cosx≥0，此时t（x）单调递增，
又∵x＞y，∴t（x）＞t（y），
∴x﹣sinx＞y﹣siny，即x﹣y＞sinx﹣siny，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由题意知：的极值为，所以，因为，
所以，所以即，所以，即
3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.定积分__________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据微积分基本定理即可得结果.
【详解】由微积分基本定理可得，故答案为50.
【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题.
14.不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
分,与三种情况去绝对值进行求解即可.
【详解】当时,原不等式可化为：1﹣x+x﹣5＜2,恒成立,
时,原不等式可化为：x﹣1+x﹣5＜2,解得：1≤x＜4,
时,原不等式可化为：x﹣1﹣x+5＜2,无解.
综上：原不等式的解集是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.
15.已知函数，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，则实数m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从而得出的取值范围.
【详解】（1）x≤0时，f′（x）=ex﹣x﹣1，易知f′（0）=0，而f″（x）=ex﹣1＜0，
所以f′（x）在（﹣∞，0]上递减，故f′（x）≥f′（0）=0，故f（x）在（﹣∞，0]上递增，
且f（x）≤f（0），当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞.
（2）x＞0时，，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；
故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，
故x＞0时，；x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→0.
由题意，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：

如图所示，当直线y=m在图示①，②位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.
16.已知函数f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由=﹣2ax2+2x，令=0，得，根据对任意x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，分， ，
三种情况讨论f（x1），f（x2）的值域即可.
【详解】因为=﹣2ax2+2x，
令=0得，
①：当，即a≥1时，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）递减，
∵，，
若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，
所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），
由f（x1）f（x2）=1得：.
显然，当f（x1）→﹣∞时，→0（负数），故要满足结论，首先需满足：
，，解得.
所以.
②当，即时，f（x1）在（2，+∞）上递减，故此时f（x1），
f（x2）在（1，）递增，在递减，故0.
此时只需即可，解得.
③当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，
而，故此时不满足题意.
综上，a的取值范围是[].
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分
17.已知函数.
（1）求曲线y=f（x）在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求过点作曲线y=f（x）的切线方程.
【答案】（1）；（2）y或18x﹣2y﹣35=0.
【解析】
【分析】
（1）函数的导数为=x2，曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，写出切线的方程，分别令x=0，y=0，得到在x，y轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.

（2）易得A（2，）不在图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），再由求解.
【详解】（1）因为函数，
所以=x2，
所以
所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，
则切线的方程为yx﹣1，即为6x﹣6y﹣1=0，
令x=0，可得y；y=0，可得x.
则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S；
（2）由A（2，）和，可得f（2），
即A不在f（x）的图象上，
设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，
切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），
则，
解得或，
故切线的方程为y或18x﹣2y﹣35=0.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18.如图,五面体A﹣BCC1B1中,AB1＝4.底面ABC 是正三角形,AB=2.四边形BCC1B1是矩形,二面角A﹣BC﹣C1为直二面角.

（1）D在AC上运动,当D在何处时,有AB1//平面BDC1,并且说明理由；
（2）当AB1//平面BDC1时,求二面角C﹣BC1﹣D余弦值.
【答案】（1）当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,再连接B1C交BC1于O,连接DO,进而证明DO//AB1即可.
(2)以为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面与面的法向量,继而求得二面角的余弦值即可.
【详解】(1)当D为AC中点时,有AB1//平面BDC1,
证明：连接B1C交BC1于O,连接DO
∵四边形BCC1B1是矩形
∴O为B1C中点又D为AC中点,从而DO//AB1,
∵AB1⊄平面BDC1,DO⊂平面BDC1
∴AB1//平面BDC1

(2)建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示,则B（0,0,0）,A（,1,0）,C（0,2,0）,D（,,0）,C1（0,2,2）,
所以（,,0）,（0,2,2）.
设为平面BDC1的法向量,则有,即
令,可得平面BDC1的一个法向量为（3,,1）,
而平面BCC1的一个法向量为,
所以cos,,故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为.

【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.
19.已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到，根据弦长公式得到，根据韦达定理得到结果.
【详解】（1）圆C的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有，由 ，代入韦达定理得到：得，所以或.
【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.
20.已知函数，其中是的导函数.
若.
（1）求的表达式；
（2）求证：，其中n∈N*.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件猜想，利用数学归纳法证得猜想成立.
（2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.
【详解】（1）由题意可知，，
由已知
，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
（i）当 n=1 时，，结论成立：
假设 n=k（k≥1，k∈N*） 时结论成立，即，
那么，当n=k+1（k≥1，k∈N*）时，
，即结论成立.
由（i）（ii）可知，结论对 n∈N* 成立.
（2）∵，
∴，
∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）

，
∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题.
21.已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求a时，实数b的最大值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）求出并对其因式分解，对与1的大小分类讨论，由的正负情况判断的单调性．
（2）把f（x）≥﹣+ax+b恒成立转化成b≤﹣alnx+x恒成立，令g（x）=﹣alnx+x，求出g′（x）=，判断g（x）的单调性，从而求得g（x）min=﹣alna+a，令h（a）=﹣alna+a，求得h′（a）=﹣lna＞0，即可求得h（a）min，问题得解．
【详解】（1）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0），定义域为（0，+∞），
∴，x＞0
令f′（x）=0，则x1=a，x2=1
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，则a＜x＜1；
令f′（x）＜0，则0＜x＜a，或x＞1，
∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递减；在（a，1）上单调递增；
②当a=1时，f′（x）≤0，且仅在x=1时，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，则1＜x＜a；
令f′（x）＜0，则0＜x＜1，或x＞a，
∴在（0，1 ），（a，+∞）上单调递减；在（1，a）上单调递增．
综上所述，
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递减；在（a，1）上单调递增；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递减；在（1，a）上单调递增．
（2）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）
若恒成立，
∴b≤﹣alnx+x恒成立
令g（x）=﹣alnx+x，x＞0，
即b≤g（x）min，
∵g′（x）=，（a＞0），
∴g（x） 在（0，a）单调递减，（a，+∞） 单调递增；
g（x）min=g（a）=﹣alna+a
∴b≤﹣alna+a，a∈[，1]，
令h（a）=﹣alna+a
∴h′（a）=﹣lna＞0，∴h（a）单调递增，
∴h（a）min=h（）=（1+ln2），
∴
即b的最大值为
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．
22.已知函数.
（1）a=1时,求函数f（x）的极值；
（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范围.
【答案】（1）f（x）极小值e﹣1,无极大值；（2）[ln2﹣1,e﹣1].
【解析】
【分析】
(1)代入求导可得,再求导分析单调性与最值可知,进而求得的极值点与单调区间以及极值.
(2)求导后构造导函数得出,再根据(1)中的结论可知恒成立,进而可得在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知 在上有唯一解,且,进而求得最小值,再根据隐零点问题消去参数,再构造函数关于极值点的函数分析即可.
【详解】(1)当a=1时,,则,
令h（x）=ex﹣x,当x∈（0,+∞）时,h′（x）=ex﹣1＞0,
∴在（0,+∞）上,h（x）＞h（0）=1,即ex＞x,
令f′（x）=0,则x=1,经检验,在（0,1）上,f′（x）＜0,f（x）单调递减,在（1,+∞）上,f′（x）＞0,f（x）单调递增,
∴当x=1时,函数y=f（x）取得极小值e﹣1,无极大值；
(2),令,
则,
由（1）知,当x∈（0,+∞）时,
ex＞x,ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x=x（x﹣1）2≥0,
∴p′（x）＞0在（0,+∞）上恒成立,
∴f′（x）在定义域上单调递增,
∵,
∴,
∴方程f′（x）=0在（0,+∞）上有唯一解,
设方程f′（x）=0的解为x0,则在（0,x0）上f′（x）＜0,在（x0,+∞）上f′（x）＞0,且1≤x0≤2,
∴f（x）的最小值为,
由f′（x）=0得,代入g（a）得,,
令,则,
∵﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1,
∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0,
∴φ（x）在[1,2]上为减函数,
∴,
∴g（a）∈[ln2﹣1,e﹣1].
【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值范围.属于难题.