导与练普通班2017届高三数学一轮复习第五篇平面向量第1节平面向量概念及线性运算基丛点练理.doc

第五篇　平面向量(必修4)
第1节　平面向量的概念及线性运算
【选题明细表】
知识点、方法
题号
平面向量的基本概念
1,10
平面向量的线性运算
4,6,9
共线向量问题
2,8
三点共线问题
3,11
综合问题
5,7,12,13,14
基础对点练(时间:30分钟)
1.给出下列命题:
①向量与向量的长度相等,方向相反;
②+=0;
③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;
④与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.
其中不正确的命题的个数是(　A　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)1
解析:①正确;②中+=0,而不等于0;③正确;④中与所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选A.
2.“存在实数λ,使得a=λb”,是“a与b共线”的 (　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当a≠0,b=0,a=λb不成立.
3.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列三点一定共线的是(　B　)
(A)A,B,C (B)A,B,D
(C)B,C,D (D)A,C,D
解析:因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.
4.(2016安徽模拟)若点M在△ABC的边AB上,且=,则等于(　D　)
(A)+ (B)2-2
(C)+ (D)+
解析:如图,由=,

知=,
所以=+
=+
=+(-)
=+.
5.如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(　C　)

(A)3 (B)1 (C) (D)
解析:法一　设=λ(λ∈R),
则=+
=+λ
=+λ(-)
=+λ(-)
=(1-λ)+λ,
则解得m=,故选C.
法二　=m+=m+,
因为B,P,N三点共线,
所以m+=1,所以m=.故选C.
6.(2016兰州一中期中)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于(　D　)
(A)1 (B) (C) (D)
解析:在Rt△ABD中,BD=AB·cos60°=1,
所以=,
所以=.
因为=+=+,
所以2=+,
即=+,
所以λ=,μ=,
所以λ+μ=+=.故选D.
7.(2015新乡期末)在△ABC中,AB=3,AC=2,=+,则直线AD通过△ABC的(　C　)
(A)垂心 (B)外心 (C)内心 (D)重心
解析:

因为AB=3,AC=2,
所以||=,||=.
即||=||=,
设=,=,
则||=||,
所以=+=+.
由向量加法的平行四边形法则可知,四边形AEDF为菱形,
所以AD为菱形的对角线,
所以AD平分∠EAF,
所以直线AD通过△ABC的内心.
8.(2015杨浦区二模)已知e1,e2是不平行的向量,设a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于　　　　. 
解析:a与b共线的充要条件是存在实数λ使得a=λb,
所以e1+ke2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,
因为e1,e2是不平行的向量,
所以解得k=±1.
答案:±1
9.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.
其中正确命题的序号为　　　　. 
解析:=a,=b,=+=-a-b,
=+=a+b,
=(+)=(-a+b)=-a+b,
所以++=-b-a+a+b+b-a=0.
所以正确命题为②③④.
答案:②③④
10.给出下列命题:
①向量的长度与向量的长度相等;
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是　　　　. 
解析:①与是相反向量,模相等,正确;②由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.
答案:②④
能力提升练(时间:15分钟)
11.(2015湖北黄冈中学期中)已知向量i与j不共线,且=i+mj,=n i+j.若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是(　C　)
(A)m+n=1 (B)m+n=-1
(C)mn=1 (D)mn=-1
解析:由A,B,D三点共线可设=λ(λ∈R),于是有i+mj=λ(ni+j)=λni+λj,又i,j不共线,因此
所以mn=1.
12.在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则△ABC的形状为(　C　)
(A)直角三角形
(B)钝角三角形
(C)等边三角形
(D)等腰三角形但不是等边三角形
解析:由题意知c-a(+)+b(-)=0,
所以(c-)-·=0,
所以(c-)=·,
又,不共线,
所以
所以a=b=c.
13.(2016武侯区校级模拟)已知点O为△ABC内一点,且+2+3=0,则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比等于　　　　. 
解析:如图所示,延长OB到点E,使得=2,分别以,为邻边作平行四边形OAFE,

则+2=+=,
因为+2+3=0,
所以-=3,
又因为==2,
所以=2,
所以=,
所以S△ABC=2S△AOB;
同理S△ABC=3S△AOC,S△ABC=6S△BOC,
所以△AOB,△AOC,△BOC的面积比=3∶2∶1,
答案:3∶2∶1
14.(2015晋江市校级期中)如图,已知△OCB中,B,C关于点A对称,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.

(1)用a,b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)由题意知A是BC的中点,且=,
由平行四边形法则得+=2,
则=2-=2a-b,
则=-=2a-b-b=2a-b.
(2)由题图知∥,
因为=-=2a-b-λa=(2-λ)a-b,
=2a-b,
所以=,
解得λ=.
精彩5分钟
【教师备用】 (2015辽宁五校联考)在△ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为(　A　)

(A)=a+b (B)=a+b
(C)=a+b (D)=a+b
解题关键:注意方程思想的应用.
解析:由题意知=a,=,=b,= b,
则=-=b-a,=-=b-a.
设=λ=λ(b-a),=μ=μ(b-a),
由-=,
得λ(b-a)-μ(b-a)=a,得
解得
因此=+=a+(b-a)=a+b.
(2015河南实验中学期中)已知三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,O为直线l外一点,若p+q+r=0.其中p,q,r∈R,则p+q+r=　　　　. 
解题关键:注意分类讨论解题.
解析:因为三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,
所以存在实数λ(λ≠0)使=λ.
所以-=λ(-),
即(λ-1)+-λ=0.
因为p+q+r=0,
所以当r=0时,由与不共线知p=q=0,
此时p+q+r=0;
当r≠0时,可知p,q≠0,且==.
此时p+q+r=0.
答案:0

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